上海交通大学：《弹塑性力学》课程教学资源（讲义）弹性与塑性应力应变关系

弹性常互表（续） E G K 4、G 2G1+月 G 2uG 1-20 2G1+4 1-24 、2 (1+山0-20 1-24 Q+四 2u 、K x1-2 E1-2m 21+ K G、2 G3+2G G 31+2G 1+G 21+可 G、 3KG K-2G K-2G K+G 2K+可 3 E 、K 3EK+) K-3成 -无 E-无 国上活我大峰 ME6011弹性塑性力学 21 必例题3-1 图示橡皮立方体放在同样大小的铁盒内，其上用铁盖封闭， 铁盖上受压力q的作用。设铁盖与铁盒可以作为刚体看待， 假设橡皮与铁盒之间无摩擦阻力。 试求橡皮块的体积应变和橡皮块中最大的剪应力；铁盒内 侧面受的压力。 9 解： HHH 铁盒视为刚体 6x=0,6,=0 0:=-q 圆上活大呼 ME6011弹性塑性力学 22 11

11 ME6011 弹性塑性力学 21 ME6011 弹性塑性力学  例题3-1 图示橡皮立方体放在同样大小的铁盒内，其上用铁盖封闭， 铁盖上受压力q的作用。设铁盖与铁盒可以作为刚体看待， 假设橡皮与铁盒之间无摩擦阻力。 试求橡皮块的体积应变和橡皮块中最大的剪应力；铁盒内 侧面受的压力。 q q x z y 解：  x  0,  y  0 铁盒视为刚体 q  z   22

代入空间问题的胡克定律 02a,o,91 橡皮块侧面应力 0x=0y= 0=5a,-(a,-91 1-4 8:=E{9-4(a,+o,】= 1 (1-2)1+4 -0 E(1-)） 0=6x+6y+8:= (1-21+） E1-） 橡皮和铁盒之间无摩擦力"→t=0 L 01=02=- -9,03=-9 =c03=1-2川） 1- 22(1-0） 上青文大警 M6011弹性塑性力学 少 铁盒内侧面受的压力： 橡皮左侧： Pix=-1xO,= q 1-4 橡皮前侧： pw=1×o,=- 1-4 铁盒左侧： -1×Px 铁盒前侧： -1×Pw 圆人唑 ME6011弹性塑性力学 24 12

12 ME6011 弹性塑性力学 代入空间问题的胡克定律 [ ( )] 1 0 q E   x    y  [ ( )] 1 0 q E   y    x  [ ( )] 1 z x y q E        q x y         1 q E(1 ) (1 2 )(1 )         q E x y z (1 ) (1 2 )(1 )                橡皮和铁盒之间无摩擦力  0 ij  q  q  1  2   3 , 1      q 2(1 ) (1 2 ) 2 1 3 max           23 橡皮块侧面应力 ME6011 弹性塑性力学 24 铁盒内侧面受的压力： 橡皮左侧： 1 1 vx x p q        橡皮前侧： 1 1 vy y p q        铁盒左侧： 1 vx   p 铁盒前侧： 1 vy   p

弹性概念的一般化 一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为： ay=f(su) 应力与应变张量均为六个独立分量。则 ox=f(e,6,6,/o,/=,/) 如果材料o,=f(s)呈 0,=f5(e,6,6,o,1e,/a) 单值连续关系（不一定线性）， 则称为柯西(Cauchy)弹性材 o:=6(e,6,6,Yo/eyx） 料（一般意义上的弹性）。 tn=f(E,6,6o/） te=f5(6,6,6,”ge) 呈线性单值连续关系的材 t=f(e,6,6,/o,e,/x) 料性质称为线弹性。 上活元大警 ME6011弹性塑性力学 25 广义胡克定律的一般形式 线弹性材料在复杂应力状态下其应力张量与应变张量亦呈线性关系 Ox=CuEx +C2Ey +C38:+C4ys +CisY+C6Y Oy=C21&x+C2Ey+C23E:+C24Yxy+C25Y+C26Yx O:=C31Ex +C32Ey+C33E:+C34Yxy+C35Y+C36Yx To =CaEx +CEy+C43E:+CaYy +CasY+CaoY T=C51Ex+C52Ey+C53E:+C54yx+C55yv+C56Yx Tx=C6IEx C62Ey +C63E:+C64Yxy +C65Y+C66Yx 矩阵表示形式： )=[CHe) 其中 {σ}{}一分别称为应力和应变列阵 [C]一称为弹性矩阵。其元素c为36个 ©上产文人峰 ME6011弹性塑性力学 26 13

13 ME6011 弹性塑性力学 25 弹性概念的一般化 一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：  ij ij  f   应力与应变张量均为六个独立分量。则             1 2 3 4 5 6 ,,, , , ,,, , , ,,, , , ,,, , , ,,, , , ,,, , , x x y z xy yz zx y x y z xy yz zx z x y z xy yz zx xy x y z xy yz zx yz x y z xy yz zx zx x y z xy yz zx f f f f f f                               如果材料 呈 单值连续关系（不一定线性）， 则称为柯西（Cauchy）弹性材 料（一般意义上的弹性）。  ij ij  f   呈线性单值连续关系的材 料性质称为线弹性。 ME6011 弹性塑性力学 26 广义胡克定律的一般形式 线弹性材料在复杂应力状态下其应力张量与应变张量亦呈线性关系 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 x x y z xy yz zx y x y z xy yz zx z x y z xy yz zx xy x y z xy yz zx yz x y z xy yz cccc c c cccc c c cccc c c cccc c c cccc c                                  56 61 62 63 64 65 66 zx zx x y z xy yz zx c cccc c c          矩阵表示形式：   C 、 ——分别称为应力和应变列阵   C ——称为弹性矩阵。其元素cmn为36个 其中

如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。 根据热力学第一定律和相应数学推导， g=f(6,) 有势， 其势函数U()为物体单位体积的变形能（应变能）。 U 0= 08y Green公式 aU 0x= ,0,= Uo,o.= Uo,= U ,= Uo 0E OEy 6: Yx ,T= OYx y 00x三 OUo=C12 由 OE 0E OE aU。=c 00y三 C12=C21 OEx OEOEy 同理 C3=C31G4=C41C5=C51 ……… 即 Cmm=Cnm 上活克瓦大警 ME6011弹性塑性力学 27 . C C12 G13 C14 C15 C16 C22 C23 C24 C25 C C S 8 CM c的 C56 Y= 弹性矩阵为对称矩阵，共有21个独立的弹性常数 圆人唑 ME6011弹性塑性力学 28 14

14 ME6011 弹性塑性力学 27 如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。 根据热力学第一定律和相应数学推导， 有势， 其势函数U0(ij) 为物体单位体积的变形能（应变能）。  ij ij  f   0 ij ij U      —— Green公式 000 0 00 ,,,,, x y z xy yz zx x y z xy yz zx UUUUUU             由 0 12 x y xy U c          0 21 y x xy U c          12 21 c c  同理 13 31 c c  14 41 c c  15 51 c c   即 mn nm c c  56 65 c c  ME6011 弹性塑性力学 28 11 12 13 14 15 16 22 23 24 25 26 33 34 35 36 44 45 46 55 56 66 x x y y z z xy xy yz yz zx zx cccccc ccccc cccc ccc c c c                                      对 称 弹性矩阵为对称矩阵，共有21个独立的弹性常数

正交各向异性材料 具有三个相互垂直弹性对称面的材料称为正交各向异性材料。 C 0 0 01f C22 C23 0 0 C33 0 0 0 CaA 0 0 Pix.y.) C55 0 正交各向异性材料，其独立的弹性常数为9个；正应变仅 产生正应力，切应变仅产生切应力。 工程上一般用三个弹性模量(E,、E,、E),三个泊松比(Poisson)(4、“ 4)和三个切变模量(G,、G、G)表示。 煤、木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性弹性体。 国我秋峰 ME6011弹性塑性力学 29 各向同性材料 Cu C12 C12 0 0 0 91C2 0 0 0 今 G 0 0 0 0 6: 对 1 (G1-c2) 0 称 Yx 各向同性材料独立的弹性常数只有2个 上酒哀司大 ME6011弹性塑性力学 30 15

15 ME6011 弹性塑性力学 29 正交各向异性材料 具有三个相互垂直弹性对称面的材料称为正交各向异性材料。 x y z P (x, y, z) O 11 12 13 22 23 33 44 55 66 000 000 000 0 0 0 x x y y z z xy xy yz yz zx zx ccc c c c c c c                                     对 称 正交各向异性材料，其独立的弹性常数为9个；正应变仅 产生正应力，切应变仅产生切应力。 工程上一般用三个弹性模量（Ex、 Ey 、 Ez ），三个泊松比（Poisson）（xy、  yz、  zx）和三个切变模量（Gxy、 Gyz、Gzx）表示。 煤、木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性弹性体。 ME6011 弹性塑性力学 30 各向同性材料       11 12 12 11 12 11 11 12 11 12 11 12 000 000 000 1 0 0 2 1 0 2 1 2 x x y y z z xy xy yz yz zx zx ccc c c c c c c c c c                                 对 称 各向同性材料独立的弹性常数只有2个