数 理 着考处 记X(e)=1X(e)em 考虑到式(52.13)及式(52.14),则有 X(e")=|X(e") (52.15) q()=-0(-0) 52.16) 推论3: 实序列x(m的频谱X(e)的实部Re[X(e)及幅度 谱X(e")是o偶函数,其虚部mX()及相位谱 0(o)是o的奇函数
( ) () () 5.2.13 5.2.14 ( ) ( ) (5.2.15) ( ) ( ) (5.2.16) ( ) ( ) Re[ ( )] ( ) Im[ ( )] ( ) j jj j j j j j j Xe Xe e Xe Xe xn X e X e Xe Xe ω ωϕ ω ω ω ω ω ω ω ϕω ϕ ω ω ϕω ω − = = =− − 3 记 考虑到式（ ）及式（ ），则有 推论 ： 实序列 的频谱 的实部 及幅度 谱 是 的偶函数，其虚部 及相位谱 是 的奇函数
数 理 着考处 2【2】复序列的反褶共轭序列的傅里叶变换 若x(m)<>X(e°) 则x'(-n)>X(e) (52.17) 证明: ∑x(nkm=(∑x-nmr=(xmmr=x'a n=-00 n三-00 n=-00 式(52.17)表明,复序列的反褶共轭序列的频谱 等于复序列的频谱的共轭。 推论4: 考虑到[x(m)+x(-m→>[k(e0)+X'(e) 则x(m)<>Re[X(e) 5218)
【2】复序列的反褶共轭序列的傅里叶变换 () ( ) ( ) ( ) (5.2.17) ( ) [ ( ) ] [ () ] ( ) 5.2.17 1 [() ( ) 2 j j jn jn jm j nnm xn X e x n Xe x ne x ne xme X e xn x n ω ω ω ω ω ω ∗ ∗ +∞ +∞ +∞ ∗ − ∗ −∗ ∗ =−∞ =−∞ =−∞ ∗ ←⎯→ − ←⎯→ −=− = = + − ∑∑∑ 4 若 则 证明： 式（ ）表明，复序列的反褶共轭序列的频谱 等于复序列的频谱的共轭。 推论 ： 考虑到 1 ] [ ( ) ( )] 2 ( ) Re[ ( )] (5.2.18) j j j e Xe X e x n Xe ω ω ω ←⎯→ + ∗ 则 ←⎯→
数 理 着考处 推论5: 考虑到[x(n)-x(-m→>[k(e)-X"(e) 则x(n)<)jIm[X(e) (52.19) 推论6: 由推论4及推论5可得 x(n) X(e)=relx(e)]+jIm[X(e) 推论7: 由推论6及推论3可知,实偶序列对应实偶频谱, 实奇序列对应虚奇频谱
1 1 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 2 2 ( ) Im[ ( )] (5.2.19) 4 5 () () () ( ) Re[ ( )] Im[ ( )] 6 j j j o e o jj j xn x n X e X e x n j Xe xn x n x n Xe Xe j Xe ω ω ω ωω ω ∗ ∗ − − ←⎯→ − ←⎯→ = + = + 5 6 7 77 7 推论 ： 考 虑 到 则 推 论 ： 由 推 论 及 推 论 可 得 推论 ： 由 推 论 及 推 论 3 可 知，实 偶序列 对 应 实 偶 频 谱， 实奇序列对应虚奇频谱
数 理 着考处 例522:若序列(m)=an,(0<a<1),试求序列x(n)频谱X(em) 解:考虑到推论6,则有 u(n)=[a"u(n)+a"u(-m)]+[a"u(n)-a-"u(-n) I-acos o Jasino ae 1-2a coso+a 2a coso+a 考虑到 x(m)=a=a1=a"[v(n)+(-n-1=av(n)+a"l(-n-1) =a"u(m)+a"[L(-n)-(n)=a"l(m)+a"l(-m)-o(n)
2 5.2.2 ( ) , (0 1) ( ) ( ) 6 1 1 ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 2 2 1 1 cos sin 1 1 2 cos 1 2 n j n nn nn j xn a a xn X e aun aun a u n aun a u n a ja ae a a ω ω ω ω ω − − − = << = + −+ − − − − = + − −+ − 77 7 例 ：若序列 ，试求序列 的频谱 。 解：考虑到推论 ，则有 2 cos ( ) 1 [ ( ) ( 1)] ( ) ( 1) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) nn n n n n n n n n a a xn a a a un u n aun a u n aun a u n n aun a u n n ω δ δ − − − + = = = + −− = + −− = + −− = + −− 考虑到
数 理 着考处 则有(e0) 2(1-a cos o) 1-2acoso+a 1-2acoso +a 即 52.20) 1-2a o+a 同理,考虑到aSgn(m)=au(n)-l(-n)=a"l(n)-a"lv(-m) 则有a"Sgm(n)<→,-2 asin o 2a+a 然 jasin o SIn o gn(n)=li mason(n)← cot 2acoso +a cOS 0
2 2 2 2 2 2 1 cos 1 ( ) 1 1 2 cos 1 2 cos 1 (5.2.20) 1 2 cos ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 sin ( ) 1 2c j n n n n n n a a X e aa aa a a a a a Sgn n a u n u n a u n a u n j a a Sgn n a ω ω ω ω ω ω − − − = − = −+ −+ − ←⎯→ − + = −− = − − − ←⎯→ − （ ） 则有 即 同理，考虑到 则有 2 2 1 1 os 2 sin sin ( ) lim ( ) lim cot (5.2.21) 1 2 cos 1 cos 2 n a a a ja j Sgn n a Sgn n j a a ω ω ωω → → ω ω + − − = ←⎯→ == − − + − 显然