§9.2.4特征与表示 计算方法 博季胡 第九单证数调 设M是X的n维线性子空间，M有一组基：p1,p2,·,pm, 近 上正安进首边过 那么x的最佳逼近元m可表示为m=∑c9. 利用定 2方的空只的规世 漫近 生意正 理9.6，m分别取p1,p2,·,pm,可得 正事通式 生 ∑（9：9）c=(x,9,j=1,2,…,m, (4) =1 期性重六装 称式（4)为最佳逼近元的法方程组。 卫数 1口，0121型克月0C 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.2.4 特征与表示 设 M 是 X 的 n 维线性子空间, M 有一组基: φ1, φ2, · · · , φn, 那么 x 的最佳逼近元 m ∗ 可表示为 m ∗ = ∑n i=1 c ∗ i φi . 利用定 理9.6, m 分别取 φ1, φ2, · · · , φn, 可得 ∑n i=1 (φi , φj) c ∗ i = (x, φj), j = 1, 2, · · · , n, (4) 称式 (4) 为最佳逼近元的法方程组. 傅孝明 计算方法
§9.2.4特征与表示 计算方法 博孝胡 第九华适数调 引入记号 (p1,p1) (p1,p2） (1.pn) c (化，p)》 :重正始地过 设2方空只的是出 (p2,p1) (p2,p2) (p2,pn)】 c (x,P2) 调近 G= ,c*= ,b= : ... 王变事级其 (pn,p1） (9m,p2) (Pn:Pn) (x,n) 平打面丘与电情立 主到 则法方程组可写成Gc*=b. 银童止一进通正多 货壮雪手装天 基于{：}”=1的线性无关性，容易证明矩阵G是正定的.因此，法方程组的 重正提 解存在且唯一 4口0424是2月00 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.2.4 特征与表示 引入记号 G = (φ1, φ1) (φ1, φ2) · · · (φ1, φn) (φ2, φ1) (φ2, φ2) · · · (φ2, φn) . . . . . . . . . . . . (φn, φ1) (φn, φ2) · · · (φn, φn) , c ∗ = c ∗ 1 c ∗ 2 . . . c ∗ n , b = (x, φ1) (x, φ2) . . . (x, φn) , 则法方程组可写成 G c ∗ = b. 基于 {φi} n i=1 的线性无关性, 容易证明矩阵 G 是正定的. 因此, 法方程组的 解存在且唯一. 傅孝明 计算方法
§9.2.4特征与表示 计算方法 博季胡 第九单运数通 若P1,p2,·,Pn构成M的一组正交基，则G是一个对角矩 上正纪首边过 阵，法方程组可以直接解出，最佳逼近元m显式地表示为 2方的空筑的规世 近 正通式 m*= 9) (5) 到6适销面回 (pi,9) 生 5电址一正多 称式(5)为x的广义Fourier展开，p;的系数为广义Fourier 期性重六装 系数 卫数 4口，g1三，1于2900 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.2.4 特征与表示 若 φ1, φ2, · · · , φn 构成 M 的一组正交基, 则 G 是一个对角矩 阵, 法方程组可以直接解出, 最佳逼近元 m ∗ 显式地表示为 m ∗ = ∑n i=1 (x, φi) (φi , φi) φi , (5) 称式 (5) 为 x 的广义 Fourier 展开, φi 的系数为广义 Fourier 系数. 傅孝明 计算方法
§9.2.4特征与表示 计算方法 傅孝胡 利用{P}”=1的正交性，可知式(3)等价于 第九华适数调 k-mP=xP-∑)IoP,,c= (x,i) :重正雪地过 板2内肌空只的望进 调近 重世年办通面时 王变事级其 在上式中，若令n→oo,则得Bessel不等式： 从4圆场运面时数出 平打面丘与电情立 此主到 银童止一进通正多 cleP≤lP i=1 从烟仕雪3装式 鱼重正提 特别地，若最佳逼近元序列收敛于x,则上述不等式变成等式， 称为广义Parseval等式 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.2.4 特征与表示 利用 {φi} n i=1 的正交性, 可知式 (3) 等价于 ∥x − m ∗ ∥ 2 = ∥x∥ 2 − ∑n i=1 (c ∗ i ) 2 ∥φi∥ 2 , c ∗ i = (x, φi) (φi , φi) . 在上式中, 若令 n → ∞, 则得 Bessel 不等式: ∑∞ i=1 (c ∗ i ) 2 ∥φi∥ 2 6 ∥x∥ 2 . 特别地, 若最佳逼近元序列收敛于 x, 则上述不等式变成等式, 称为广义 Parseval 等式. 傅孝明 计算方法
§9.2.5正交基的存在性 计算方法 博季雨 第九单运数通 定理9.7 近 任何n维内积空间M都存在正交基 上正安进首边 2方的空筑的规世 漫近 通过如下算法构造正交基e1,e2,·,em 银生最字方正 正事通式 (1)e1=p1 到6适销面回 i 生 (2)e=pi (9,e j=2,…,n. (e,e) 期性重六装式 上述算法称为Gram-Schmidt正交化，是一个非常重要的构 卫数 造性算法， 4口，5,1三，形2900 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.2.5 正交基的存在性 . 定理 9.7 . .任何 n 维内积空间 M 都存在正交基. 通过如下算法构造正交基 e1, e2, · · · , en: (1) e1 = φ1; (2) ei = φi − ∑ i−1 j=1 (φi , ej) (ej , ej) ej , j = 2, · · · , n. 上述算法称为 Gram-Schmidt 正交化, 是一个非常重要的构 造性算法. 傅孝明 计算方法