数 理 2、共轭对称性质 着考处 在3.36节,我们定义了共轭对称序列x(n)和共轭反对称序列x(m 其中x(m)满足条件x(mn)=x(-n),x、(n)满足条件x(m)=-x(-n),并讨 论复序列的分解。任意一个复序列不仅可按代数进行分解,而且还可 以分解成共轭对称序列x(m)和共轭反对称序列x(m)之和,即 x(n)=x2(m)+x0(m) (522) 式中 x (n)=x(n)+x(n) (52.3) C(m)=[x(n)-x(-n) (52.4
0 3.3.6 ( ) ( ) () () ( ) () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e o e e eo o o e o e x n x n xn xn x n xn xn x n x n x n xn x n x n ∗ ∗ = − =− − = + 在 节，我们定义了共轭对称序列 和共轭反对称序列 ， 其中 满足条件 ， 满足条件 ，并讨 论复序列的分解。任意一个复序列不仅可按代数进行分解，而且还可 以分解成共轭对称序列 和共轭反对称序列 之和，即 (5.2.2) 1 ( ) [ ( ) ( )] (5.2.3) 2 1 ( ) [ ( ) ( )] (5.2.4) 2 e o x n xn x n x n xn x n ∗ ∗ = +− = −− 式中 2、共轭对称性质
数 理 着考处 特别地:若x(n)是实序列,则有 x(n)=x(n) 525) x(-n)=x(-n) 526) 考虑到式(526),由式(523)可知,x(m)是实偶序列, 由式(524)可知,xn(m)是实奇序列。那么,由式(52,2)可 知,任意一个实序列x(m)可以分解成实偶序列x(m)与实奇序列 xn(m)之和
( ) ( ) ( ) (5.2.5) ( ) ( ) (5.2.6) 5.2.6 5.2.3 ( ) 5.2.4 ( ) e o x n x n xn x n xn x n x n ∗ ∗ = −=− 特别地：若 是实序列，则有 考虑到式（ ），由式（ ）可知， 是实偶序列， 由式（ ）可知， 是实奇序列。那么，由式 5.2.2 ( ) ( ) ( ) e o x n x n x n （ ）可 知，任意一个实序列 可以分解成实偶序列 与实奇序列 之和
数 理 【1】复序列的共轭序列的傅里叶变换 着考处 若x(m)<>Y(e0) 则x(m)<>X(e) (52.7 证明:∑x(m)km=[∑x(m)lmr=x(en n=-00 n=-00 式(527)表明,复序列的共轭序列的频谱等于共轭前 序列的频谱的反褶再取共轭。 推论l 考虑到[x(n)+x'(m>[(e)+X(e0) 即Re[x(m)>X(e) (528)
【1】复序列的共轭序列的傅里叶变换 () ( ) ( ) ( ) (5.2.7) j j xn X e xn X e ω ∗ ∗ − ω ←⎯→ ←⎯→ 若 则 () [ () ] ( ) 5.2.7 1 1 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 2 2 Re[ ( )] ( ) (5.2.8) jn jn j n n j j j e x ne x ne X e xn x n X e X e xn X e ω ωω ω ω ω +∞ +∞ ∗ − ∗ ∗− =−∞ =−∞ ∗ ∗ − = = + ←⎯→ + ←⎯→ ∑ ∑ 1 证明： 式（ ）表明，复序列的共轭序列的频谱等于共轭前 序列的频谱的反褶再取共轭。 推论 ： 考虑到 即
数 理 着考处 推论2: 考虑到[x(n)-x(m>[X(e)-X(e) 即jImx(n)>X(e0 (529) 讨论 若x(m)是实序列,则 52.10) 对式(52.10)两边分别取傅里叶变换, 并考虑到式(5.27),则有 X(e)=X(e°) (52.11) 对式(52.11)两边分别取复共轭可得 X(e)=X"(e) 式(52.12)表明,实序列的频谱的反褶与频谱取共轭等价
1 1 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 2 2 Im[ ( )] ( ) (5.2.9) j j j o xn x n X e X e j xn X e ω ω ω ∗ ∗ − − ←⎯→ − ←⎯→ 推论 ：2 考虑到 即 ( ) ( ) ( ) (5.2.10) 5.2.10 5.2.7 ( ) ( ) (5.2.11) 5.2.11 ( ) j j j x n x n xn X e Xe X e ω ω ω ∗ ∗ − − = = 讨论： 若 是实序列，则 对式（ ）两边分别取傅里叶变换， 并考虑到式（ ），则有 对式（ ）两边分别取复共轭可得 ( ) (5.2.12) 5.2.12 j X e ∗ ω = 式（ ）表明，实序列的频谱的反褶与频谱取共轭等价
数 理 着考处 考虑到式(5211)及式(52.12),则有 Relr(e=lx(e)+ X(e) X(e)+X(e RelX(e ) (52.13) 同理有 Im[X(e)=Im[X(e o)l (52.14)
5.2.11 5.2.12 1 Re[ ( )] [ ( ) ( )] 2 1 [ ( ) ( )] 2 Re[ ( )] (5.2.13) Im[ ( )] Im[ ( )] (5.2.14) j jj j j j j j Xe Xe X e X e Xe X e Xe Xe ω ωω ω ω ω ω ω ∗ ∗− − − − = + = + = = − 考虑到式（ ）及式（ ），则有 同理有