各向异性表面张力对柱晶界面形态的影响

工程科学学报，第37卷，第10期：1313-1318,2015年10月 Chinese Journal of Engineering,Vol.37,No.10:1313-1318,October 2015 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2015.10.009;http://journals.ustb.edu.cn 各向异性表面张力对柱晶界面形态的影响 杨振超”，陈明文)区，王艳林”，王自东》 1)北京科技大学数学物理学院，北京1000832)清华大学材料科学与工程学院，北京100084 3)北京科技大学材料科学与工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:chenmw@usth.edu.cn 摘要本文研究了拟稳态时各向异性表面张力作用下柱晶界面的生长行为.在运用渐近分析方法求解柱晶界面形态数学 表达式的基础上，分析在不同各向异性表面张力强度影响下柱晶界面形态的变化.各向异性表面张力对柱晶界面形态有显 著影响.在柱品生长开始阶段，柱晶部分界面首先向内收缩，当收缩达到某个临界值后，界面开始向外生长.柱晶界面沿着优 先生长方向更快地生长.柱品界面形态上形成突起变形，各向异性表面张力强度越大，柱品界面形态的突起变形越明显 关键词晶体：各向异性；表面张力：渐近展开法：晶体生长：形态 分类号TG111.4:0175.2 Effect of anisotropic surface tension on the interface morphology of column crystals YANG Zhen-ehao,CHEN Ming-en,WANG Yan-in?,WANG Zi-dong 1)Department of Mathematics and Mechanics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)School of Materials Science and Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084,China 3)School of Materials Science and Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:chenmw@ustb.edu.cn ABSTRACT The effect of anisotropic surface tension on the growth behavior of column crystals at quasi-steady state is considered in this article.By using the method of asymptotic expansion,a mathematic expression is obtained to describe the interface patterns of column crystals,and the interface morphology change with different anisotropic parameters is discussed.The results show that aniso- tropic surface tension has a great effect on the interface morphology.During the initial stage,some part of the interface shrinks inward first,and then it starts to move outward after the shrink reaches a critical value.In the direction of preferred growth,the interface of column crystals grows faster.The effect of anisotropic surface tension leads to bulge formation of the interface.As the anisotropic parameters increase,the bulge formation gets obvious. KEY WORDS crystals:anisotropy:surface tension:asymptotic expansion:grain growth:morphology 在凝固过程中材料的各向异性特征对凝固过程动 柱晶的截面圆半径小于某个临界半径R。时晶体生长 力学和界面微结构形态的形成有重要的影响四.在实 是稳定的，当柱晶的截面圆半径大于R。时晶体生长是 际的凝固过程中材料存在各向异性表面张力，理论研 不稳定的.Chen等o实验分析了柱晶形成和长大的 究和相场模拟都表明各向异性表面张力显著地影响晶 过程，发现在凝固过程中晶体形态演化受各向异性表 体生长速度和晶体的界面形貌-.Coriell和Parker回 面张力的影响，在凝固初始阶段新晶粒的出现阻碍原 研究了扩散场中柱晶生长的形态稳定性问题，发现当 晶粒生长，使晶体呈现有序结构.Chen等m用匹配渐 收稿日期：201405-31 基金项目：教育部海外名师资助项目(MS2010BK005):江西省科技支撑计划资助项目(20112BBE500O6):国家自然科学基金资助项目 (10972030)

工程科学学报，第 37 卷，第 10 期: 1313--1318，2015 年 10 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 37，No． 10: 1313--1318，October 2015 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2015． 10． 009; http: / /journals． ustb． edu． cn 各向异性表面张力对柱晶界面形态的影响 杨振超1) ，陈明文1) ，王艳林2) ，王自东3) 1) 北京科技大学数学物理学院，北京 100083 2) 清华大学材料科学与工程学院，北京 100084 3) 北京科技大学材料科学与工程学院，北京 100083  通信作者，E-mail: chenmw@ ustb． edu． cn 摘 要 本文研究了拟稳态时各向异性表面张力作用下柱晶界面的生长行为． 在运用渐近分析方法求解柱晶界面形态数学 表达式的基础上，分析在不同各向异性表面张力强度影响下柱晶界面形态的变化． 各向异性表面张力对柱晶界面形态有显 著影响． 在柱晶生长开始阶段，柱晶部分界面首先向内收缩，当收缩达到某个临界值后，界面开始向外生长． 柱晶界面沿着优 先生长方向更快地生长． 柱晶界面形态上形成突起变形，各向异性表面张力强度越大，柱晶界面形态的突起变形越明显． 关键词 晶体; 各向异性; 表面张力; 渐近展开法; 晶体生长; 形态 分类号 TG111. 4; O175. 2 Effect of anisotropic surface tension on the interface morphology of column crystals YANG Zhen-chao 1) ，CHEN Ming-wen1)  ，WANG Yan-lin2) ，WANG Zi-dong3) 1) Department of Mathematics and Mechanics，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) School of Materials Science and Engineering，Tsinghua University，Beijing 100084，China 3) School of Materials Science and Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China  Corresponding author，E-mail: chenmw@ ustb． edu． cn ABSTＲACT The effect of anisotropic surface tension on the growth behavior of column crystals at quasi-steady state is considered in this article． By using the method of asymptotic expansion，a mathematic expression is obtained to describe the interface patterns of column crystals，and the interface morphology change with different anisotropic parameters is discussed． The results show that aniso￾tropic surface tension has a great effect on the interface morphology． During the initial stage，some part of the interface shrinks inward first，and then it starts to move outward after the shrink reaches a critical value． In the direction of preferred growth，the interface of column crystals grows faster． The effect of anisotropic surface tension leads to bulge formation of the interface． As the anisotropic parameters increase，the bulge formation gets obvious． KEY WOＲDS crystals; anisotropy; surface tension; asymptotic expansion; grain growth; morphology 收稿日期: 2014--05--31 基金项目: 教育部海外名师资助项目( MS2010BJKJ005 ) ; 江西省科技支撑计划资助项目( 20112BBE50006 ) ; 国家自然科学基金资助项目 ( 10972030) 在凝固过程中材料的各向异性特征对凝固过程动 力学和界面微结构形态的形成有重要的影响［1］． 在实 际的凝固过程中材料存在各向异性表面张力，理论研 究和相场模拟都表明各向异性表面张力显著地影响晶 体生长速度和晶体的界面形貌［2--8］． Coriell 和 Parker ［9］ 研究了扩散场中柱晶生长的形态稳定性问题，发现当 柱晶的截面圆半径小于某个临界半径 Ｒc 时晶体生长 是稳定的，当柱晶的截面圆半径大于 Ｒc 时晶体生长是 不稳定的． Chen 等［10］实验分析了柱晶形成和长大的 过程，发现在凝固过程中晶体形态演化受各向异性表 面张力的影响，在凝固初始阶段新晶粒的出现阻碍原 晶粒生长，使晶体呈现有序结构． Chen 等［11］用匹配渐

·1314· 工程科学学报，第37卷，第10期 近展开方法研究过冷熔体中各向异性表面张力对球晶 界面演化的影响时，发现在各向异性表面张力作用下， 球晶生长初始阶段部分界面首先向内移动，达到一定 的熔化深度后向外移动，这一结论揭示了纳米颗粒的 形成机制网.本文利用渐近分析方法研究各向异性 卡R,© 表面张力对柱晶形态演化的影响，揭示在各向异性表 面张力影响下柱晶界面形态演化的物理机制. 1数学模型 在枝晶和晶须形态的研究中用柱晶的界面形态作 为一种近似.考虑在过冷熔体中柱晶界面的生长形态 变化.与Coriell和Parker以及Debroy和Sekerka国 的处理方法类似，将柱晶的几何形状视为无限液相中 直圆柱体，考虑初始半径为。的二维柱晶径向截面圆 的界面生长（如图1）.假设在过冷熔体中，远离柱晶 的远场温度为T.(T.<T,T为纯物质的熔化温 图1半径为。的柱晶截面圆界面 度)，界面的各向异性表面张力采用四重对称函数Y= Fig.I Interface circle of a column crystal whose radius is ro yo(1+a4cos4),其中y。为各向同性表面张力参数，0 固相的密度相等(p=P1=ps）,并且忽略浮力的影响. 为方向角，4为各向异性表面张力参数.为了便于作 渐近分析，我们选取。为长度尺度，△T=TM-T.为温 2渐近解和界面形貌 度尺度，'。=k△T/(r△H)为速度尺度，r。/W。为时间 对于典型的金属熔体，当过冷度△T=T-T.很 尺度对温度场和界面作量纲为一处理，其中k为液相 小时，e=△T/(△H/e,P)是一个小量，本文选取e为小 的热传导系数，△H为结晶潜热.在以原点为中心的极 参数(egI),寻求温度场和柱晶界面W={T,Ts,R} 坐标系下，设柱晶的界面为R=R(8,),柱晶的界面将 满足下面形式的渐近展开解： 液相(r>R(0,))和固相(r<R(0,t))分开，液相温度 W=W。+eW,+o(e) (7) T和固相温度T满足如下的温度控制方程和边界 利用界面展开式，对界面曲率作关于￡的渐近展开： 条件： T=0(r>R(0,), (1) 2=+ aR +o(e). (8) TTs=0(r<R(0,)). 将各向异性表面张力参数和小参数视为同阶量，记作 在界面R=R(0,t)上满足温度连续条件和Gibbs- a4=Pe其中P=0(1). Thomson条件： 将展开式代入式(1)~式(6)得到各阶近似下模 Ts=Tu, (2) 型满足的方程和边界条件 T1=2KT(1-15a4cos40)-C-MV. (3) 首阶近似下液相温度T。和固相温度T。的控制方程： 在界面R=R(8,)上能量守恒条件成立： V=(kV T-VT).n. (4) ,-e+1e+1=0, VTLo= (9) r ar r2 a0 在远离柱晶的液相温度分布远场条件和固相中心 'Ts 1aTso 18Ts 处温度分布正则条件分别为： VTa= r2+ =0 (10) rT→-1(r→)： (5) 在界面上，当r=R。(0,)时， lTs=0(1)(r+0) Tuo =Tso, (11) 界面的初始条件为： 当t=0时，R(0,0)=1. (6) C山a逃 Tm=R。 (12) at 式中：T,为界面温度：V为界面局部速度：K为界面平 ako=kr ar ar aT's aTio 均曲率；T为表面张力参数，厂=y,T/(r△H△T);C= (13) △T/Tu:M=k△T/(r。△HTu):μ为界面动力学系数； 液相的远场条件和固相中心处正则条件： k,=/压，k。为固相的热传导系数，k为液相的热传 rTo→-1 (r→∞）： 导系数；为界面的单位外法向量.本文假设液相和 (14) 1T0=0(1)(r0)

工程科学学报，第 37 卷，第 10 期 近展开方法研究过冷熔体中各向异性表面张力对球晶 界面演化的影响时，发现在各向异性表面张力作用下， 球晶生长初始阶段部分界面首先向内移动，达到一定 的熔化深度后向外移动，这一结论揭示了纳米颗粒的 形成机制［12］． 本文利用渐近分析方法研究各向异性 表面张力对柱晶形态演化的影响，揭示在各向异性表 面张力影响下柱晶界面形态演化的物理机制． 1 数学模型 在枝晶和晶须形态的研究中用柱晶的界面形态作 为一种近似． 考虑在过冷熔体中柱晶界面的生长形态 变化． 与 Coriell 和 Parker ［9］以及 Debroy 和 Sekerka ［13］ 的处理方法类似，将柱晶的几何形状视为无限液相中 直圆柱体，考虑初始半径为 r0 的二维柱晶径向截面圆 的界面生长( 如图 1) ． 假设在过冷熔体中，远离柱晶 的远场温 度 为 T∞ ( T∞ ＜ TM，TM 为 纯 物 质 的 熔 化 温 度) ，界面的各向异性表面张力采用四重对称函数 γ = γ0 ( 1 + α4 cos4θ) ，其中 γ0 为各向同性表面张力参数，θ 为方向角，α4 为各向异性表面张力参数． 为了便于作 渐近分析，我们选取 r0 为长度尺度，ΔT = TM － T∞ 为温 度尺度，Vp = kLΔT /( r0ΔH) 为速度尺度，r0 /Vp 为时间 尺度对温度场和界面作量纲为一处理，其中 kL 为液相 的热传导系数，ΔH 为结晶潜热． 在以原点为中心的极 坐标系下，设柱晶的界面为 Ｒ = Ｒ( θ，t) ，柱晶的界面将 液相( r ＞ Ｒ( θ，t) ) 和固相( r ＜ Ｒ( θ，t) ) 分开，液相温度 TL 和固相温度 TS 满足如下的温度控制方程和边界 条件: 2 Δ TL = 0( r ＞ Ｒ( θ，t) ) ， 2 Δ { TS = 0( r ＜ Ｒ( θ，t) ) ． ( 1) 在界面 Ｒ = Ｒ ( θ，t) 上 满 足 温 度 连 续 条 件 和 Gibbs￾Thomson 条件: TS = TL， ( 2) TI = 2KΓ( 1 － 15α4 cos4θ) － C － 1 MV． ( 3) 在界面 Ｒ = Ｒ( θ，t) 上能量守恒条件成立: V = ( kT Δ TS － Δ TL )·n． ( 4) 在远离柱晶的液相温度分布远场条件和固相中心 处温度分布正则条件分别为: TL→ － 1( r→∞ ) ; {TS = O( 1) ( r→0) ． ( 5) 界面的初始条件为: 当 t = 0 时，Ｒ( θ，0) = 1． ( 6) 式中: TI 为界面温度; V 为界面局部速度; K 为界面平 均曲率; Γ 为表面张力参数，Γ = γ0TM /( r0ΔHΔT) ; C = ΔT /TM ; M = kLΔT /( μr0ΔHTM ) ; μ 为界面动力学系数; kT = kS / kL，kS 为固相的热传导系数，kL 为液相的热传 导系数; n 为界面的单位外法向量． 本文假设液相和 图 1 半径为 r0 的柱晶截面圆界面 Fig． 1 Interface circle of a column crystal whose radius is r0 固相的密度相等( ρ = ρL = ρS ) ，并且忽略浮力的影响． 2 渐近解和界面形貌 对于典型的金属熔体，当过冷度 ΔT = TM － T∞ 很 小时，ε = ΔT /( ΔH/cp ρ) 是一个小量，本文选取 ε 为小 参数( ε1) ，寻求温度场和柱晶界面 W = { TL，TS，Ｒ} 满足下面形式的渐近展开解: W = W0 + εW1 + o( ε) ． ( 7) 利用界面展开式，对界面曲率作关于 ε 的渐近展开: 2K = － 1 Ｒ0 + ε Ｒ2 ( 0 Ｒ1 +  2 Ｒ1 θ 2 ) + o( ε) ． ( 8) 将各向异性表面张力参数和小参数视为同阶量，记作 α4 = Pε，其中 P = O( 1) ． 将展开式代入式( 1) ～ 式( 6) 得到各阶近似下模 型满足的方程和边界条件． 首阶近似下液相温度TL0和固相温度TS0的控制方程: 2 Δ TL0 =  2 TL0 r 2 + 1 r TL0 r + 1 r 2  2 TL0 θ 2 = 0， ( 9) 2 Δ TS0 =  2 TS0 r 2 + 1 r TS0 r + 1 r 2  2 TS0 θ 2 = 0． ( 10) 在界面上，当 r = Ｒ0 ( θ，t) 时， TL0 = TS0， ( 11) TS0 = － Γ Ｒ0 － C － 1 M Ｒ0 t ， ( 12) Ｒ0 t = kT TS0 r － TL0 r ． ( 13) 液相的远场条件和固相中心处正则条件: TL0→ － 1 ( r→∞ ) ; {TS0 = O( 1) ( r→0) ． ( 14) ·1314·

杨振超等：各向异性表面张力对柱晶界面形态的影响 ·1315· 界面的初始条件为： r3R(R。-T)-60r(k,+1)(A,R,+C-M0） 当1=0时，R。(0,0)=1. (15) (AR+C R+4C-M+D)]4()+ 满足边界条件的温度场分布渐近解首阶项为： 60PT(k+1)1 aRo (16) R,R。+4C-M(G,+D了}o4. (29) 其中， -1+--c-w竖)-克n(发)门 15TPR 业(R)= R+4C-M(k+1)' (17) 15Pr 其中，界面生长速度的首阶项为 业(R）=ER+4CMh,+丁' a迟=R,-T -3(5rA,+CM)R。-12rC-M (18) tR[A,R。+C-'M0 (R)=R(AR+G-R+4C-M(k+1)] 这里采用了Coriell-Parker回的方法，取某个特殊的无 2(R)= 穷远半径R.使得To(r=R)=-1(*),A=ln(R./ 4C-M(k+1)-15TA-R-4TC-M(k+4)R R). 4,R+C-0R。+4C-M(k+)] 对于一阶近似，液相温度T和固相温度Ts满足 的控制方程如下： A,(R,)=ep(广a()d小B +10+1=0, VTu= (19) ep(-a()d）d, VTs = 141s+1=0. 3R,(R。-T)-60r(k+1)(AR+C-M0 (20) a(R)= R(A,R。+CM[R+4CM(k+1）] 在界面上温度连续条件、Gibbs-Thomson条件和热 A,R。+C-M 量守恒条件成立： R。-下， 60rP(k,+1)A,R。+C-M (21) ar B(R）=R,+4GM(k,+1)R,-T 图2为沿0=0，π2，T,3π/2方向柱晶生长速度 图.沿0=0，π/2，T,3π2生长方向各向异性表面张 r[伦+（是）+59]-cw 力促进柱晶生长，柱晶生长速度始终为正值并且随各 向异性参数的增大而增大.图3为沿0=π/4,3π/4， (22) 5π/4,7π/4方向柱晶生长速度图.沿0=π/4,3π/4， 5π/4,7π/4生长方向各向异性表面张力抑制柱晶生 长，柱晶生长速度随各向异性参数的增大而减小.图4 为柱晶生长的初始阶段沿0=π/4,3π/4,5π/4,7π/4 (23) 方向柱晶生长速度图.受各向异性表面张力影响沿 界面的初始条件为： 12 当1=0时，R1(0,0)=0. (24) 一g=0 11 --g=0.02 满足边界条件的温度分布函数一阶项和界面形态函数 10 --…g-0.04 …a,=0.06 一阶项可通过分离变量法求得： 兰9 T(r,0,)=(2(R)AR()+Ψ(R)）rcos40, (25) 8 Tu(r,0,t)=(2(R)Ag(t）+Ψ(R))·rcos40, 7 (26) R,(L,6)=Ag(R）cos40. (27) 5 从而得到界面形态表达式的一阶渐近解： R=Ro+Ag (Ro)Cos40+0(e2). (28) 0 20 30 40 50 生长时间 由界面热平衡条件容易得到界面生长速度的控制方程 图2沿8=0，π2，T,3π2方向生长速度与生长时间的关系 V=迟 R。-T Fig.2 Relationship of velocity and time in the direction of 6=0, aR(AR。+C-M0+ m/2,r,3m/2

杨振超等: 各向异性表面张力对柱晶界面形态的影响 界面的初始条件为: 当 t = 0 时，Ｒ0 ( θ，0) = 1． ( 15) 满足边界条件的温度场分布渐近解首阶项为: TS0 = － Γ Ｒ0 － C － 1 M Ｒ0 t ， ( 16) TL0 ( = － 1 + 1 － Γ Ｒ0 － C － 1 M Ｒ0  ) [ t 1 － 1 Aλ ( ln r Ｒ ) ] 0 ． ( 17) 其中，界面生长速度的首阶项为 Ｒ0 t = Ｒ0 － Γ Ｒ0［AλＲ0 + C － 1 M］． ( 18) 这里采用了 Coriell-Parker ［9］的方法，取某个特殊的无 穷远半径 Ｒ∞ 使得 TL0 ( r = Ｒ∞ ) = － 1( * ) ，Aλ = ln( Ｒ∞ / Ｒ0 ) ． 对于一阶近似，液相温度 TL1和固相温度 TS1满足 的控制方程如下: 2 Δ TL1 =  2 TL1 r 2 + 1 r TL1 r + 1 r 2  2 TL1 θ 2 = 0， ( 19) 2 Δ TS1 =  2 TS1 r 2 + 1 r TS1 r + 1 r 2  2 TS1 θ 2 = 0． ( 20) 在界面上温度连续条件、Gibbs-Thomson 条件和热 量守恒条件成立: TL1 = TS1 ( － TL0 r － TS0  ) r r = Ｒ0 ·Ｒ1， ( 21) TS1 ( + TS0  ) r r = Ｒ0 ·Ｒ1 = Γ [ Ｒ1 Ｒ2 0 +  2 θ 2 ( Ｒ1 Ｒ2 ) 0 + 15Pcos4θ Ｒ ] 0 － C － 1 M Ｒ1 t ， ( 22) Ｒ1 t ( = kT TS1 r － TL1  ) r r = Ｒ0 ( + kT  2 TS0 r 2 －  2 TL0 r 2 ) r = Ｒ0 ·Ｒ1 ． ( 23) 界面的初始条件为: 当 t = 0 时，Ｒ1 ( θ，0) = 0． ( 24) 满足边界条件的温度分布函数一阶项和界面形态函数 一阶项可通过分离变量法求得: TS1 ( r，θ，t) = ( ΩS ( Ｒ0 ) AＲ ( t) + ΨS ( Ｒ0 ) )·r 4 cos4θ， ( 25) TL1 ( r，θ，t) = ( ΩL ( Ｒ0 ) AＲ ( t) + ΨL ( Ｒ0 ) )·r － 4 cos4θ， ( 26) Ｒ1 ( t，θ) = AＲ ( Ｒ0 ) cos4θ． ( 27) 从而得到界面形态表达式的一阶渐近解: Ｒ = Ｒ0 + εAＲ ( Ｒ0 ) cos4θ + O( ε2 ) ． ( 28) 由界面热平衡条件容易得到界面生长速度的控制方程 V = Ｒ t ≈ Ｒ0 － Γ Ｒ0 ( AλＲ0 + C － 1 M) + ε { 3Ｒ0 ( Ｒ0 － Γ) － 60Γ( kT + 1) ( AλＲ0 + C － 1 M) Ｒ2 0 ( AλＲ0 + C － 1 M) ［Ｒ0 + 4C － 1 M( kT + 1) ］ AＲ ( t) + 60PΓ( kT + 1) Ｒ0［Ｒ0 + 4C － 1 M( kT + 1 } ) ］ cos4θ． ( 29) 其中， ΨL ( Ｒ0 ) = 15ΓPＲ4 0 Ｒ0 + 4C － 1 M( kT + 1) ， ΨS ( Ｒ0 ) = 15PΓ Ｒ4 0［Ｒ0 + 4C － 1 M( kT + 1) ］， ΩS ( Ｒ0 ) = － 3( 5ΓAλ + C － 1 M) Ｒ0 － 12ΓC － 1 M Ｒ5 0 ( AλＲ0 + C － 1 M) ［Ｒ0 + 4C － 1 M( kT + 1) ］， ΩL ( Ｒ0 ) = Ｒ5 0 +［4C － 1 M( kT + 1) － 15ΓAλ － Γ］Ｒ4 0 － 4ΓC － 1 M( kT + 4) Ｒ3 0 ( AλＲ0 + C － 1 M) ［Ｒ0 + 4C － 1 M( kT + 1) ］ ， AＲ ( Ｒ0 ) ( = exp ∫ Ｒ0 1 α( x) d ) x ·∫ Ｒ0 1 β( x)· ( exp － ∫ Ｒ0 1 α( x) d ) x dx， α( Ｒ0 ) = 3Ｒ0 ( Ｒ0 － Γ) － 60Γ( kT + 1) ( AλＲ0 + C － 1 M) Ｒ0 ( AλＲ0 + C － 1 M) ［Ｒ0 + 4C － 1 M( kT + 1) ］· AλＲ0 + C － 1 M Ｒ0 － Γ ， β( Ｒ0 ) = 60ΓP( kT + 1) Ｒ0 + 4C － 1 M( kT + 1) ·AλＲ0 + C － 1 M Ｒ0 － Γ ． 图 2 沿 θ = 0，π/2，π，3π/2 方向生长速度与生长时间的关系 Fig． 2 Ｒelationship of velocity and time in the direction of θ = 0， π/2，π，3π/2 图 2 为沿 θ = 0，π/2，π，3π/2 方向柱晶生长速度 图． 沿 θ = 0，π/2，π，3π/2 生长方向各向异性表面张 力促进柱晶生长，柱晶生长速度始终为正值并且随各 向异性参数的增大而增大． 图 3 为沿 θ = π/4，3π/4， 5π/4，7π/4 方向柱晶生长速度图． 沿 θ = π/4，3π/4， 5π/4，7π/4 生长方向各向异性表面张力抑制柱晶生 长，柱晶生长速度随各向异性参数的增大而减小． 图 4 为柱晶生长的初始阶段沿 θ = π/4，3π/4，5π/4，7π/4 方向柱晶生长速度图． 受各向异性表面张力影响沿 ·1315·

·1316· 工程科学学报，第37卷，第10期 0=m/4,3m/4,5m/4,7m/4方向初始阶段界面生长速 度为负值，说明界面首先向内生长.图5则显示初始 =0 阶段柱晶界面沿0=π/4,3π/4,5π/4,7π/4方向首先 1=0.028 向内收缩，当这种收缩达到某个临界值时界面生长速 度为零，界面停止向内收缩，此后界面生长速度为正 1-0.127 值，和其他方向一样柱晶界面沿0=π/4,3π/4,5π/4， 7π4也开始向外生长.这与Chen等n关于各向异 性作用下球晶生长的结论相似.图6为柱晶沿各方 向均向外生长阶段生长速度随角度变化曲线.同样 可见各向异性表面张力增大柱晶沿日=0，π2，π， 3π/2方向的生长速度，减小柱晶沿0=π/4,3π/4， 0 5π/4,7π/4方向的生长速度.图7~图10为柱晶沿 各方向均向外生长阶段不同各向异性表面张力参数 图5各向异性参数α心4=0.06的初始阶段界面图 下的界面形态图. Fig.5 Interface shape during initial time with a =0.06 12 13.0 11 =0 ---e=0.02 12.5 10 --…=0.04 12.0 …g=0.06 9 11.5 11.0 10.5 10.0 -u,-0直线 9.5 --4,=0.02 ---a,0.04 9.0 --g,0.06 10 20 30 40 50 8.5 0 元/4 3m/8 3π/2 生长时间 生长角度 图3沿8=云/4,3m/4,5π/4,7π/4方向生长速度与生长时间的 图6‘=7.33时生长速度与生长角度的关系 关系 Fig.6 Relationship of velocity and angle at the time of t=7.33 Fig.3 Relationship of velocity and time in the direction of =/4, 3r/4,5r/4,7m/4 2 —a=0 ---,=0.02 ----a=0.04 …-0.06 -32-101234 0.05 0.10 0.15 0.20 图7不同时刻的界面形态图.其中各向异性参数心=0，从内向 生长时间 外分别对应时刻t=0,3.2,7.4,12.5,18.5,C=0.1,M=0.01, 图4沿日=：/4,314,5π14,7：4方向初始阶段生长速度与生 T=0.25,A=4,k=1,6=0.1 长时间的关系 Fig.7 Interface shape with a =0 at different time.t=0,3.2,7.4, Fig.4 Relationship of velocity and time during the initial stage in 12.5,18.5 (from inside to outside),C=0.1,M=0.01,I=0.25. the direction of =/4,3/4,5/4,7/4 Aa=4,kr=1,e=0.1

工程科学学报，第 37 卷，第 10 期 θ = π/4，3π/4，5π/4，7π/4 方向初始阶段界面生长速 度为负值，说明界面首先向内生长． 图 5 则显示初始 阶段柱晶界面沿 θ = π/4，3π/4，5π/4，7π/4 方向首先 向内收缩，当这种收缩达到某个临界值时界面生长速 度为零，界面停止向内收缩，此后界面生长速度为正 值，和其他方向一样柱晶界面沿 θ = π/4，3π/4，5π/4， 7π/4 也开始向外生长． 这与 Chen 等［11］关于各向异 性作用下球晶生长的结论相似． 图 6 为柱晶沿各方 向均向外生长阶段生长速度随角度变化曲线． 同样 可见各向 异 性 表 面 张 力 增 大 柱 晶 沿 θ = 0，π/2，π， 3π/2 方向的 生 长 速 度，减 小 柱 晶 沿 θ = π/4，3π/4， 5π/4，7π/4 方向的生长速度． 图 7 ～ 图 10 为柱晶沿 各方向均向外生长阶段不同各向异性表面张力参数 下的界面形态图． 图 3 沿 θ = π/4，3π/4，5π/4，7π/4 方向生长速度与生长时间的 关系 Fig． 3 Ｒelationship of velocity and time in the direction of θ = π/4， 3π/4，5π/4，7π/4 图 4 沿 θ = π/4，3π/4，5π/4，7π/4 方向初始阶段生长速度与生 长时间的关系 Fig． 4 Ｒelationship of velocity and time during the initial stage in the direction of θ = π/4，3π/4，5π/4，7π/4 图 5 各向异性参数 α4 = 0. 06 的初始阶段界面图 Fig． 5 Interface shape during initial time with α4 = 0. 06 图 6 t = 7. 33 时生长速度与生长角度的关系 Fig． 6 Ｒelationship of velocity and angle at the time of t = 7. 33 图 7 不同时刻的界面形态图． 其中各向异性参数 α4 = 0，从内向 外分别对应时刻 t = 0，3. 2，7. 4，12. 5，18. 5，C = 0. 1，M = 0. 01， Γ = 0. 25，Aλ = 4，kT = 1，ε = 0. 1 Fig． 7 Interface shape with α4 = 0 at different time． t = 0，3. 2，7. 4， 12. 5，18. 5 ( from inside to outside) ，C = 0. 1，M = 0. 01，Γ = 0. 25， Aλ = 4，kT = 1，ε = 0. 1 ·1316·

杨振超等：各向异性表面张力对柱晶界面形态的影响 ·1317· -2-101234 -3 -2-101234 图8不同时刻的界面形态图.其中各向异性参数a4=0.02,从 图10不同时刻的界面形态图.其中各向异性参数4=0.06， 内向外分别对应时刻t=0,3.2,7.4,12.5,18.5,C=0.1,M= 从内向外分别对应时刻t=0,3.2,7.4,12.5,18.5,C=0.1,M= 0.01,T=0.25,A4=4,kr=1,g=0.1 0.01,r=0.25,A=4,kr=1,8=0.1 Fig.8 Interface shape with a =0.02 at different time.t=0,3.2, Fig.10 Interface shape with a =0.02 at different time.t=0,3.2. 7.4,12.5,18.5 (from inside to outside),C=0.1,M=0.01,I= 7.4,12.5,18.5 (from inside to outside),C=0.1,M=0.01,I= 0.25,A=4,kr=1,e=0.1 0.25,A=4,k=1,e=0.1 π/4,3π/4,5π/4,7π/4生长方向各向异性表面张力抑 制柱晶生长，柱晶生长会经历一个先向内收缩再向外 生长的过程.柱晶界面上沿0=0，π2，π，3π/2方向 优先生长，且各向异性表面张力参数越大，优先生长越 明显 3结论 (1)本文用渐近分析方法研究各向异性表面张力 作用下柱晶界面的生长行为，获得各向异性表面张力 参数影响下柱晶界面形态的数学表示式. (2)在柱晶生长最初阶段，各向异性表面张力对 44320234 柱晶界面生长有特殊的作用.在柱晶生长最初阶段， 图9不同时刻的界面形态图.其中各向异性参数a4=0.04,从 柱晶界面首先向内收缩，当收缩达到某个临界值后才 内向外分别对应时刻t=0,3.2,7.4,12.5,18.5,C=0.1,M= 与其他方向一样向外生长.这一结论与球晶界面生长 0.01,厂=0.25,4=4，k=1,e=0.1 是类似的 Fig.9 Interface shape with =0 at different time.=0,3.2,7.4, (3)各向异性表面张力对柱晶界面形态有显著的 12.5,18.5 (from inside to outside),C=0.1,M=0.01,I=0.25, 作用.各向异性表面张力使得柱晶沿着优先生长方向 A1=4,kT=1,E=0.1 更快地生长，界面形态形成突起 由图6可知：当柱晶生长不受各向异性表面张力 参考文献 影响时，生长速度与生长角度无关，所以界面半径R ]Xu Solidification Dynamics and the Interface Stability Theory. 不会随生长方向0变化（如图7）：当柱晶生长受各向 Beijing:Science Press,2006 异性表面张力影响时，生长速度与生长角度相关，界面 (徐鉴君.凝固过程动力学与交界面稳定性理论导引.北京： 半径R随生长方向日变化，各向异性表面张力参数值 科学出版社，2006) 越大不同生长方向上速度值差异越大，R的值差异越 Kessler D A,Koplik J,Levine H.Numerical simulation of two-di- 大，界面形态上出现突起变形（如图8~图10） mensional snowflake growth.Phys Rev A,1984,30(5):2820 3]Hou H.Zhao Y H,Niu X F.3D anisotropy simulation of den- 各向异性表面张力对柱晶生长的作用随生长方向 drites growth with phase field method.Trans Nonferrous Met Soc 变化.沿0=0，T2,π，3π/2生长方向各向异性表面 China,2008,18(Suppl1):223 张力促进柱晶生长，并且柱晶始终向外生长：沿日= 4]Yokoyama E,Sekerka R F.A numerical study of the combined

杨振超等: 各向异性表面张力对柱晶界面形态的影响 图 8 不同时刻的界面形态图． 其中各向异性参数 α4 = 0. 02，从 内向外分别对应时刻 t = 0，3. 2，7. 4，12. 5，18. 5，C = 0. 1，M = 0. 01，Γ = 0. 25，Aλ = 4，kT = 1，ε = 0. 1 Fig． 8 Interface shape with α4 = 0. 02 at different time． t = 0，3. 2， 7. 4，12. 5，18. 5 ( from inside to outside) ，C = 0. 1，M = 0. 01，Γ = 0. 25，Aλ = 4，kT = 1，ε = 0. 1 图 9 不同时刻的界面形态图． 其中各向异性参数 α4 = 0. 04，从 内向外分别对应时刻 t = 0，3. 2，7. 4，12. 5，18. 5，C = 0. 1，M = 0. 01，Γ = 0. 25，Aλ = 4，kT = 1，ε = 0. 1 Fig． 9 Interface shape with α4 = 0 at different time． t = 0，3. 2，7. 4， 12. 5，18. 5 ( from inside to outside) ，C = 0. 1，M = 0. 01，Γ = 0. 25， Aλ = 4，kT = 1，ε = 0. 1 由图 6 可知: 当柱晶生长不受各向异性表面张力 影响时，生长速度与生长角度无关，所以界面半径 Ｒ 不会随生长方向 θ 变化( 如图 7) ; 当柱晶生长受各向 异性表面张力影响时，生长速度与生长角度相关，界面 半径 Ｒ 随生长方向 θ 变化，各向异性表面张力参数值 越大不同生长方向上速度值差异越大，Ｒ 的值差异越 大，界面形态上出现突起变形( 如图 8 ～ 图 10) ． 各向异性表面张力对柱晶生长的作用随生长方向 变化． 沿 θ = 0，π/2，π，3π/2 生长方向各向异性表面 张力促进柱晶生长，并且柱晶始终向外生长; 沿 θ = 图 10 不同时刻的界面形态图． 其中各向异性参数 α4 = 0. 06， 从内向外分别对应时刻 t = 0，3. 2，7. 4，12. 5，18. 5，C = 0. 1，M = 0. 01，Γ = 0. 25，Aλ = 4，kT = 1，ε = 0. 1 Fig． 10 Interface shape with α4 = 0. 02 at different time． t = 0，3. 2， 7. 4，12. 5，18. 5( from inside to outside) ，C = 0. 1，M = 0. 01，Γ = 0. 25，Aλ = 4，kT = 1，ε = 0. 1 π/4，3π/4，5π/4，7π/4 生长方向各向异性表面张力抑 制柱晶生长，柱晶生长会经历一个先向内收缩再向外 生长的过程． 柱晶界面上沿 θ = 0，π/2，π，3π/2 方向 优先生长，且各向异性表面张力参数越大，优先生长越 明显． 3 结论 ( 1) 本文用渐近分析方法研究各向异性表面张力 作用下柱晶界面的生长行为，获得各向异性表面张力 参数影响下柱晶界面形态的数学表示式． ( 2) 在柱晶生长最初阶段，各向异性表面张力对 柱晶界面生长有特殊的作用． 在柱晶生长最初阶段， 柱晶界面首先向内收缩，当收缩达到某个临界值后才 与其他方向一样向外生长． 这一结论与球晶界面生长 是类似的． ( 3) 各向异性表面张力对柱晶界面形态有显著的 作用． 各向异性表面张力使得柱晶沿着优先生长方向 更快地生长，界面形态形成突起． 参 考 文 献 ［1］ Xu J J． Solidification Dynamics and the Interface Stability Theory． Beijing: Science Press，2006 ( 徐鉴君． 凝固过程动力学与交界面稳定性理论导引． 北京: 科学出版社，2006) ［2］ Kessler D A，Koplik J，Levine H． Numerical simulation of two-di￾mensional snowflake growth． Phys Ｒev A，1984，30( 5) : 2820 ［3］ Hou H，Zhao Y H，Niu X F． 3D anisotropy simulation of den￾drites growth with phase field method． Trans Nonferrous Met Soc China，2008，18( Suppl 1) : 223 ［4］ Yokoyama E，Sekerka Ｒ F． A numerical study of the combined ·1317·