专题七菱形的判定技巧 教材母题r(教材P123作业题第3题) C 已知:如图,在四边形 ABCD中,AC=BD,E,F, G,H依次是AB,BC,CD DA的中点.求证:四边形A EFGH是菱形 E B 证明::H,G是AD,CD的中点 HG=nAC ∴E,F是AB,BC的中点 EF=2AC HG=EF,同理HE=GF 又:AC=BD,∴HG=GF=EF=HE, 即四边形EFGH是菱形
专题七 菱形的判定技巧 教材母题►(教材P123作业题第3题) 已知：如图，在四边形 ABCD中，AC＝BD，E，F， G，H依次是AB，BC，CD， DA的中点．求证：四边形 EFGH是菱形． 证明：∵H，G 是 AD，CD 的中点， ∴HG＝ 1 2 AC. ∵E，F 是 AB，BC 的中点， ∴EF＝ 1 2 AC， ∴HG＝EF，同理 HE＝GF 又∵AC＝BD，∴HG＝GF＝EF＝HE， 即四边形 EFGH 是菱形．
【思想方法】菱形的判别方法是说明 一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方 法:①定义;②四边相等;③对角线互相華 直平分 变形1已知:如图,在口ABCD中,O为对角线BD的中点,过 点O的直线EF分别交AD,BC于E,F两点,连接BE,DF (1)求证:△DOE≌△BOF (2)当∠DOE等于多少度时,四边形BFDE为菱形?请说明理 由 E 证明:(1)在ABCD中 AD∥BC, ∴∠ADB=∠CBD ∵OB=0D,∠DOE=∠BOF ∴△DOE≌△BOF B
【思想方法】 菱形的判别方法是说明 一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方 法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂 直平分． 变形1 已知：如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过 点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF. (1)求证：△DOE≌△BOF； (2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理 由． 证明：(1)在▱ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD. ∵OB＝OD，∠DOE＝∠BOF， ∴△DOE≌△BOF
(2)当∠DOE=90°时,四边形BFDE为 菱形 △DOE≌△BOF, OE=OF OB=OD, 四边形BFDE为平行四边形 ∴∠DOE=900,∴EF⊥BD, BFDE菱形 变形2如图,在□ABCD中,点E,F分别 在AB,CD上,且AE=CF 1)求证:△ADE≌△CBF; (2)若DF=BF,求证:四边形DEBF为菱 形 C
(2)当∠DOE＝90°时，四边形BFDE为 菱形． ∵△DOE≌△BOF， ∴OE＝OF. ∵OB＝OD， ∴四边形BFDE为平行四边形， ∵∠DOE＝90° ，∴EF⊥BD， ∴▱BFDE为菱形． 变形2 如图，在▱ABCD中，点E，F分别 在AB，CD上，且AE＝CF. (1)求证：△ADE≌△CBF； (2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱 形．
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形 AD=BC,∠A=∠C, 又:AE=CF △ADE≌△CBF(SAS) (2)∵四边形ABCD是平行四边形 AB∥CD,AB=CD, AE=CF,∴.DF=EB, 四边形DEBF是平行四边形 麦示又:DF=BF,∴四边形DEBF为
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵AE＝CF， ∴△ADE≌△CBF(SAS) (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵AE＝CF，∴DF＝EB， ∴四边形DEBF是平行四边形． 又∵DF＝BF，∴四边形DEBF为 菱形．
变形3如图,在平行四边形ABCD中,E为BC 边上的一点,连接AE,BD,且AE=AB (1)求证:∠ABE=∠EAD (2)若∠AEB=2∠ADB,求证:四边形ABCD是 菱形 D证明:(1)在平符四边形ABCD中, AD∥BC,∴∠AEB=∠EAD, AE=AB,∴.∠ABE=∠AEB, ∴∠ABE=∠EAD (2)∴AD∥BC,∴∠ADB= ∠DBE, ∠ABE=∠AEB,∠AEB= 2∠ADB ∠ABE=2∠ADB ∠ABD=∠ABE-∠DBE 2∠ADB-∠ADB=∠ADB,∴AB= AD,又∴四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD是菱形
变形3 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC 边上的一点，连接AE，BD，且AE＝AB. (1)求证：∠ABE＝∠EAD； (2)若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是 菱形． 证明：(1)在平行四边形ABCD中， AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD， ∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠EAD. (2)∵AD∥BC ， ∴ ∠ ADB ＝ ∠DBE， ∵ ∠ ABE ＝ ∠AEB ， ∠ AEB ＝ 2∠ADB， ∴∠ABE＝2∠ADB， ∴ ∠ ABD ＝ ∠ABE － ∠DBE ＝ 2∠ADB－∠ADB＝∠ADB，∴AB＝ AD，又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形．