《量子化学 Quantum Chemistry》课程教学课件（讲稿）第二章 量子力学简单体系 Quantum Mechanics of Some Simple Systems

藏152三维方箱能波函数轮廊图V's11W113Y131V/221V122V212V211V112Vi21简并性与对称性Vin11111111111111111《量子化学》第二章量子力学简单体系

《量子化学》第二章 量子力学简单体系 三维方箱能波函数轮廓图 简并性与对称性            11111111111111111

南2.1.4一维自由粒子The free partical in one dimensionh? d’y(x)=Ey(x)一维自由粒子，V(x)=0，Schrodinger方程：dx?2mV2mEkd2y(x), 2mEh-y(x)=0特征方程r2+k2=0dx?1y(x)=ceikr +C,e-ikrr=±iky(x)=Acoskx+Bsinkx若E<0，则ik=i·i/2mE|/h=-/2mE|/h<0x→+oo时，e-ikx→+o0E≥0x→-0 时，eikx→+o0y(x)不能归一化自由粒子的能谱是连续的11111111111111111《量子化学》第二章量子力学简单体系

《量子化学》第二章 量子力学简单体系 2.1.4 一维自由粒子 The free partical in one dimension 一维自由粒子,V(x)=0，Schrödinger方程： 2 2 2 d () ( ) 2 d x E x m x     2 2 2 d () 2 () 0 d x mE x x     特征方程 r2 + k2 = 0 i 1 i 2 () e e kx kx  xc c    2mE k   r =  ik  ( ) cos sin x   A kx B kx 若E<0，则 ik mE mE     i i 2 0   2 x  + 时，eikx  + x   时，eikx  + E ≥ 0 自由粒子的能谱是连续的 (x)不能归一化 11111111111111111

南V2(x)=C,e-ikry(x)=c,eikrPV,=-in/2mEcet=[P,|pyz =-pxydxi，是H和P,的本征函数,=Ve-E-/ =cexp(lp=(lp|x+E,t)C,exp表示沿+x方向运动，具有确定动量+p/的平面波表示沿一x方向运动，具有确定动量-p/的平面波Y发现粒子在x与x+dx间的概率dW=ydx=yiydx=ccdx概率密度=c*c,=常数粒子x轴上任何点出现的概率密度都相等，即p完全确定时，x位置完全不确定(x)=c,e' +c,e-it不是Px的本征函数11111111111111111《量子化学》第二章量子力学简单体系

《量子化学》第二章 量子力学简单体系 i 1 1 () e kx  x  c 1 i 1 11 d i 2 e d kx x x ˆp mEc p x        1， 2 是Ĥ和 的本征函数 x ˆ p   i 11 1 e exp i E tx x x   c p x Et            1表示沿 +x方向运动，具有确定动量+|px|的平面波 2表示沿 x方向运动，具有确定动量 |px|的平面波 1发现粒子在 x 与 x+dx间的概率 1 1 1 1 11 d d dd * ** W x x cc x     概率密度 = c 1 * c 1 =常数 粒子 x轴上任何点出现的概率密度都相等，即px完全确定时， x位置完全不确定 i 2 2 () e kx  x c   x x 2 2 ˆ p p     2 2 x   i e p x x  c p x Et           i 1 i 2 () e e kx kx  xc c    不是 的本征函数 x ˆ p 11111111111111111

南S2.2势垒贯穿Penetration into and through barriers2.2.1 An infinitely thick potential wallA=-h d?区域I(x<0)2m dx2k=/2mE/nV, = Aeikr + Be-ikrIh? d?i区城ⅡI（x≥0)+V2m dx?x0Vn= A'eit + Be-ik'rk'=/2m(E-V) /n经典力学：E<V时，粒子不可能出现在>0的区域11111111111111111《量子化学》第二章量子力学简单体系

《量子化学》第二章 量子力学简单体系 §2.2 势垒贯穿 Penetration into and through barriers 2.2.1 An infinitely thick potential wall 0 x V I II 区域I (x < 0) 2 2 2 d ˆ 2 d H m x    区域II (x ≥ 0) 2 2 2 d ˆ 2 d H V m x    k mE  2  k mE V    2( )  经典力学：E<V时，粒子不可能出现在x>0的区域 i i I e e kx kx  A B    i i II e e kx kx  A B        11111111111111111

《葡康》区城ⅡVu = A'eik* + B'e-ikrk'= /2m(E-V)/nE<V，k'为虚数，设k=ixx= /2m(V- E) /nVμ= A'e- + B'e*xx->00, exx-→00,Yn= A'e-r区域Ⅱ中，粒子的波函数不为零，波函数衰减到零的速度取决于k，1/k为penetrationdepth11111111111111111《量子化学》第二章量子力学简单体系

《量子化学》第二章 量子力学简单体系 区域II i i II e e kx kx  A B        k mE V    2( )  E<V，k'为虚数，设k'=i II e e x x A B            2( ) mV E  x，ex ， II = A' ex • 区域II中，粒子的波函数不为零 • 波函数衰减到零的速度取决于，1/为penetration depth 11111111111111111