规則三根轨迹的分支数、连姎性和对称性 根轨迹的分支数即根轨迹的条教。根轨迹是描述闭环糸统特 征方程的根(即闭环极点)在5平面上的分布,那么,根轨迹 的分支数就应等于糸统特征方程的阶数。 由例5-1看出,糸统开环根軏迹增益k(实变量)与复变量 S有一一对应的关糸。 当k由0到∞连续变化肘,描述糸统特征方程根的复变量5 在平面上的变化也是连续的,因此,根轨迹是n条连续的曲线。 由于实际的物理糸统的参数都是实教,如果它的特征方程有复 教根的一定是对称于实輛的共轭复根,因此,根轨迹恿是对称 于实轴的。 结论:根轨迹的分支数等于糸统的阅环极点数。根轨 迹是连续且对称于实轴的曲线。 021/1/27 北京啊敦大学轨学院言动代系 11
2021/1/27 北京科技大学自动化学院自动化系 11 规则三 根轨迹的分支数、连续性和对称性 根轨迹的分支数即根轨迹的条数。根轨迹是描述闭环系统特 征方程的根（即闭环极点）在s平面上的分布，那么，根轨迹 的分支数就应等于系统特征方程的阶数。 由例5-1看出，系统开环根轨迹增益 （实变量）与复变量 s有一一对应的关系。 g k 当 由0到∞连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s 在平面上的变化也是连续的，因此,根轨迹是n条连续的曲线。 g k 由于实际的物理系统的参数都是实数,如果它的特征方程有复 数根的一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称 于实轴的。 结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨 迹是连续且对称于实轴的曲线
规则四实上的根軏迹 实輻上的根轨迹由相角条件可证:设甚段右侧的季,极点数分 别为:N,N, 则:∑1-2B,=Nz+Nn=士(1+2k) 即右侧开环零,极点教的和为奇教肘,该段为根轨迹。 Ir P 021/1/27 北京啊敦大学轨学院自动代系
2021/1/27 北京科技大学自动化学院自动化系 12 规则四 实轴上的根轨迹 实轴上的根轨迹由相角条件可证:设某段右侧的零,极点数分 别为： 则: 即右侧开环零,极点数的和为奇数时,该段为根轨迹。 , N Nz p 1 1 (1 2 ) m n i j z p i j N N k = = − = + = + Re Im0 [ ]s 1s 1z 1p 2 p p1 p2
规则五渐近线 当开环极点数n大于开环零点数m肘,糸统有n-m条根轨 迹终止于S平面的无穷远处,这n-m条根轨迹变化趋向的直线 叫做报轨迹的淅近线,因此渐近线也有η-m条,且乞们交于实 轴上的一点。 渐近线与实轴的交点位置σ和与实轴正方向的交角分别为: ∑P-∑2 i=1 n- ±(2k+1)z (k=0,12,n-m-1) n- 021/1/27 北京啊敦大学轨学院自动代系
2021/1/27 北京科技大学自动化学院自动化系 13 规则五 渐近线 当开环极点数 n大于开环零点数m时, 系统有n-m条根轨 迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线 叫做根轨迹的渐近线，因此渐近线也有n-m条, 且它们交于实 轴上的一点。 渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角 分别为: 1 1 n m i j i j P Z n m = = − = − ( ) ( ) 2 1 , 0,1,2, , 1 k k n m n m + = = − − −
1)根轨迹渐近线的倾角 根据幅角条件:∑∠(=)∠-2)=180(2k+1k=0土坦… 当→>∞时,零点、极点P与s矢量复角可近似看成相等 S 得到 mn-nn=180(2k+1) 所以渐近线的倾角: 180(2k+1) k=0,1,2,…,n-m-1 1-n 因共有(nm)条渐近线,所以只要取(n-m)个不同的倾角即可 021/1/27 北京啊敦大学轨学院自动代系
2021/1/27 北京科技大学自动化学院自动化系 14 （1）根轨迹渐近线的倾角 根据幅角条件： 当 时，零点 、极点 与 矢量复角可近似看成相等 得到 所以渐近线的倾角： 因共有(n-m)条渐近线，所以只要取(n-m)个不同的倾角即可。 s → j z i p s 180 (2 1) m n k a a − = + 180 (2 1) , 0,1,2, , 1 a k k n m n m + = = − − − s − zj s − pi = 1 1 ( ) ( ) 180 (2 1), 0, 1, 2, m n j i j i s z s p k k = = − − − = + =
(2)渐近线与实轴的交点 幅值条件: K P1 当K→∞,则对应于s→>,此时|s--|=s-p,上式可写成: s-P1)(S-P2)…(s-pn) S-g (S-z1)(S-z2)…(S-zn) 上式左边展开:8+(P1+P2+…+pn)(=1+22+…+Em n-m-1 上式右边展开sm+a(n-m)s"-m 比较对应s幂项系数相等,求得: (n-m)=(1+p2 )-(=1+2+…+ 所以渐近线相交于同一点(P1+p2+…+pn)-(1+z2+…+zm) 021/1/27 北京啊敦大学轨学院自动代系
2021/1/27 北京科技大学自动化学院自动化系 15 （2）渐近线与实轴的交点 幅值条件： 当 ，则对应于 ，此时 ，上式可写成： 上式左边展开： 上式右边展开 比较对应 s 幂项系数相等，求得： 所以渐近线相交于同一点 * 1 1 n m s p s p K s z s z − − = − − * K → s → i i s z s p − = − s n−m +[(p1 + p2 ++ pn ) −(z1 + z2 ++ z m )]s n−m−1 + 1 ( ) n m n m a s n m s − − − + − + 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) a n m n m p p p z z z − = + + + − + + + 1 2 1 2 ( ) ( ) n m a p p p z z z n m + + + − + + + = − 1 2 1 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) n n m a m s p s p s p s s z s z s z − − − − = − − − −