数 理 着考处 讨论 考虑到序列傅里叶逆变换式,即式(5.1.2),由式(5220)可得 X(e)enda do(5.2.22 2丌J-z1-2 a cos o+a 考虑到式(5220),则有 1"=lim a →lim ∑(0-2mz) (5.2.23) a→)1 a→)11-2 a cos a+a 利用式(5222),则可计算出式(5223)中的值,即 A dO=2x(0)=2兀 r1-2a coso+a 考虑到 l(n)=[v(m)+l(-m)]+=[(m)-l(-n)]=-[6(mn)+1”] 1+2 gn(n) 5224)
2 2 2 2 1 1 5.1.2 5.2.20 1 11 ( ) ( ) (5.2.22) 2 2 1 2 cos 5.2.20 1 1 lim lim ( 2 ) (5.2.23) 1 2 cos 5.2.22 n j jn jn n n a a m a a xn X e e d e d a a a a A m a a π π ωω ω π π ω ω π πω δω π ω − − +∞ → → =−∞ − = = = − + − = ←⎯→ =− − + ∫ ∫ ∑ 讨论： 考虑到序列傅里叶逆变换式，即式（ ），由式（ ）可得 考虑到式（ ），则有 利用式（ ），则 2 2 5.2.23 1 2 (0) 2 1 2 cos 1 1 11 ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) 1 ] ( ) (5.2.24) 2 2 22 n a A d x a a u n u n u n u n u n n Sgn n π π ωπ π ω δ − − = = = − + = +− + −− = + + ∫ 可计算出式（ ）中的值，即 考虑到
数 理 着考处 对式(52,24)两边分别取傅里叶变换,并考虑到式(5,2,21),则有 DTFT[(n)]=-[1-jcot+2T2 5(@-2mr)] JcOS(O/2 sin(o/2) +n∑6(0-2m) 2 e 2(1+mm)+z∑(0-2mn) 1+e J )+z∑( m元 n=-00 +∑(0-2mn) 即v(n) +z∑O(0-2m) 52.25
2 2 2 2 5.2.24 5.2.21 1 [ ( )] [1 cot 2 ( 2 )] 2 2 1 cos( 2) (1 ) ( 2 ) 2 sin( 2) 1 (1 ) ( 2 ) 2 1 1 (1 ) ( 2 ) 2 1 1 1 m m j j j j m j j m un j m j m e e m e e e m e ω ω ω ω ω ω ω π δω π ω π δω π ω π δω π π δω π +∞ =−∞ +∞ =−∞ − +∞ − =−∞ − +∞ − =−∞ =− + − =− + − + =+ + − − + =+ + − − = ∑ ∑ ∑ ∑ DTFT 对式（ ）两边分别取傅里叶变换，并考虑到式（ ），则有 ( 2) 1 ( ) ( 2 ) (5.2.25) 1 j m j m m e un m e ω ω π δω π π δω π +∞ − =−∞ +∞ − =−∞ + − − ←⎯→+ − − ∑ 即 ∑
数 理 着考处 例52.3:若序列x(m) sin(n@) 试求序列x(n)舶频谱X(eO) n兀 解:考虑到(5223),则有 DTFTII I 1 ∑em=2z∑(a-2mz)(5226) 考虑到式(5226),则有 sin(o r O+2) Jn(o-Os X(e) n=-0 -2 jnt {[b(+n)-6(-0)*∑ l(O)*(O) n=-00-2 nTt [6(O+O)-(0-02)*(0)*[
() () sin( ) 5.2.3 ( ) ( ) ( ) 5.2.23 [1 ] 1 2 ( 2 ) (5.2.26) 5.2.26 sin( ) ( ) 2c c c j n njn jn nn m jn jn j j c n n n n x n xn X e n ee m n e e X e e n jn ω ω ω ωω ωω ω ω ω π π δω π ω π π +∞ +∞ +∞ − − =−∞ =−∞ =−∞ +∞ −+ −− − =−∞ =−∞ = = == − − = = − ∑∑ ∑ ∑ DTFT 例 ：若序列 ，试求序列 的频谱 。 解：考虑到（ ），则有 考虑到式（ ），则有 {[ ( ) ( )] } ( ) ( ) 2 [ ( ) ( )] ( ) [ ] ( ) 2 jn c c n jn c c n e u jn e u jn ω ω δω ω δω ω ω δ ω π δω ω δω ω ω δ ω π +∞ +∞ − =−∞ +∞ − =−∞ = +− − ∗ ∗ ∗ ′ − = +− − ∗ ∗ ∗ ′ − ∑ ∑ ∑
数 理 着考处 e 即X(e)(o+a2)-6(0-a)*(0)*∑=1 6() n=- =[(O+)-(0-2)+∑ n=-00 丌 G20(O)*∑(0-2mm) n=-00 Sin no 即 >G2()*∑O(0-2mz) (52.27) 1兀 n=-00 式(527)表明,序列xmn)=5mmO的频谱是一个周期 1兀 为2丌的矩形频谱
2 2 ( )=[ ( ) ( )] ( ) [ ] ( ) 2 [ ( ) ( )] 2 ( ) ( 2 ) sin ( ) ( 2 ) (5.2.27) 5.2.27 ( c c jn j c c n jn c c n m c m e X e u jn e u u G m n G m n x ω ω ω ω ω δω ω δω ω ω δ ω π ωω ωω π ω δω π ω ω δω π π +∞ − =−∞ +∞ − =−∞ +∞ =−∞ +∞ =−∞ +− − ∗ ∗ ∗ ′ − = +− − ∗ =∗ − ←⎯→∗ − ∑ ∑ ∑ ∑ 即 即 式（ ）表明，序列 sin( ) ) 2 c n n n ω π π = 的频谱是一个周期 为 的矩形频谱
F压数 理 3、位移性质 着考处 若x(m)<>Y(e°) 则x(n-n0)>Y(e)em0 5228) 证明 x(n-no)e no j(m+no )o x(me n=-00 Jno x(m)e y 0 EX(e)e
3、位移性质 0 0 0 0 ( ) 0 () ( ) ( ) ( ) (5.2.28) ( ) () = ( ) = ( ) j j jn jn jm n n m jn jm m j jn xn X e xn n X e e xn n e xme e xme Xe e ω ω ω ω ω ω ω ω − +∞ +∞ − − + =−∞ =−∞ +∞ − − =−∞ − ←⎯→ − ←⎯→ ∑ ∑ − = ∑ 若 则 证明： 0ω