轧钢机扭振的实测、电算与优化设计

∑M+R=0,i=1,2,m (4) 写成矩阵形式如下： (S){Q}+{R}=0 (5) {Q}=(Mg1Mo2…Mom}T {R}={R,Rz…Rm}T {Q}为基本未知量列阵。 {R}为在扭振平衡位置处各轴段内力矩水平（简称为“轴段扭矩中心”）所组成的列 阵。轴段i的扭矩中心R,用下式计算： Rima:T-3T (6) a:一按突加力矩T传输到各惯量的流向，在所考虑的轴段i后面所有惯量之和SJ,占 系统惯量总和SJ的百分比，称为“惯量比重系数”。对图5中各直串系统，当T作用于末端 惯量时： a=∑Jx 2 (7) 对分支系统也可按同样方式确定。 解线性代数方程组(5)並将求出的解代入（3)式，即可求出全部扭矩振幅分量的数 值，即〔M)矩阵。(5)式使多自由度扭振问题具有简洁的数学形式及明确的物理意义。 也可以用坐标变换的方法〔1〕计算各扭矩振幅分量（推导从略）： M=(-T)=A5 (8) S:,一一由振型曲线计算得到的第j阶振型第i轴段扭矩振幅分武的相对比值，川下式计 算 S:1=C:(A1+1,1-A1) (9) 它正好代表在轴段区间内第j阶振型曲线的斜率。 G1一振型常数，对第j阶振型： G=H) H,=∑JxAx) K=1 【H,一一第阶振型坐标变换系数。 Ar一第阶振型激振作用点的角振幅比。 1一第j阶振型基准端（即Ho1zer法中角振幅取作1的首端）的角振幅值，它取决 于振型常数(G,)以及激振力矩的大小(T)和作用点（Ar)。 川(8)式计算得到的M:,值与川（5)及(3)式计算的结果一敛。表2是对轧机 1第3、5、10三个轴段计算的各阶扭矩振幅分量（取T=1)。由衣中看：，对激振输入 轴段（轴段10）各阶分量完全同号，而对其余轴段则不完全同号。同时也着出，随着振型阶 数的增高，振型常数G,越来越大，因而高阶分量所占的比重(%)越来越小。 69

+ 乏 ` 一 = R M 0 ( ) 4 1 1 . 写成矩阵形式 如下 : S { } 〔 〕 Q { } Q = { { } R = 笼 + { } = R M o x M : o = 1 , 2 , … , r一l 0 … M o 。 } T ( 5 ) R 一 R : … R m 毛Q } 为基本未知 量列阵 。 { R } 为在扭 振平 衡 位置处 各 轴段 内力矩 水 平 (简称 为 “ 轴段扭矩 中心 ” ) 所 组成 的 列 阵 。 轴段 i的 扭矩 中心 R : 用下 式计 算 : R : = a : T = 兰艺 J 卜 T ( 6 ) a : — 按 突加 力矩 T传输到各惯 量 的 流向 , 在所考虑 的轴段 i 后 面所有惯 量 之和 芝 J : 占 系统 惯量总 和 万J的百 分比 , 称 为 “ 惯量 比 重系数 ” 。 对 图 5 中 各直 串系统 , 当 T 作用于 末端 惯 量时: l n a : = 乏` K / 乏“ ( 7 ) / / K 一 l 对分支系统 也可 按同样方式 确定 。 解线 性代数方 程组 ( 5 ) 业将求出的解代入 ( 3 ) 式 , 即 可 求出全 部扭矩振幅分 里的数 值 , 即 〔M 〕矩阵 。 ( 5 ) 式 使多 自由度扭 振 问题 具有简洁的数学形 式 及明 确的 物理意义 。 也可 以 用坐标变 换的方法 〔 1 〕计算各扭 矩 振幅 分量 ( 推导 从略 ) : M : , = ( 一 子) S , 】 = A 】 S , 】 ( 8 ) S : , — 由振型 曲线 计 算得到的第 j 阶振型 第 i轴段 扭 矩振 幅分 量的相 对 比值 , 川 下式 计 算 : S ` 一 二 C 一 ( A 一 , : , J 一 A , , ) ( 9 ) 它正好 代 表在 轴段 i 区间内第 j阶振 型 曲线的斜 率 。 G J — 振 型 常数 , 对第j 阶振型 : G , = 。 , 名 H J n H , = 乏J K A : , “ K 一 1 H , -一第 j阶 振 型 坐标变 换系数 。 A T : · — 第j阶振型激 振作用 点 的角振 幅 比 。 入 」 — 第 j阶 振型 基准端 ( 即 H o l z e r 法 中角 振幅 取作 1 的首端 ) 的角 振幅 值 , 它取 决 于 振型 常数 ( G , ) 以 及激振 力矩 的大小 ( T ) 和 作用 点 ( A : l ) 。 J!J ( s ) 式计算得到的 M I , 值 与 )11 ( 5 ) 及 ( 3 ) 式 计 算的 结果 一致 。 表 2 是 对轧 机 .l1 第 3 、 5 、 10 三 个轴段 计算的 各阶 扭 矩振 幅 分量 ( 取 ’ r “ l) 。 由 表中 看出 , 对 激振 输 入 轴段 ( 轴段 1 0) 各阶分 量完 全 同号 , 而对其 余轴段 则 不完 全 同 号 。 同 时也 石 出 , 随 着振 型阶 数的 增高 , 振型 常数G , 越 来越 大 , 因而 高阶分 量所 占的 比重 ( % ) 越来越 小

表2 轧机F1各轴段扭矩振幅分量计算 振 型阶 轴 段 3 G A T A S1) MI % 0.589552×103 0.210611×102 0.357240×10-7 -0.514415×108 1.83768756.432 2 0.325485×10° 0.501251×10 -0.154001×10-7 -0.709019×108 1.09189633.529 0.494332×109 -0.132926×10 0.268901×10-8 0.438384×108 0.117882 3.620 0.488849×1011 0.297472×102 -0.608515×10-9 0.278336×10 0.169367 5.201 5 0.372523×1013 -0.683820×101 0.183565×10-11 0.121477×101 0.022299 0.685 6 0.338421×1016 0.412847×103-0.121992×10-11 0.140959×1011 0.017196 0.528 7 0.730239×101 -0.176487×105 0.241684×10-14 0.469530×1011 0.000113 0.004 8 0.329892×1028 0.778678×108-0.236040×10-17 0.114054×1012 0.000000 9 0.419158×1028 0.317951×103 0.758547×10-11 0.147077×1012 0.000000 表2（续） 轴 段 5 轴 段 10 数 S11 Mi % S11 Mi % 1 -0.317315×108 -1.133571 73.907 -0.186559×108 -0.666460 67.355 2 0.625687×107 -0.096356 6.282 0.945960×107 -0.145679 14.723 3 0.733153×107 0.019714 1.285 -0.567355×107 -0.015256 1.542 4 -0.422685×109 0.257204 16.769 0.180595×10 -0.109892 11.106 -0.127834×109 -0.000235 0.015 -0.185615×109 -0.000341 0.034 6 0.183793×1011 -0.022421 1.462 0.125951×1011 -0.015365 1.553 7 0.172212×103 0.004162 0.271 0.104096×1018 -0.002516 0.254 8 0.464825×1014 -0.000109 0.007 0.120256×1017 -0.028385 2.869 9 0.145002×1016 0.000011 0.001 0.735517×1017 -0.005579 0.564 在多自由度系统情况下，考虑阻尼对振型的影响将使计算复杂化。根据实测扭矩曲线波 形衰减的状况判断，轧钢机轴系的阻尼比Y,约在0.025~0.05范围内。在此按轻阻尼情况用 近似方法处理，即不考虑阻尼对固有频率及振型的影响，並假定固有振型对阻尼矩阵也具有 正交性，则轴段i在时刻t的瞬态响应M,(t)可用下式计算： M(t)=-R,+ e-Y1,tM,(e8o,t+Y,ino,t) (10) =1 依次取时刻t=0,△t,2△t,…,q△t求出扭矩时间序列{M,}: {M,}={M,(o)M,(△t)M,(2△t)…M1(q△t)} (11) 将序列中最大元素值M1mx代入(1)式，即得轴段的扭矩放大系数K,。时间间隔△t可 根据需要选择，例如取△t=0.001秒。 70

表 轧机 各轴段扭矩 振幅 分量 计算 2 I F G , A T J 入 . M , - 段一 | 振型阶数 0 . 5 8 9 5 5 2 x 1 0 , 0 . 3 2 5 4 8 5 x 1 0 . 0 . 4 9 4 3 3 2 x 1 0 , 0 . 4 8 8 8 4 9 x 1 0 1 1 0 . 3 7 2 5 2 3 x 1 0 1 , 0 . 3 3 8 4 2 1 x 1 0 1 6 一 0 . 2 1 0 6 1 1 x 1 0 2 0 . 5 0 1 2 5 1 x 1 0 1 一 0 . 1 3 2 9 2 6 x 1 0 1 0 。 3 5 7 2 4 0 x 1 0一 7 一 0 . 15 4 0 0 1 x 1 0一 7 0 . 2 6 8 9 0 1 x 1 0一 8 一 1 . 8 3 7 6 8 7 1 . 0 9 18 9 6 0 . 1 17 8 8 2 0 . 2 9 7 4 7 2 x 1 0 2卜 0 . 6 0 8 5 15 x 1 0一 , 一 0 . 6 8 3 8 2 0 x 1 0 1 0 . 4 1 2 8 4 7 x 1 0 s 0 . 7 3 0 2 3 9 x 1 0 ’ ” 卜 0 . 17 6 4 8 7 x 1 0 ” 0 . 18 3 5 6 5 x 1 0一 1 1 一 0 . 1 2 1 9 9 2 x 1 0一 1 1 0 . 2 4 16 8 4 x 10一 1 ` 一 0 . 5 1 4 4 1 5 x 1 0 8 一 0 . 7 0 9 0 1 9 x 1 0 8 0 . 4 3 8 3 8 4 x 10 8 0 . 2 7 8 3 3 6 x 1 0 , 0 . 1 2 14 7 7 x 1 0 1 1 0 . 1 4 0 9 5 9 x 1 0 1 1 0 . 4 6 9 5 3 0 x 1 0 1 1 0 . 1 1 4 0 5 4 x 10 1 2 一 0 . 14 70 7 7 x 10 1 2 一 0 。 16 9 3 6 7 0 一 0 2 2 2 9 9 一 0 . 0 17 1 9 6 0 . 0 0 0 1 1 3 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 5 6 . 4 3 2 3 3 一 5 2 9 3 一 6 2 0 5 。 2 0 1 0 一 6 8 5 0 . 5 2 8 0 一 0 0 4 0 . 3 2 9 8 9 2 x 1 0 2 6 0 . 4 1 9 1 5 8 x 1 0 , 8 o · 7 7 8 “ 7 8 x `” ’ { 一 ” · 2” 6 ” ` ” x ` ” 一” 0 . 3 1 7 9 5 1 x 10 ’ 卜 0 . 7 5 8 5 4 7 x 10一` ’ , 占 23456789 表 2 ( 续 ) } % … S , 万一丁 M , . 1 % 振型数阶 曰任了J 孟,五, 一 丹匕`ǔ上一1. 一n甘上自1UO 0 . 3 1 7 3 15 x 1 0 8 ” · “ 2 5 6 8 7 x ` 0 : } 一 “ ” · 7 3 3 ` 5 3 x ` o ’ } ” 一 ” · 4 2 2 6 8 5 “ o ’ ! ” 一 ” · ` “ 7 8 34 “ 0 { . } 一 ” ” · ` 8 3 7 9 3 x ’ 0 !:} 一 ” ” · ’ 7 2 2 ` Z x ` 0 {{} ” ” · 4 6 4 8 2 5 x 1 0 “ } 一 ” 一 “ · ` 4 5 “ ” 2 “ ” ” 】卫 ` 3 3 5 7 ` } 7 3 0 9 6 3 5 6 } “ 0 ` 9 7` 4 } ` 2 5 7 2 0 4 } ` “ 0 0 0 2 3 5 1 ” 0 2 24 2 ` } ` 0 0 4` 6 2 { ” 0 0 0 ` 0 9 … ” 0 0 0 0 1 1 } ” 9 0 7 2 8 2 2 8 5 7 6 9 0 1 5 4 6 2 2 7 1 0 0 7 0 0 1 18 6 5 5 9 x 1 0 8 9 4 5 9 6 0 x 1 0 7 5 6 7 3 5 5 x 1 0 7 1 8 0 5 9 5 x 10 , 18 5 6 15 x 10 , 1 2 5 9 5 1 x 10 1 1 1 0 4的 6 x 1 0 ’ 3 1 2 0 2 5 6 x 10 1 , 7 3 5 5 17 x 1 0 1 , 一 0 . 6 6 6 4 6 0 一 0 . 1 4 5 6 7 9 一 0 . 0 1 5 2 5 6 一 0 . 1 0 9 8 9 2 一 0 . 0 0 0 3 4 1 一 0 . 0 1 5 3 6 5 一 0 . 0 0 2 5 1 6 一 0 . 0 2 8 3 8 5 一 0 _ 0 0 5 5 7 9 3 5 5 7 2 3 5 4 2 1 0 6 0 3 4 5 5 3 2 5 4 8 6 9 5 6 4 324567981 一一一00 在 多 自由度系统情况 下 , 考虑阻 尼对振 型 的影响将使计 算复 杂 化 。 根据实测扭 矩 曲线 波 形 衰减的状况 判 断 , 轧钢机轴系 的阻尼 比 丫 , 约在 0 . 02 5~ 0 . 05 范围 内 。 在此按轻 阻尼 情况用 近似 方法处理 , 即 不考虑阻尼 对固有频 率 及振型 的影 响 , 业假定 固有振型 对阻尼矩阵也具有 正交 性 , 则轴段 i 在 时 刻 t 的 瞬态 响应 M 且 ( t) 可 用下式 计算 : M : ( t ) = 一 R : + 乏 e 一 丫 , “ , ’ M , , ( , 。 , t + 丫 , ia n 。 , t ) 依次取 时刻 t = O , △ t , 2 △t , · 一 , q △ t 求出扭 矩 时间序 列 王M : ( 1 0 ) { M , } = 夏M : ( o ) M . ( △ t ) M : ( 2 △t ) … … M : ( q △t ) } ( 1 1 ) 将序列 中最 大元素值 M , 二 : : 代入 ( 1) 式 , 即得轴段 i 的 扭矩放大系数 K , 。 时间 间隔 △ t 可 根据需 要 选择 , 例 如取 △t = 。 . 0 1秒

作为粗路计算，可取 M.jz 按上式求得的扭矩放大系数记为K◆：，考虑T=M:=1,则 K= M:+a (12) 此时（4)式可写为： (-M=a (13) 11 将(12)(13)二式联系起来可以断定：对各阶扭矩振幅分量完全同号的轴段必有K◆，= 2a:,而对各阶分量不完全同号的轴段必有K◆，>2a1,因而在阶跃激振、不考虑阻尼及正 常初始条件下： K◆，≥2a1 (14) 按以上计算步骤编成的计算程序见图8框图前6步。对图5中5种轧机图式在阶跃激 振、不考虑阻尼、及正常初始条件下的计算结果见表3及表4，阻尼影响见下节。 表3 计算的固有频率值①(1/秒) MB MS F1 F5 R 126.4716 128.9250 135.4245 122.9986 194.8620 198.4016 197.6471 300.4207 251.1812 304.9290 304.8075 297.1088 471.3498 424.3913 357.8929 344.8215 354.4563 566.6134 860.4929 495.9039 515.2062 764.8243 1291.5064 893.9505 571.0130 794.1297 1853.2373 2010.5739 662.6693 636.3611 1103.8227 2162.7386 1344.1559 1343.7274 1788.0991 2232.0340 1979.3489 1979.3655 2188.0568 2900.5180 由表4可见，650型钢轧机按3分支系统计算时，最大扭矩放大系数发生在第3轴段， 即扭矩测点所在轴段，计算值K3≈2.9（略去空转分支将使计算结果偏低8%），与图4实测 值中间情况相符。如与实测上限值Ka=4~6比较，除应考虑冷头轧制力增大系数Kτ=1.2~ 1.5(实测值)对激振函数的影响外，其余差额部分应归于初始条件的影响，即由于传动间 隙引起的初始冲击使初始速度不为0，相当于存在一个初始条件系数Kc=1.15~1.35(倒 算得出)。图4中多数实测值小于2.9，这是由于微振力矩並非阶跃函数而是具有斜坡形前 沿的坡形函数，因而缓和了突加力矩的作用，以及阻尼引起的衰减。 71

作为粗略计算 , 可取 M l 一 乏} M ! 小 R , , 一 ! 按上式 求得的 扭矩放大系数记为 K . : , 考虑 T = M : = 1 , 则 : K一 乏】 M : 1卜 a ! ( 12 ) 此 时 ( 4 ) 式可 写为 : 乏` 一 M , , ’ “ “ ’ ( 1 3 ) , 一 1 将 (l 2 ) ( 1 3 ) 二式 联 系起来可 以 断 定 : 对各阶扭 矩振 幅 分量完全 同号 的 轴段必 有 K . , = a2 : , 而 对 各阶分量 不完全 同号 的轴段 必 有 K 气 > 2。 : , 因而在 阶跃 激振 、 不 考虑阻尼 及正 常初 始条件下 : K . : 七 Z a , ( 1 4 ) 按 以 上计 算步骤 编 成 的 计算程 序 见图 8 框 图前 6 步 。 对图 5 中 5 种 轧 机图 式 在阶 跃激 振 、 不考虑阻尼 、 及正 常初 始条件下 的计 算结果 见 表 3 及表 4 , 阻尼 影响见下节 。 表 3 计算的固有频率 值。 ( l/ 秒 ) M B M S F l } F 5 I R 1 2 6 1 9 8 3 0 4 3 5 7 4 9 5 5 7 1 6 6 2 13 4 4 1 9 7 9 4 7 1 6 4 0 16 9 2 9 0 8 9 2 9 9 0 3 9 0 1 3 0 6 6 9 3 1 5 5 9 3 4 8 9 1 2 8 . 9 2 5 0 3 0 4 3 4 4 5 15 8 0 7 5 8 2 1 5 2 0 6 2 6 3 6 1 3 4 3 1 9 7 9 3 6 1 1 7 2 7 4 3 6 5 5 13 5 1 9 7 2 9 7 3 5 4 7 6 4 7 9 4 1 1 0 3 1 7 8 8 2 1 8 8 4 2 4 5 6 4 7 1 1 0 8 8 4 5 6 3 8 2 4 3 1 2 9 7 8 2 2 7 0 9 9 1 0 5 6 8 1 2 2 3 0 0 4 7 1 5 6 6 12 9 1 18 5 3 2 1 6 2 2 2 3 2 2 9 0 0 9 9 8 6 4 2 0 7 3 4 9 8 6 1 3 4 5 0 6 4 2 3 7 3 7 3 8 6 0 3 4 0 5 1 8 0 19 4 2 5 1 4 2 4 8 6 0 8 9 3 2 0 1 0 8 6 2 0 1 8 1 2 3 9 1 3 4 9 2 9 9 5 0 5 5 7 3 9 由表 4 可见 , 6 50 型钢 轧机 按 3 分支 系统 计算时 , 最 大扭矩放大系数发生在 第 3 轴段 , 即扭 矩测 点所在轴段 , 计算值 K 。 “ 2 . 9( 略去空 转分 支将使计算结果偏 低 8 % ) , 与图 4 实测 值中间 情况相符 。 如与实测 上限值 K : 二 4~ 6比较 , 除应考虑 冷头 轧制 力增 大系数 K , 二 1 . 2~ 1 . 5 ( 实测值 ) 对激 振函数的影 响外 , 其 余差 额部分应 归 于初 始 条件的影响 , 即 由于传 动间 隙引起的初 始冲击使初始速度不 为 。 , 相 当于存在 一个初始 条 件系数 K 。 = 1 . 巧~ 1 . 35 ( 倒 算得出) 。 图 4 中多数实测 值小于 2 . 9 , 这 是 由于 激振 力矩 业非 阶跃 函数而是具有斜坡 形前 沿的坡形 函数 , 因而缓和 了突加力矩 的作 用 , 以 及阻尼 引起的 衰减