§9.1.4存在性与唯一性 计算方法 博季胡 定义9.5 第九单运数通 近 设M是赋范线性空间X的非空子集，称M是凸集，如果对任 银1S超的温证 意的m1,m2∈M,1∈(0,1)，均有t*m1+(1-t)*2∈M成 近 立.进一步，若m≠2，均有1*m+(1-t)*2∈f°成立 生最特字方正 (°表示集合M的内部)，则称M是严格马集 到6适的面回 定义9.6 如果赋范线性空间X按某一范数‖·‖的闭球B(x,r)是严格 凸集，则称该范数‖·‖是严格凸的 4口，，1三，升2900 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.1.4 存在性与唯一性 . 定义 9.5 . . 设 M 是赋范线性空间 X 的非空子集, 称 M 是凸集, 如果对任 意的 m1, m2 ∈ M, t ∈ (0, 1), 均有 t ∗ m1 + (1 − t) ∗ m2 ∈ M 成 立. 进一步, 若 m1 ̸= m2, 均有 t ∗ m1 + (1 − t) ∗ m2 ∈ M◦ 成立 (M◦ 表示集合 M 的内部), 则称 M 是严格凸集. . 定义 9.6 . . 如果赋范线性空间 X 按某一范数 ∥ · ∥ 的闭球 B(x,r) 是严格 凸集, 则称该范数 ∥ · ∥ 是严格凸的. 傅孝明 计算方法
§9.1.4存在性与唯一性 计算方法 博孝明 定理9.2 第九华适数调 近 位1正月数的温证 设M是X的列紧子集，且M是严格凸集，则对任意的x∈X, 近 存在唯一的最佳通近元m∈M 王变事级其 推论9.2 平才重丘与电城立 主到 s童性一到通正学 若M是X的线性子空间，且dim(M)<+oo,X的范数‖·Ⅱ 从好比雪3装式 是严格凸的，则对任意的x∈X,存在唯一的最佳通近元 重正与 m*∈M 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.1.4 存在性与唯一性 . 定理 9.2 . . 设 M 是 X 的列紧子集, 且 M 是严格凸集, 则对任意的 x ∈ X, 存在唯一的最佳逼近元 m ∗ ∈ M. . 推论 9.2 . . 若 M 是 X 的线性子空间, 且 dim(M) < +∞, X 的范数 ∥ · ∥ 是严格凸的, 则对任意的 x ∈ X, 存在唯一的最佳逼近元 m ∗ ∈ M. 傅孝明 计算方法
§9.2.1内积空间 计算方法 为了描述向量的长度、正交等几何性质，需要引入内积， 博季胡 定义97 第九单运数通 近 设集合'是实数域R上的线性空间，如果'中任意一对元素 2方的空只的视世 g都按某一法则对应一个实数，记作(g),并且满足下列条 漫近 生字方正与 件 到6适的面回 (1)对称性：(fg)=(g,),听g∈ (2)线性性： (f+g,h)=A(fh+(g,h),入，u∈R,fg,h∈ (3)正定性：(f)≥0，f∈：(f)=0台f=0, 则称二元实函数(，)是线性空间V上的一个积.定义了内 积的线性空间V称为南积空间. 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.2.1 内积空间 为了描述向量的长度、正交等几何性质, 需要引入内积. . 定义 9.7 . . 设集合 V 是实数域 R 上的线性空间, 如果 V 中任意一对元素 f, g 都按某一法则对应一个实数, 记作 (f, g), 并且满足下列条 件: (1) 对称性: (f, g) = (g, f), ∀f, g ∈ V; (2) 线性性: (λf + µg, h) = λ(f, h) + µ(g, h), ∀λ, µ ∈ R, ∀f, g, h ∈ V; (3) 正定性: (f, f) > 0, ∀f ∈ V; (f, f) = 0 ⇔ f = 0, 则称二元实函数 (·, ·) 是线性空间 V 上的一个内积. 定义了内 积的线性空间 V 称为内积空间. 傅孝明 计算方法
§9.2.1内积空间 计算方法 傅孝胡 第九华适数调 例9.7 :重正M雪地过 设2方空只的量出 在Rm空间中，任取一组标准正交基e1,e2,·,em,则 调近 重世年办通面 王变事级其 认4风场运时数 (K,y)=x1h+x22+…+xnyn,,y∈R", 年才重丘与电城立 主到 s童性一到通正多 其中x=x1e1+x2e2+十xmen,y=yhe1+2e2+…十ynen 认货壮雪多装式 鱼重正提 4口0,4日4升2000 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.2.1 内积空间 . 例 9.7 . . 在 R n 空间中, 任取一组标准正交基 e1, e2, · · · , en, 则 (x, y) = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn , ∀x, y ∈ R n , 其中 x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen, y = y1 e1 + y2 e2 + · · · + yn en. 傅孝明 计算方法
§9.2.1内积空间 计算方法 博季胡 第九单证数通 近 例9.8 上正纪首边证 在L2[a,b空间中，定义 2方的空只的规世 漫近 生意正 正通式 Gg)=xg)d,听geLa, (2) +到6活面销面出 主 5电址一正多 易验证(，)满足条件(1)~(3).因此，L2[a,b按(，）构成 期性重六装式 一内积空间。 卫数 4口，g1三，于2900 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.2.1 内积空间 . 例 9.8 . . 在 L 2 [a, b] 空间中, 定义 (f, g) = ∫ b a f(x)g(x) dx, ∀f, g ∈ L 2 [a, b]. (2) 易验证 (·, ·) 满足条件 (1) ∼ (3). 因此, L 2 [a, b] 按 (·, ·) 构成 一内积空间. 傅孝明 计算方法