这表明，引入周期性边界条件后，波数g不能任意取 值，只能取分立的值。 2π 在g轴上，相邻两个g的取值相距 Na 2π 即在g轴上，每一个q的取值所占的空间为 Na 所以，q的分布密度为： p(g)= Na L 2元 L=Na为晶体链的长度。 2π 简约区中波数g的取值总数=p(q)2πa=(Na/2)2πa =N=晶体链的原胞数 晶格振动格波的总数=W·1=晶体链的自由度数
这表明，引入周期性边界条件后，波数 q不能任意取 值，只能取分立的值。 在 q轴上，相邻两个 q的取值相距 ， 即在 q轴上，每一个 q的取值所占的空间为 Na 2 π Na 2 π 所以， q的分布密度为： ( ) π π ρ 2 2 Na L q = = L ＝Na 为晶体链的长度。 简约区中波数 q的取值总数＝ ρ( q)· 2 π/a ＝ (Na/2 π)·2 π/a ＝N ＝晶体链的原胞数 晶格振动格波的总数 =N·1=晶体链的自由度数
四、格波的简谐性、声子概念 品体链的动能：T=∑m好 晶体链的势能：V=B∑(4，-4，} 系统的总机械能：H=∑m+与B∑(4-“》 频率为o,的特解：4=A,eog-) 方程的股解为：4-∑4：-习0(g0:
四、格波的简谐性、声子概念 1 2 2 n T m = ∑ μn 晶体链的动能： ( ) 2 1 1 2 n U β μμ n n + 晶体链的势能： = − ∑ ( ) 2 2 1 1 1 2 2 n n ∴ =+ − H m ∑ ∑ μ β μμ n n + 系统的总机械能： ( ) n i t naq A e ω ω μ − 频率为 的特解： = j j j jj ( ) ( ) j 1 , n q i t naq inaq Ae Q q t e Nm ω μ − − 方程的一般解为： = = ∑ ∑ j j j
这是W,(t)在g空间中的Fourier/展开式。将上式代入系统总 机械能的表达式中，再利用线性变换系数的正交条件： 卡∑emg=g 即可将系统的总机械能化为： H=)∑[e(g.)0(g,)+w2(g)9(g,)0(4,)】 运动方程：⑨(g,)+o(q)2,(9,)=0
这是μn(t)在q空间中的Fourier展开式。将上式代入系统总 机械能的表达式中，再利用线性变换系数的正交条件： ( ) , 1 q q n ina q q e N δ ′ − ′ ∑ = 即可将系统的总机械能化为： ( ) ( ) () ( ) ( ) 1 * * 2 ,, ,, 2 q H = + ⎡ ⎤ Q qt Q qt qQ qt Q qt ω ∑⎣ ⎦ 运动方程： Q qt q Q qt ( , ,0 ) +ω ( )( ) = j j 2j
经变换后，Q(,)代表一个新的空间坐标，它已不再 是描述某个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子 整体运动的坐标，称为简正坐标。 一个波数为g的格波相当于一个频率为o()的简谐振 子，我们将晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的正 则振动称为一种振动模式。对于由个原子组成的一维单 原子链，共有N种格波，即有N个振动模式，就相当于有N 个独立的简谐振子。 根据量子力学理论，简谐振子的能量是量子化的，第j 个振动模式的简谐振子的能量本征值为：
经变换后，Q(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再 是描述某个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子 整体运动的坐标，称为简正坐标。 一个波数为q的格波相当于一个频率为ω(q)的简谐振 子，我们将晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的正 则振动称为一种振动模式。对于由N个原子组成的一维单 原子链，共有N种格波，即有N个振动模式，就相当于有N 个独立的简谐振子。 根据量子力学理论，简谐振子的能量是量子化的，第j 个振动模式的简谐振子的能量本征值为： jj j 1 2 E n ω ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠=
声子的概念： ·声子是晶格振动的能量量子。 ·声子具有能量ho,也具有准动量g,它的行为类似 于电子或光子，具有粒子的性质。但声子与电子或光子是 有本质区别的，声子只是反映晶体原子集体运动状态的激 发单元，它不能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实 的粒子。我们将这种具有粒子性质，但又不是真实物理实 体的概念称为准粒子。所以，声子是一种准粒子。 ·一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子 组成的一维单原子链，有N种格波，即有N种声子。N种声 子构成了第一布里渊区准连续的声子色散关系。 。当一种振动模式处于其能量本征态n时，称这种振动模有n 个声子
声子的概念： • 声子是晶格振动的能量量子。 • 声子具有能量 ，也具有准动量 ，它的行为类似 于电子或光子，具有粒子的性质。但声子与电子或光子是 有本质区别的，声子只是反映晶体原子集体运动状态的激 发单元，它不能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实 的粒子。我们将这种具有粒子性质，但又不是真实物理实 体的概念称为准粒子。所以，声子是一种准粒子。 • 一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子 组成的一维单原子链，有N种格波，即有N种声子。N种声 子构成了第一布里渊区准连续的声子色散关系。 • 当一种振动模式处于其能量本征态nj时，称这种振动模有nj 个声子。 ω j = j =q