三、旋转变换图形在二维平面内绕坐标原点旋转某一角度生成新PIx.y的图形，这种变换成为旋转变换到p*·P（x，y）旋转6图3-5点绕原点的旋转(x*，y*)（+0）x'=rcosx=rcosp(Φ+0)y'=rsiny=rsingx* -xcoso-ysinoy*=xsino+ycoso0图3-4平面图形的旋转变换
三、 旋转变换 • 图形在二维平面内绕坐标 原点旋转某一角度生成新 的图形，这种变换成为旋 转变换 • P（x，y）旋转 到p* （x*，y*）
几何变换的矩阵表示·用一个行向量（xy）表示二维平面上任意一点P(x,y)的位置坐标，该行向量与一个2*2阶变换矩阵相乘，可实现p点的变换，令9→(ax+cy bx+dy)=(x* y(xy即 x*=ax+cy y*=bx+dy改变矩阵中元素的值，可实现比例、旋转、反射等变换。无法平移变换
几何变换的矩阵表示 • 用一个行向量（x y）表示二维平面上任意一点 P(x,y)的位置坐标，该行向量与一个2*2阶变换 矩阵相乘，可实现p点的变换，令 = c d a b T ( ) ( ) ( ) * * y ax cy bx dy x y c d a b x = + + = 即 x*=ax+cy y*=bx+dy 改变矩阵中元素的值，可实现比例、旋转、反射等变 换。无法平移变换
齐次坐标所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。如n维向量(P1,P2,,Pn）表示为8（hP1,hP2.hPn，h），其中h称为哑坐标。1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。“一对多2、普通坐标与齐次坐标的关系为由普通坐标xh一齐次坐标由齐次坐标=h一普通坐标“规格化坐标”3、当h1时产生的齐次坐标称为因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标
所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维 向 量 。 如 n 维向量 (P1,P2, . ,Pn) 表 示 为 （hP1,hP2,hPn,h），其中h称为哑坐标。 1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是 唯一的。 如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是 (1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。 2、 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” 由普通坐标h→齐次坐标 由齐次坐标÷h→普通坐标 3、 当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标” ， 因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。 齐次坐标
齐次坐标（x，y）点对应的齐次坐标(Xh,Yh,h)Xh = hx, Yh = hy,h ± O（x，y）点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线Xh = hxJh = hyZh =h
齐次坐标 (x,y)点对应的齐次坐标为 (x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直 线 (x , y ,h) h h xh = hx, yh = hy,h 0 = = = z h y hy x hx h h h
二维图形的几何变换·设二维图形变换前坐标为(x,y,1),变换后为(x*y*,1)dagh·1：二维变换矩阵Tp=6eT2p分为四部分：Va,b,e,d可产生比例、旋转、对称、错切Vc，f产生平移VG,h产生透视变换V则产生全比例变换
二维图形的几何变换 • 设二维图形变换前坐标为(x,y,1),变换后 为(x*,y*,1) • 1． 二维变换矩阵 T2D分为四部分： ✓a,b,e,d 可产生比例、旋转、对称、错切 ✓c，f 产生平移 ✓G,h产生透视变换 ✓i则产生全比例变换 = c f i b e h a d g T2D