北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（讲义）第七章 线性变换（7.8）若尔当（Jordan）标准形介绍

§8若尔当( Jordan)标准形介绍 由前面的讨论可知,并不是对于每一个线性变换都有一组基,使它在这组基 下的矩阵成为对角形下面先介绍一下,在适当选择的基下,一般的一个线性变 换能化简成什么形状 定义8形式为 1A….000 J(,t) 120 的矩阵称为若尔当( Jordan)块,其中λ是复数由若干个若尔当块组成的准对角矩 阵称为若尔当形矩阵,其一般形状如 A 其中 x 并且λ1,乙2…中有一些可以相等 例如 0000 200 1000(10 120 0100(1 012 都是若尔当块,而

§8 若尔当(Jordan)标准形介绍 由前面的讨论可知，并不是对于每一个线性变换都有一组基，使它在这组基 下的矩阵成为对角形.下面先介绍一下，在适当选择的基下，一般的一个线性变 换能化简成什么形状. 定义 8 形式为 t t J t                  =      0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ( , )          的矩阵称为若尔当(Jordan)块，其中  是复数.由若干个若尔当块组成的准对角矩 阵称为若尔当形矩阵，其一般形状如               As A A  2 1 (1) 其中 i i k k i i i i Ai                  =     1 1 1   , 并且   s , , , 1 2  中有一些可以相等. 例如                                 i i 1 0 , 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 , 0 1 2 1 2 0 2 0 0 都是若尔当块，而

000 110000 004000 000400 000140 000014 是一个若尔当形矩阵 一级若尔当块就是一级矩阵,因此若尔当形矩阵中包括对角矩阵. 在一个线性变换的若尔当标准形中,主对角线上的元素正是特征多项式的全 部的根(重根按重数计算) 定理13设A是复数域上线性空间V的一个线性变换,则在V中必定存在 组基,使在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵. 引理n维线性空间V上的一个线性变换B满足⑧=O,k是某正整数,就称 B为V上幂零线性变换.对幂零线性变换,V中必有下列形式的一组元素作为基 B (B-a1=0)(B2a2=0) 于是a在这组基下的矩阵

                    0 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 是一个若尔当形矩阵. 一级若尔当块就是一级矩阵，因此若尔当形矩阵中包括对角矩阵. 在一个线性变换的若尔当标准形中，主对角线上的元素正是特征多项式的全 部的根（重根按重数计算）. 定理 13 设 A 是复数域上线性空间 V 的一个线性变换，则在 V 中必定存在一 组基，使 A 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵. 引理 n 维线性空间 V 上的一个线性变换 B 满足 B k =ℴ, k 是某正整数，就称 B 为 V 上幂零线性变换.对幂零线性变换 B，V 中必有下列形式的一组元素作为基 ( 0) ( 0) ( 0) , , 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 = = = − − − s k k k s k k k s s s s B B B B B B B B B                    (2) 于是 B 在这组基下的矩阵

10 10 0 10 上述结果用矩阵表示就是: 定理14每个n级复矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似

(3) 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 2 1                                                            s k k k 上述结果用矩阵表示就是： 定理 14 每个 n 级复矩阵 A 都与一个若尔当形矩阵相似