量子化学习题集第一章量子力学基础1.1如果g-Af对每一组A与f求g。(1) A=dldx, f=cos(x2+1):(2) A=5, f=sinx;(3)A=(),f-sinx;(4) A=exp , f=Inx:(5) A=dldx2, f-ln3x;(6) A=d ldx+3xdldx, f-4x ;1.2如A/(x)=3x(x)+2xdfldx，(x)为任意函数，给出A的表达式1.3给出3个满足Ae=e的A的表达式1.4如果A=dldx,B=x2,计算(1)ABx；(2)BAx(3)AB/(x)；(4)BA(x);1.5计算下列对易子(1)[x, ](2)[pr,p,] (3)[x,p,] (4) [x,p,] (5) [x",p,](6)[1/x, p,] (7)[1/x, p] (8)[xp, -ypr,yp: -zp,] (9)[x(@2 /y2), y(0/ax)](10)[sinx, dldx]; (11)[didx, ax?+bx+c](a, b, c 为常数); (12) [dldx, didx)]1.6证明，对于线性算符，有A(B+C)=AB+AC1.7如果A是线性算符，b,c为常数，f,g为任意函数，证明A(bf+cg)=bAf+cAg;证明若A(bf+cg)=bAf+cAg，则A一定是线性算符。1.8 证明:(1)[A, B]=-[B,A] (2)[A",A"]=0 (3)[A2, B]=A[A, B]+[A, B]A(4) [A, [B, C]+ [B, [C, A]+ [C, [A, B]]=01.9=p/2m+V(x)，分别计算(1)当V(x)=V(常数),(2)当V(x)=kx2/2,(3)当V(x)V(r)=e~/4元8or时的对易子[H,p,]与[H,x]1.10拉普拉斯变换算符i定义为if(x)=f°e-Pf(x)dx(1)i是否是线性算符，(2)计算i(1)；计算Le，假定p>a
量子化学习题集 第一章 量子力学基础 1.1 如果 g= Âf 对每一组 Â 与 f 求 g。 (1) Â=d/dx, f=cos(x 2 +1)； (2) Â=5, f=sinx； (3) Â=( )2 , f=sinx； (4) Â=exp , f=lnx； (5) Â=d2 /dx2 , f=ln3x； (6) Â=d2 /dx2 +3xd/dx, f=4x 3 ； 1.2 如 Âf(x)=3x 2 f(x)+2xdf/dx，f(x)为任意函数，给出 Â 的表达式 1.3 给出 3 个满足 Âe x =e x 的 Â 的表达式 1.4 如果 Â= d2 /dx2 , ˆ B= x 2 , 计算(1) Â ˆ Bx 3 ；(2) ˆ BÂx 3 ；(3) Â ˆ Bf(x)；(4) ˆ BÂf(x)； 1.5 计算下列对易子 (1)[x, y] (2)[, ] ˆ ˆ x y p p (3)[, ] ˆ x x p (4) 2 [, ] ˆ x x p (5) [, ] ˆ n x x p (6)[1 , ] ˆ x x p (7) 2 [1 , ] ˆ x x p (8)[,] ˆ ˆ ˆ ˆ y xz y xp yp yp zp (9) 22 2 [ ( ), ( )] x yy x (10)[sinx, d/dx]；(11)[ d2 /dx2 , ax 2 +bx+c](a, b, c 为常数)；(12) [d/dx, d2 /dx2 ] 1.6 证明，对于线性算符，有 Â( ˆ B+Ĉ)= Â ˆ B+ÂĈ 1.7 如果 Â 是线性算符，b,c 为常数，f, g 为任意函数，证明 Â(bf+cg)= bÂf + cÂg； 证明若 Â(bf+cg)= bÂf + cÂg，则 Â 一定是线性算符。 1.8 证明： (1) [Â, ˆ B]= [ ˆ B, Â] (2)[Âm,Ân ]=0 (3)[Â2 , ˆ B]= Â[Â, ˆ B]+[Â, ˆ B]Â (4) [Â, [ ˆ B, Ĉ]]+ [ ˆ B, [Ĉ, Â]]+ [Ĉ, [Â, ˆ B]]=0 1.9 2 ˆ ˆ 2 () H p m Vx x ，分别计算(1)当 V(x)=V(常数)，(2)当 V(x)=kx2 /2，(3)当 V(x) V(r)=e 2 /40r 时的对易子 ˆ [, ] ˆ H px 与 ˆ [ ,] H x 1.10 拉普拉斯变换算符ˆ L定义为 0 ˆ () () px Lf x e f x dx (1) ˆ L是否是线性算符，(2)计算ˆ L(1)；计算ˆ Leax，假定 p>a
1.11定义平移算符Th为T(x)=(x+h)，(1),是否是线性算符？(2)计算(7-3,+2)x21.12下面哪些函数是d/dx的本征函数，哪些是dldx2的本征函数?(1)ea (2)e (3)x (4)r2 (5)ax+b(6) sinx(7)sinx+cosx1.13如果A，B为厄米算符，证明：(1)A±B不是厄米(2)cA和A+B是厄米的算符(c为实常数)1.14如果A，B是厄米算符，（1)证明只有当A与B对易时乘积AB是厄米的；(2)证明(AB+BA)是厄米的；(3）xpx是厄米的吗？（4)(xpx+pat)是厄米的吗？1.15给出一个算符，使其满足A[(x)+g(x))=Al(x)+Ag(x)而不满足A[cf(x)=cAl(x);给出一个算符，使其满足A[c(x)]=cA/(x)：而不满足A[(x)+g(x)]=A(x)+Ag(x)1.16证明两个线性算符的积仍然是线性算符1.17下列哪些算符是厄米的？d/dx；i(dldx)；4d/dx2；(d/dx)1.18下列哪些算符满足力学量算符的要求(1)（），(2)d/dx，(3)dldx，（4)id/dx1.19在长度为1的一维箱中处于非定态的粒子，假定在时刻t0，它的状态函数是Y(to)=Nx(I-x）(O≤x≤I)。如果在to时刻我们测量粒子的能量，此时测量的可能结果是什么，每个结果的概率是多少？1.20下面那些函数哪些是品优的？对于不是品优的那些函数，要说明理由(1) y=x; (2) y=x; (3) y=e-, (4) y=e; (5) y=cosx; (6) y=sinxl;(7)y= e*; (8)=f1--1sx≤11 0x>1orx<-11.21下面那些算符是线性的(1) Ay=Ay; (2) AyFy*; (3)AyFy; (4) Ay=dyldx:
1.11 定义平移算符ˆ Th 为ˆ Thf(x)= f(x+h)， (1)ˆ Th 是否是线性算符？(2)计算(ˆ T2 13 ˆ T1 +2)x 2 1.12 下面哪些函数是 d/dx 的本征函数，哪些是 d2 /dx2 的本征函数？ (1) e ax (2) 2 ax e (3)x (4)x 2 (5) ax+b (6) sinx (7)sinx+cosx 1.13 如果 Â, ˆ B为厄米算符，证明： (1) i ˆ B不是厄米 (2) c 和 Â+ ˆ B是厄米的算符(c 为实常数) 1.14 如果 Â, ˆ B是厄米算符，(1)证明只有当  与 ˆ B对易时乘积  ˆ B是厄米的；(2) 证明1 2( ˆ B+ ˆ BÂ)是厄米的；(3) ˆ xˆ px是厄米的吗？(4)1 2(ˆ xˆ px+ˆ px ˆ x)是厄米的吗？ 1.15 给出一个算符，使其满足 Â[f(x)+g(x)]=Âf(x)+Âg(x)而不满足 Â[cf(x)]=cÂf(x)； 给出一个算符，使其满足 Â[cf(x)]=cÂf(x)；而不满足 Â[f(x)+g(x)]=Âf(x)+Âg(x) 1.16 证明两个线性算符的积仍然是线性算符 1.17 下列哪些算符是厄米的？ d/dx；i(d/dx)；4d2 /dx2 ；i(d2 /dx2 ) 1.18 下列哪些算符满足力学量算符的要求(1)( )½，(2)d/dx，(3)d2 /dx2 ，(4)id/dx 1.19 在长度为 l 的一维箱中处于非定态的粒子，假定在时刻 t0，它的状态函数是 (t0)=Nx(lx) (0 x l)。如果在 t0 时刻我们测量粒子的能量，此时测量的 可能结果是什么，每个结果的概率是多少？ 1.20 下面那些函数哪些是品优的? 对于不是品优的那些函数, 要说明理由 (1) = x；(2) = x 2 ；(3) = e|x| ；(4) = ex ；(5) = cosx；(6) = sin|x|； (7) 2 e x ；(8) 2 1 11 01 1 x x x or x 1.21 下面那些算符是线性的 (1) Â=；(2) Â=*；(3) Â=2 ；(4) Â=d/dx；
第二章量子力学简单体系2.1对于简并能级，任意波函数的线性组合都是H的具有同意本征值的本征函数，因此对于任何简并能级，可写出无限多个不同的本征函数。实际上我们只关心线性独立的本征函数，所谓线性独立，是指如果cW,+C2V2++c,V，=0只在ci,C2,…,cn均为零时才成立，那么yi，y2，…，yn称为线性独立，能级的简并度即为线性独立的波函数的个数。请判断，下列函数集那些是线性独立函数集:(1)x, x,x;(2)x,x,3x2-1;(3) sinx, cosx;(4) sinx, cosx, tanx;(5)sin'x, cos'x, 1; (6) sinx, cosx, e (7) sin'x, cos'y, 12.2三维势箱中一粒子的波函数是下列那些算符的本征函数？(1) px (2)P (3) β(4) 2.3对于边长为a,b,c的三维势箱，求量子数为nxny,n的状态下的(1)<x)；(2)<y)和(=)；(3)<px)；(4)(x)：(5)计算判断等式是否成立：()=(x)，《ay)=(xXy)2.4对一维谐振子的基态，求动能和势能的平均值，验证此情况下《T)-<V)2.5若函数(-x)=/(x)，则f是x的偶函数，若g(-x)=-g(x)，则g是x的奇函数。判断下列函数那些是偶函数，那些是奇函数？(6)2-2x(1)sinx(2)cosx(3)tanx(4)e(5) 122.6对谐振子1=1的态，求粒子最可能的位置2.7对氢原子的基态，求(1)r的平均值；(2)r的最可几值；（3)求2p态的<r）2.8证明对于定态，《T)+(V=E2.9计算氢原子基态的<T)，<V)2.10已知,力学量A的不确定度为△A，（MA)=《(A-(A))）=(A°)-(A)"，用一维势箱，验证x和px的不确定关系
第二章 量子力学简单体系 2.1 对于简并能级，任意波函数的线性组合都是Hˆ 的具有同意本征值的本征函数， 因此对于任何简并能级，可写出无限多个不同的本征函数。实际上我们只关 心线性独立的本征函数，所谓线性独立，是指如果 11 2 2 0 n n cc c 只在 c1, c2, ., cn 均为零时才成立，那么1, 2, ., n 称为线性独立，能级的 简并度即为线性独立的波函数的个数。请判断，下列函数集那些是线性独立 函数集：(1) x, x 2 , x 6 ; (2) x, x 2 , 3x 2 1; (3) sinx, cosx; (4) sinx, cosx, tanx; (5) sin2 x, cos2 x, 1; (6) sinx, cosx, e ix (7) sin2 x, cos2 y, 1 2.2 三维势箱中一粒子的波函数是下列那些算符的本征函数？ (1) pˆ x (2)pˆ 2 x (3) pˆ 2 z (4) xˆ 2.3 对于边长为 a,b,c 的三维势箱，求量子数为 nx, ny, nz 的状态下的(1) x；(2) y 和z；(3) px；(4) x 2 ；(5)计算判断等式是否成立：x 2 =x 2 ，xy=xy 2.4 对一维谐振子的基态，求动能和势能的平均值，验证此情况下T=V 2.5 若函数 f(x)=f(x)，则 f 是 x 的偶函数，若 g(x)=g(x)，则 g 是 x 的奇函数。 判断下列函数那些是偶函数，那些是奇函数？ (1) sinx (2) cosx (3) tanx (4) e x (5) 12 (6)22x 2.6 对谐振子 v=1 的态，求粒子最可能的位置 2.7 对氢原子的基态，求(1) r 的平均值；(2) r 的最可几值；(3)求 2p 态的r 2.8 证明对于定态，T+V=E 2.9 计算氢原子基态的T，V 2.10 已知,力学量 A 的不确定度为A， 2 2 2 2 A AA A A ，用一 维势箱，验证 x 和 px的不确定关系
第三章角动量、自旋和原子光谱3.1对[=2，计算L与=轴之间可能的夹角。3.2证明球谐函数是算符M+M的本征函数，并求其本征值。3.3证明角动量的三个对易规则[M,M,]-ihM[M,M]-ihM[M,M.]-ihM可合并写成MxM=ihM3.4证明：M，MM.为厄米算符。3.5如果两个力学量算符不对易([F,G)+0)，设Φ为体系的某一状态，则有(AF)(AG)≥-(0[F,)，该式为Heisenberg不等式；证明：(AM)(AM,)≥一m'n3.6 以(α,β)为基失,α,β可分别表示为α=() β=(9),对S,(S)1=(a/s/α)=h/2;(S-)12=(α/S-IB)=0;(S-)21=(BIS:α)=0;(S-)22=<βIS-Iβ)--h/2;由此，S的矩阵表示为s=(1 0)"2(0-1)(1）请推求Sx，S，S+，S_和S的矩阵表达式(2）化简下面算符：SS3233.7计算下列积分：(1)K0,0M,0,0);(2)2,1|M/2,0);(3) (2,2|M2(2,0);(5) <2,0|M_M4/2,0)(6)(2,0M2MM/2,0)(4)<2,0M.M/2,0);3.8计算下列积分：(1)<px/M-lpy);(2)(ps/M+lpy);(3)(p-/M)lpx);(4)p-[M(lpy)(5)<p-[M(px)3.9写出2p组态中3P谱项的全部波函数
第三章 角动量、自旋和原子光谱 3.1 对 l=2，计算→ L与 z 轴之间可能的夹角。 3.2 证明球谐函数是算符Mˆ 2 x+Mˆ 2 y的本征函数，并求其本征值。 3.3 证明角动量的三个对易规则 [Mˆ x, Mˆ y]=iMˆ z [Mˆ y, Mˆ z]=iMˆ x [Mˆ z, Mˆ x]=iMˆ y 可合并写成 Mˆ Mˆ = iMˆ 3.4 证明：Mˆ x, Mˆ y, Mˆ z为厄米算符。 3.5 如果两个力学量算符不对易([ˆ F,Gˆ ]0)，设为体系的某一状态，则有 2 2 2 1 ˆ ˆ ( )( ) [ , ] 4 F G FG ，该式为 Heisenberg 不等式；证明： 2 2 24 1 ( )( ) 4 MM m x y 3.6 以{, }为基矢，, 可分别表示为 1 0 0 1 ，对ˆ Sz，(ˆ Sz)11=| ˆ Sz|=/2; (ˆ Sz)12=| ˆ Sz|=0; (ˆ Sz)21=| ˆ Sz|=0; (ˆ Sz)22=| ˆ Sz|=/2; 由此，ˆ Sz的矩阵表示 为 1 0 ˆ 2 0 1 z S (1) 请推求ˆ Sx, ˆ Sy, ˆ S+, ˆ S和ˆ S2 的矩阵表达式 (2) 化简下面算符：ˆ Sx ˆ Sy, ˆ Sx ˆ S 2 y ˆ S 2 z, ˆ S 2 x ˆ S 2 y ˆ S 2 z 3.7 计算下列积分: (1)0,0|Mˆ z|0,0; (2)2,1|Mˆ +|2,0; (3) 2,2|Mˆ 2 +|2,0; (4) 2,0|Mˆ +Mˆ |2,0; (5) 2,0|Mˆ Mˆ +|2,0 (6) 2,0|Mˆ 2 +Mˆ zMˆ 2 |2,0 3.8 计算下列积分: (1) px|Mˆ z|py; (2) px|Mˆ +|py; (3) pz|Mˆ y|px; (4)pz|Mˆ x|py (5) pz|Mˆ x|px 3.9 写出 2p 组态中 3 P 谱项的全部波函数
第四章近似方法4.1用尝试变分函数=e-求谐振子的基态能级和波函数。4.2对一维势箱中粒子应用线性变分函数=cx(l-x)+c,x(1-x)，计算n=1和n=2时能级及波函数，并计算能级的百分误差。4.3对氢原子基态，用Gauss尝试函数=ec，求c的最佳值和能量的百分误差(使用原子单位制)。4.4如果对一维势箱中粒子用归一化的尝试变分函数=0≤x≤l,求其基态能量，讨论其是否合理，为什么？4.5宽度为L的一维势箱中的粒子，若有一微扰势能[-b0≤x≤L/2V'(x)=bL/2≤x≤L求能量的一级微扰修正值E和一级近似波函数yk。4.6 非线性谐振子的自=-需崇+号k +βx*，求能量的一级微扰修正项。2mdx2+24.7考虑各向同性介质在外电场作用下的极化现象。当没有外电场作用时，介质中的离子在其平衡位置附近作小振动，可看成是简谐振动。现在沿x方向加上一均匀外电场B，对于带电Q的离子，其自=-%需+-qgex，求一2mdx22级近似能量E和一级近似波函数k，求微粒坐标平均值x=(xVk）
第四章 近似方法 4.1 用尝试变分函数 2 x e 求谐振子的基态能级和波函数。 4.2 对一维势箱中粒子应用线性变分函数 2 2 1 2 cx l x cxl x () () ，计算 n=1 和 n=2 时能级及波函数，并计算能级的百分误差。 4.3 对氢原子基态，用 Gauss 尝试函数 2 cr e ，求 c 的最佳值和能量的百分误 差(使用原子单位制)。 4.4 如果对一维势箱中粒子用归一化的尝试变分函数 1 2 3 3 x 0 x l l ，求其 基态能量，讨论其是否合理，为什么？ 4.5 宽度为 L 的一维势箱中的粒子，若有一微扰势能 0 /2 ( ) / 2 b xL V x bL xL 求能量的一级微扰修正值 E'k和一级近似波函数k。 4.6 非线性谐振子的 2 2 2 4 2 1 ˆ 2 2 d H kx x m dx ，求能量的一级微扰修正项。 4.7 考虑各向同性介质在外电场作用下的极化现象。当没有外电场作用时，介质 中的离子在其平衡位置附近作小振动，可看成是简谐振动。现在沿 x 方向加 上一均匀外电场，对于带电 q 的离子，其 2 2 2 2 1 ˆ 2 2 d H kx q x m dx ，求一 级近似能量 E'k和一级近似波函数k，求微粒坐标平均值 k k x x