§9.1.2距离 计算方法 傅孝胡 定义9.2 第九继画调 在赋范线性空间V中，定义函数 近 位1正月数的温正 dfg)=f-gl,fg∈V, 近 王变事项其 称为f与g之间的距离.不难验证d(fg)满足距离定义所要 从4圆场运面时数出 平打重丘与电城立 求的条件： 此主到 很童止一进通正多 (1)正定性：d(fg)≥0，f∈：d(fg)=0当且仅当f=g 认货壮雪多装式 成立 业重正提 (2)对称性：df,g)=d(g,,f8∈四 (3)三角不等式：df,g)≤dfh)+d(h,g), 近g,h∈ 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.1.2 距离 . 定义 9.2 . . 在赋范线性空间 V 中, 定义函数 d(f, g) = ∥f − g∥, ∀f, g ∈ V, 称为 f 与 g 之间的距离. 不难验证 d(f, g) 满足距离定义所要 求的条件: (1) 正定性: d(f, g) > 0, ∀f ∈ V; d(f, g) = 0 当且仅当 f = g 成立; (2) 对称性: d(f, g) = d(g, f), ∀f, g ∈ V; (3) 三角不等式: d(f, g) 6 d(f, h) + d(h, g), ∀f, g, h ∈ V. 傅孝明 计算方法
§9.1.2距离 计算方法 博孝明 第九单证数调 近 银15超的速过 引理9.1 近 生最特字方正 正事通式 在赋范线性空问V中，加法，数乘和范数都是距离(f,g）下 +到6活面销面世 的连续函数。 生 期性重六装 卫数 4口，，1三升2900 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.1.2 距离 . 引理 9.1 . . 在赋范线性空间 V 中, 加法, 数乘和范数都是距离 d(f, g) 下 的连续函数. 傅孝明 计算方法
§9.1.3最佳逼近 计算方法 设X是赋范线性空间，M是X的非空子集，我们希望从M中 傅孝胡 选取元素逼近X中的元素，M称为X的一个逼近集合 第九继画面 近 定义9.3 位1正月数的温正 对于x∈X,如果有元素m*∈M使得 近 王变事级其 Ik-ml=ilk-m≌dx,M, 平有面丘与电情立 纯主孩 则称m为子集M逼近x的最佳逼近元，记为m*∈B(x),其中 银童止一进通正多 认近壮雪3装国 Be{m∈M:r-ml=d,M} 业重正提 表示由M逼近x的最佳逼近元构成的集合，用#B(x)表示最佳逼 近元的个数 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.1.3 最佳逼近 设 X 是赋范线性空间, M 是 X 的非空子集, 我们希望从 M 中 选取元素逼近 X 中的元素, M 称为 X 的一个逼近集合. . 定义 9.3 . . 对于 x ∈ X, 如果有元素 m ∗ ∈ M 使得 ∥x − m ∗ ∥ = inf m∈M ∥x − m∥ , d(x, M), 则称 m ∗ 为子集 M 逼近 x 的最佳逼近元, 记为 m ∗ ∈ BM(x), 其中 BM(x) , { m ∈ M : ∥x − m∥ = d(x, M) } 表示由 M 逼近 x 的最佳逼近元构成的集合, 用 #BM(x) 表示最佳逼 近元的个数. 傅孝明 计算方法
§9.1.3最佳逼近 计算方法 博季明 第九单运数通 银1S超的温证 有了最佳逼近元的定义之后，自然地会产生以下问题： 近 ■存在性，即是否有#BM(x)≥1： 生最字方正 正位通其 ■唯一性，即是否有#BM(x)≤1； 到6适销面回 ■最佳逼近元应具有什么特征： 能主销 ■最佳逼近元的构造及其应用。 s爱址一理星3 1口，0121型克月00 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.1.3 最佳逼近 有了最佳逼近元的定义之后, 自然地会产生以下问题: 存在性, 即是否有 #BM(x) > 1; 唯一性, 即是否有 #BM(x) 6 1; 最佳逼近元应具有什么特征; 最佳逼近元的构造及其应用. 傅孝明 计算方法
§9.1.4存在性与唯一性 计算方法 定义9.4 博孝胡 X的一个子集M称为列紧的，如果M中的每个点列都有一个 第九继画调 收敛于M中一点的子序列. 位1正月数的温证 近 定理9.1 王变事级其 设M是X的列紧子集，则对于任意的x∈X,存在最佳适近 平才重丘与电城立 此主到 元m*∈M s童性一到通正学 认货壮雪多装国 推论9.1 重正提 若M是X的线性子空间，且dim(M<十oo,则对任意的 x∈X,存在最佳通近元m*∈M 7 傅孝明 计算方法
计算方法 傅孝明 第九章函数逼 近 §9.1 逼近问题的描述 §9.2 内积空间的最佳 逼近 §9.3 最佳平方逼近与 正交多项式 §9.4 周期函数的最佳 平方逼近与快速傅立 叶变换 §9.5 最佳一致逼近多 项式 §9.6 切比雪夫多项式 §9.7 函数逼近的若干 重要定理 . . . . . . §9.1.4 存在性与唯一性 . 定义 9.4 . . X 的一个子集 M 称为列紧的, 如果 M 中的每个点列都有一个 收敛于 M 中一点的子序列. . 定理 9.1 . . 设 M 是 X 的列紧子集, 则对于任意的 x ∈ X, 存在最佳逼近 元 m ∗ ∈ M. . 推论 9.1 . . 若 M 是 X 的线性子空间, 且 dim(M) < +∞, 则对任意的 x ∈ X, 存在最佳逼近元 m ∗ ∈ M. 傅孝明 计算方法