第二学期第二十一次课 922Qx]内多项式的因式分解 定义9.12定义Zx]={ax"+a1x”+…+an|a∈Zt=0,1,…,n 假设∫(x)∈Zx],f(x)≠0及±1。如果g(x),h(x)∈Z[x,使得f(x)=g(x)h(x),且 g(x)≠土1,h(x)≠±1,则称f(x)在Z[x]内可约,否则称∫(x)在Z[x]内不可约。 定义9.13设 f(x)=ax"+a1x+…+an∈Zx 这里n≥1。如果(ao,a1…,an)=1,则称f(x)是一个本原多项式。 命题Qx]内一个非零多项式f(x)可以表成一个有理数k和一个本原多项式f(x)的 乘积:f(x)=k(x),而且k除了差一个土1因子外,是被∫(x)唯一决定的 证明是很简单的,可取k=±d/m,其中d为m/(x)系数的最大公因子,而m为f(x) 系数的分母的一个公倍数 定理(高斯引理)两个本原多项式的乘积还是一个本原多项式。 证明设 f(x)=a+a1x+…+anx"(a1∈Z) g(x)=b+bx+…+bnx(b∈Z) 是两个本原多项式。为方便记,下面设an+1=an+2=…=0,bm+1=bn+2=…=0。又设 f(x)g(x)=Co+cx+.+cmx 如果∫(x)g(x)不是本原多项式,令素数p是其系数的一个公因子 设Pa(=0,1…,F-1)pa(≤n)PbG=0,1…,s-1)Pb(s≤m)而另一方 面,p|c,而c=(abn+…+a-b)+a,b,+(an:b-+…+a,、b)。该式两个括 号内均含有因子p,故必有p|a,b,因为p是素数,p|an→(P,an)=1,此时应有p|b,, 与假设矛盾。这个矛盾表明乘积f(x)g(x)是本原多项式。 由高斯定理,我们容易得到 命题设∫(x)∈Qx]degf(x)>0。命∫(x)=kf(x),其中k∈Q,f(x)是一个本原 多项式。则∫(x)在Qx]内可约的充分必要条件是f(x)在Z[x]内可约 证明充分性是显然的。下面来证必要性 设f(x)=g(x)h(x),其中g(x),h(x)∈Qx],0<degg(x)<degf(x)。命 g(x)=(x)h(x)=1h(x),其中l,l∈Q,而g(x),h(x)为本原多项式。此时 f(x)=k(x)=l1g(x)h(x)。根据高斯引理,g(x)h(x)为本原多项式,在由前面的命题
第二学期第二十一次课 9.2.2 Q[ ] x 内多项式的因式分解 定义 9.12 定义 1 0 1 Z Z [ ] { | , 0,1,..., } n n n i x a x a x a a i n − = + + + = 。 假设 f x x f x ( ) [ ], ( ) 0 1 Z 及 。如果 g x h x x ( ), ( ) [ ] Z ，使得 f x g x h x ( ) ( ) ( ) = ，且 g x h x ( ) 1, ( ) 1 ，则称 f x( ) 在 Z[ ] x 内可约，否则称 f x( ) 在 Z[ ] x 内不可约。 定义 9.13 设 1 0 1 ( ) [ ] Z n n n f x a x a x a x − = + + + ， 这里 n 1 。如果 0 1 ( , ,..., ) 1 n a a a = ，则称 f x( ) 是一个本原多项式。 命题 Q[ ] x 内一个非零多项式 f x( ) 可以表成一个有理数 k 和一个本原多项式 f x( ) 的 乘积： f x kf x ( ) ( ) = ，而且 k 除了差一个 1 因子外，是被 f x( ) 唯一决定的。 证明是很简单的，可取 k d m = / ，其中 d 为 mf x( ) 系数的最大公因子，而 m 为 f x( ) 系数的分母的一个公倍数。 定理（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是一个本原多项式。 证明 设 0 1 0 1 ( ) ( ), ( ) ( ) Z Z n n i n n i f x a a x a x a g x b b x b x b = + + + = + + + 是两个本原多项式。为方便记，下面设 1 2 1 2 0, 0 n n m m a a b b + + + + = = = = = = 。又设 0 1 ( ) ( ) m n m n f x g x c c x c x + = + + + + ， 如果 f x g x ( ) ( ) 不是本原多项式，令素数 p 是其系数的一个公因子。 设 | ( 0,1,..., 1), | ( ); i r p a i r p a r n = − | ( 0,1,..., 1), | ( ) j s p b j s p b s m = − 。而另一方 面， | r s p c + ，而 0 1 1 1 1 0 ( ) ( ) r s r s r s r s r r r s c a b a b a b a b a b + + − + + − + = + + + + + + 。该式两个括 号内均含有因子 p ，故必有 | r s p a b 。因为 p 是素数， | ( , ) 1 r r p a p a = ，此时应有 | s p b ， 与假设矛盾。这个矛盾表明乘积 f x g x ( ) ( ) 是本原多项式。 由高斯定理，我们容易得到 命题 设 f x x f x ( ) [ ],deg ( ) 0 Q 。命 f x kf x ( ) ( ) = ，其中 k f x Q, ( ) 是一个本原 多项式。则 f x( ) 在 Q[ ] x 内可约的充分必要条件是 f x( ) 在 Z[ ] x 内可约。 证明 充分性是显然的。下面来证必要性。 设 f x g x h x ( ) ( ) ( ) = ，其中 g x h x x g x f x ( ), ( ) [ ],0 deg ( ) deg ( ) Q 。 命 1 g x lg x h x l h x ( ) ( ), ( ) ( ) = = ，其中 1 l l, Q ， 而 g x h x ( ), ( ) 为本原多项式。此时 1 f x kf x ll g x h x ( ) ( ) ( ) ( ) = = 。根据高斯引理， g x h x ( ) ( ) 为本原多项式，在由前面的命题
有f(x)=(±g(x)h(x),这样必要性得证 作为高斯引理的又一应用,我们可得下面的重要结论(实际的证明过程与证明“因式唯 分解定理”相似,都是运用数学归纳法,详细书写见课本) 定理(Z[x]内多项式的因式分解)设∫(x)是Zx内一个首项系数为正数的多项式且 f(x)≠1,则f(x)在Zx]内可分解为 f(x)=p3…pp1(x)…p(x)y 其中P12…,P为两两不同的素数,P(x)…,P(x)为Zx]内两两不同,次数≥1且首项系 数为正的不可约多项式。上述分解式除了因子的排列次序外,是唯一的。 这个定理从抽象的观点可以拓展为 推论唯一分解整环上的多项式环仍是唯一分解整环。 2.3爱森斯坦判别法 爱森斯坦判别法是目前为止用来判断Z[x]内一个多项式可约与否的最好结果 爱森斯坦判别法设给定n次本原多项式 f(x)=a+a1x+…+anx"∈Z[x](m≥1) 如果存在一个素数p,使pa(=0,1…,n-1),但p}an,p2|a0,则f(x)在Zx]内 不可约。 证明:用反证法。设∫(x)在Zx]内可约,即 ∫(x)=g(x)h(x) 其中 g(x)=b0+b2x+…+bnx"∈Z[x] h(x)=c0+c1x+…+cx∈Zx 这里0<degg(x)<degf(x)。为方便计,下面式子中多项式f(x)g(x),h(x)的系数 a,b,c的下标大于其对应多项式的次数时,均认为等于零。 因为an=bn,而p|an,故p|bn,P|c 另一方面,pa,而a0=bc0,故p|b或P|c0:不妨设P|b,此时因p2|a,故 p 设p|b(=0,…,r-1),但P|b(0<r<m)。此时p|an,而 ar,=(boc, +bc_+.+b-C)+bco 上式括号中各项均含有因子p,故p|bc。但P|b,plco,p为素数,矛盾。由此,f(x) 在Z[x]内不可约。 §3实系数多项式根的分布
有 f x g x h x ( ) ( ( )) ( ) = ，这样必要性得证。 作为高斯引理的又一应用，我们可得下面的重要结论（实际的证明过程与证明“因式唯 一分解定理”相似，都是运用数学归纳法，详细书写见课本） 定理（ Z[ ] x 内多项式的因式分解）设 f x( ) 是 Z[ ] x 内一个首项系数为正数的多项式且 f x( ) 1 ，则 f x( ) 在 Z[ ] x 内可分解为 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) k l e f e f k l f x p p p x p x = 其中 1 , , k p p 为两两不同的素数， 1 ( ), , ( ) l p x p x 为 Z[ ] x 内两两不同，次数 1 且首项系 数为正的不可约多项式。上述分解式除了因子的排列次序外，是唯一的。 这个定理从抽象的观点可以拓展为： 推论 唯一分解整环上的多项式环仍是唯一分解整环。 9.2.3 爱森斯坦判别法 爱森斯坦判别法是目前为止用来判断 Z[ ] x 内一个多项式可约与否的最好结果。 爱森斯坦判别法 设给定 n 次本原多项式 0 1 ( ) [ ] ( 1) Z n n f x a a x a x x n = + + + 如果存在一个素数 p ，使 | ( 0,1,..., 1) i p a i n = − ，但 2 0 | , | n p a p a ，则 f x( ) 在 Z[ ] x 内 不可约。 证明：用反证法。设 f x( ) 在 Z[ ] x 内可约，即 f x g x h x ( ) ( ) ( ) = ， 其中 0 1 0 1 ( ) [ ], ( ) [ ]. Z Z m m l l g x b b x b x x h x c c x c x x = + + + = + + + 这里 0 deg ( ) deg ( ) g x f x 。为方便计，下面式子中多项式 f x g x h x ( ), ( ), ( ) 的系数 , , iii a b c 的下标大于其对应多项式的次数时，均认为等于零。 因为 n m l a b c = ，而 | n p a ，故 | , | m l p b p c 。 另一方面， 0 p a| ，而 0 0 0 a b c = ，故 0 p b| 或 0 p c| ；不妨设 0 p b| ，此时因 2 0 p a| ，故 0 p c| 。 设 | ( 0,..., 1) i p b i r = − ，但 | (0 ) r p b r m 。此时 | r p a ，而 0 1 1 1 1 0 ( ) r r r r r a b c b c b c b c = + + + + − − 上式括号中各项均含有因子 p ，故 0 | r p b c 。但 0 | , | r p b p c ，p 为素数，矛盾。由此， f x( ) 在 Z[ ] x 内不可约。 §3 实系数多项式根的分布
9.31复系数多项式的根的绝对值的上界 命题设∫(x)=ax"+a1x"+…+an∈C[x],其中a0≠0而n≥1。令 A=max{a1lla2l…an} 则对f(x)的任一复根α,有αk1+A/lao 证明如果A=0,则α=0,命题成立。下面设A>0 如果|a上1+A/|ao|,那么,因为f(α)=0,故有 a∝"Haα"+…+ana1αr+…+|an ≤A(a+…+1)=A(ar--1)/(a|-1) 现在|a">1,故从上式立刻得到 laoa"kAlal/al-1) 两边消去|a",得ak<1+A∥/|a|,矛盾 由该命题,我们可以估计一个是系数多项式的实根的分布范围为: (1-A/aoL, 1+A/ao D 9.3.2斯图姆定理 名词给定实数序列 将其中等于零的项划掉,对剩下的序列从左至右依次观察,如果相邻两数异号,则成为一个 变号;变号的总数称为该序列的变号数。 又给定实系数多项式的序列 f(x),f2(x)…,fn(x) (1) 对a∈R,实系数序列f(a),f(a),…,fn(a)的变号数称为多项式序列(1)在x=a处的变 号数,记作W(a)。相应地,我们把W(x)称为多项式序列(1)的变号数函数 定义914(斯图姆序列)现设f(x)是一个次数n≥1的无重根的实系数多项式。实 系数多项式序列 f6(x)=f(x),f(x),(x),…,f(x)(2) 如果满足下列条件 (i)相邻两个多项式∫(x),f1(x)(i=0,1,2,…,S-1)没有公共根 (i)最后一个多项式∫(x)没有实根; (ⅲ)如果某个相邻中间多项式∫(x)(l≤i<s)有一个实根α,则 f1(α)f1(a)<0 (iv)如果∝是f(x)的实根,则∫(x)f(x)在x=的一个充分小的邻域内为递增
9.3.1 复系数多项式的根的绝对值的上界 命题 设 1 0 1 ( ) [ ] C n n n f x a x a x a x − = + + + ，其中 0 a 0 而 n 1 。令 A a a a = max{| |,| |, ,| |} 1 2 n 则对 f x( ) 的任一复根 ，有 0 | | 1 / | | + A a 。 证明 如果 A= 0 ，则 = 0 ，命题成立。下面设 A 0 。 如果 0 | | 1 / | | + A a ，那么，因为 f ( ) 0 = ，故有 1 1 0 1 1 1 1 | | | | | || | | | (| | 1) (| | 1) /(| | 1) n n n n n n n a a a a a A A − − − − = + + + + + + = − − 现在 | | 1 n ，故从上式立刻得到 0 | | | | /(| | 1) n n a A − 两边消去 | |n ，得 0 | | 1 / | | + A a ，矛盾。 由 该 命 题 ， 我 们 可 以 估 计 一 个 是 系 数 多 项 式 的 实 根 的 分 布 范 围 为 ： 0 0 ( 1 / | |,1 / | |) − − + A a A a 。 9.3.2 斯图姆定理 名词 给定实数序列 1 2 , , , n a a a 将其中等于零的项划掉，对剩下的序列从左至右依次观察，如果相邻两数异号，则成为一个 变号；变号的总数称为该序列的变号数。 又给定实系数多项式的序列 1 2 ( ), ( ), , ( ) n f x f x f x （1） 对 aR ，实系数序列 1 2 ( ), ( ), , ( ) n f a f a f a 的变号数称为多项式序列（1）在 x a = 处的变 号数，记作 W a( ) 。相应地，我们把 W x( ) 称为多项式序列（1）的变号数函数。 定义 9.14 （斯图姆序列） 现设 f x( ) 是一个次数 n 1 的无重根的实系数多项式。 实 系数多项式序列 0 1 2 ( ) ( ), ( ), ( ), , ( ) s f x f x f x f x f x = （2） 如果满足下列条件： （i）相邻两个多项式 1 ( ), ( )( 0,1,2, , 1) i i f x f x i s + = − 没有公共根； （ii） 最后一个多项式 ( ) s f x 没有实根； （iii） 如 果 某 个 相 邻 中 间 多 项 式 ( )(1 ) i f x i s 有一个实根 ， 则 1 1 ( ) ( ) 0 i i f f − + ； （iv） 如果 是 f x( ) 的实根，则 1 f x f x ( ) ( ) 在 x = 的一个充分小的邻域内为递增
函数, 则称序列(2)为f(x)的一个斯图姆序列 定理(斯图姆定理)设f(x)是一个无重根的实系数多项式,它有一个斯图姆序列(2)。 以W(x)表(2)的变号数函数。设a,b是两个实数,它们不是f(x)的根,且a<b,则f(x) 在区间(a,b)内实根的个数等于W(a)-W(b 证明将斯图姆序列(2)中各个多项式的实根通通收集在一起,并按大小依次排列如 下:a1<a2<…<ak。 因为在区间(∞,a1)、(a12a1)(i=1,2,k-1),(a2,+0)内(2)中任一多项式都无实根, 因而它们在这些区间内都不变号。于是,在这些区间内,W(x)为常数。下面我们只要证明: 1)如果a1不是f(x)的根,则在a1左右两边W(x)的函数值相等 2)如果a1是f(x)的根,则在a1左端W(x)的函数值比a1右端W(x)的函数值大 对每个a,,我们来考察斯图姆序列(2)中如下两种类型的小段 (a)a不是(2)中t个连续多项式 f1(x,f+2(x)…,J+(x)(3) 的根(t≥2),由于实系数多项式为数轴上的连续函数,按连续函数的性质知,在a1的一个 邻域(a-E,a+8)内(3)中每个多项式都不变号,从而在此小邻域内(3)的变号数函数 为常数 (b)a1是(3)中间某个多项式f(x)(0<j<s)的根,考察(3)的小段 f-1(x),J(x),f+1(x)(4) 按斯图姆序列的条件(1)和(ii),此时a不是J1(x)和fm1(x)的根,且f=1(a)fmA(a1)<0 有连续函数的性质知,在a1的一个邻域(a1-E,a+8)内恒有J(x)fm1(x)<0,于是 在此邻域内(4)的变号函数恒等于1,也是常数 现设a不是f(x)的根。这时序列(2)中任意两个相邻多项式f=(x)和/1(x)或属于 类型(3)的小段,或属于类型(4)的小段,又由斯图姆序列的条件(i)知这两类型的小 段无重迭(但左端或右端的多项式可以相同),根据上面(a)、(b)的讨论在每个小段变号 数函数在邻域(a-E,a1+8)内都是常数,(2)的变号数函数为每个小段变号数函数之和 从而在a的邻域(a1-E,a+E)内W(x)为常数,即a1左端与a1右端W(x)的函数值相等 如果a1为f(x)的根。这时序列(2)中仅有f(x),f(x)不属于上述(3)(4)类型,故 只需考察序列∫(x),f(x)的变号数在a左右两端的变号情况。根据斯图姆序列的条件(iv), 乘积∫(x)f(x)在a1的某邻域(a1-E,a1+E)内为增函数。我们已知f(a1)f(a)=0,故在a
函数， 则称序列（2）为 f x( ) 的一个斯图姆序列。 定理（斯图姆定理）设 f x( ) 是一个无重根的实系数多项式，它有一个斯图姆序列（2）。 以 W x( ) 表（2）的变号数函数。设 a b, 是两个实数，它们不是 f x( ) 的根，且 a b ，则 f x( ) 在区间 ( , ) a b 内实根的个数等于 W a W b ( ) ( ) − 。 证明 将斯图姆序列（2）中各个多项式的实根通通收集在一起，并按大小依次排列如 下： 1 2 k a a a 。 因为在区间 1 1 ( , ),( , )( 1,2,..., 1),( , ) i i k a a a i k a − = − + + 内（2）中任一多项式都无实根， 因而它们在这些区间内都不变号。于是，在这些区间内， W x( ) 为常数。下面我们只要证明： 1） 如果 i a 不是 f x( ) 的根，则在 i a 左右两边 W x( ) 的函数值相等； 2） 如果 i a 是 f x( ) 的根，则在 i a 左端 W x( ) 的函数值比 i a 右端 W x( ) 的函数值大 1。 对每个 i a ，我们来考察斯图姆序列（2）中如下两种类型的小段： （a） i a 不是（2）中 t 个连续多项式 1 2 ( ), ( ), , ( ) j j j t f x f x f x + + + （3） 的根 ( 2) t ，由于实系数多项式为数轴上的连续函数，按连续函数的性质知，在 i a 的一个 邻域 ( , ) i i a a − + 内（3）中每个多项式都不变号，从而在此小邻域内（3）的变号数函数 为常数。 （b） i a 是（3）中间某个多项式 ( )(0 ) j f x j s 的根，考察（3）的小段 1 1 ( ), ( ), ( ) j j j f x f x f x − + （4） 按斯图姆序列的条件（i）和（iii），此时 i a 不是 1 1 ( ) ( ) j j f x f x − + 和 的根，且 1 1 ( ) ( ) 0 j i j i f a f a − + 有连续函数的性质知，在 i a 的一个邻域 ( , ) i i a a − + 内恒有 1 1 ( ) ( ) 0 j j f x f x − + ，于是 在此邻域内（4）的变号函数恒等于 1，也是常数。 现设 i a 不是 f x( ) 的根。这时序列（2）中任意两个相邻多项式 1 1 ( ) ( ) j j f x f x − + 和 或属于 类型（3）的小段，或属于类型（4）的小段，又由斯图姆序列的条件（i）知这两类型的小 段无重迭（但左端或右端的多项式可以相同），根据上面（a）、（b）的讨论在每个小段变号 数函数在邻域 ( , ) i i a a − + 内都是常数，（2）的变号数函数为每个小段变号数函数之和， 从而在 i a 的邻域 ( , ) i i a a − + 内 W x( ) 为常数，即 i a 左端与 i a 右端 W x( ) 的函数值相等。 如果 i a 为 f x( ) 的根。这时序列（2）中仅有 1 f x f x ( ), ( ) 不属于上述（3）（4）类型，故 只需考察序列 1 f x f x ( ), ( ) 的变号数在 i a 左右两端的变号情况。根据斯图姆序列的条件（iv）， 乘积 1 f x f x ( ) ( ) 在 i a 的某邻域 ( , ) i i a a − + 内为增函数。我们已知 1 ( ) ( ) 0 i i f a f a = ，故在 i a
左端∫(x),f(x)异号,即有一个变号,而在a1的右端∫(x),f(x)同号,即无变号。现在不 管a是不是(2)中某个多项式的根,根据上一段的讨论,它们对邻域(a1-8,a1+E)内W(x) 的值没有影响。由此知此时a左端W(x)的值比右端的大1。 现在让x从a向b运动,每经过f(x)的一个实根时,W(x)的函数值减1,在其他情况 下W(x)的值不变。故在(a,b)内f(x)的实根个数为W(a)-W(b) 9.33斯图姆序列的构造方法 设f(x)是一个无重根的实系数多项式,取 f6(x)=f(x),f(x)=f(x)(设degf(x)≥1)。以f(x)除后(x),得 f o(x)=gn (x)f(x)+r(x), r(x)=OoX degr(x)< deg f(x) 如r(x)=0,过程到此结束。否则,取f(x)=-r1(x),再用f2(x)去除f1(x),得 f(x)=q2(x)f2(x)+2(x) r(x)=Op deg,(x)<deg(x) 如r2(x)=0,过程到此结束。否则,取f(x)=-2(x),再用f(x)去除f2(x) 经过 若干步后,我们有 f-1(x)=q,(x)f(x) 我们可以证明下面的这个实习数多项式序列就是f(x)的一个斯图姆序列 如果f(x)是一个有重根的实系数多项式序列,设其素因式标准分解式为 f(x)=an(x)…p,(x) 这时我们仅需研究f(x)=n(x)…P(x)的实根分布就可以了 §4单变量有理函数域 941域上的一元有理分式域的定义 设R为一整环,命S={(b,a)|a,b∈R,a≠0}。现在S中规定~为 (6, a)-(d, c)o bc=ad 逐一验证“反身性”、“对称性”、“传递性”可知~为一等价关系。用(b,a)表示与(b,a) 等价的元素的全体。现记S关于~的等价类的集合为5,则(ba)是5中的元素。下面 在S上定义二元运算: (a, b)+(c, d)=(ad bc, bd) (a, b)(c, d=(ac, bd)
左端 1 f x f x ( ), ( ) 异号，即有一个变号，而在 i a 的右端 1 f x f x ( ), ( ) 同号，即无变号。现在不 管 i a 是不是（2）中某个多项式的根，根据上一段的讨论，它们对邻域 ( , ) i i a a − + 内 W x( ) 的值没有影响。由此知此时 i a 左端 W x( ) 的值比右端的大 1。 现在让 x 从 a 向 b 运动，每经过 f x( ) 的一个实根时， W x( ) 的函数值减 1，在其他情况 下 W x( ) 的值不变。故在 ( , ) a b 内 f x( ) 的实根个数为 W a W b ( ) ( ) − 。 9.3.3 斯图姆序列的构造方法 设 f x( ) 是一个无重根的实系数多项式，取 0 1 f x f x f x f x f x ( ) ( ), ( ) ( )( deg ( ) 1) = = 设 。以 1 f x( ) 除 0 f x( ) ，得 0 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0 deg ( ) deg ( ) f x q x f x r x r x r x f x = + = 或 如 1 r x( ) 0 = ，过程到此结束。否则，取 2 1 f x r x ( ) ( ) = − ，再用 2 f x( ) 去除 1 f x( ) ，得 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0 deg ( ) deg ( ). f x q x f x r x r x r x f x = + = 或 如 2 r x( ) 0 = ，过程到此结束。否则，取 3 2 f x r x ( ) ( ) = − ，再用 3 f x( ) 去除 2 f x( )， ，经过 若干步后，我们有 1 ( ) ( ) ( ) s s s f x q x f x − = 我们可以证明下面的这个实习数多项式序列就是 f x( ) 的一个斯图姆序列。 如果 f x( ) 是一个有重根的实系数多项式序列，设其素因式标准分解式为 1 0 1 ( ) ( ) ( ) r k k r f x a p x p x = 这时我们仅需研究 1 ( ) ( ) ( ) r f x p x p x = 的实根分布就可以了。 §4 单变量有理函数域 9.4.1 域上的一元有理分式域的定义 设 R 为一整环，命 S b a a b R a = {( , ) | , , 0} 。现在 S 中规定 为 ( , ) ( , ) b a d c bc ad = 逐一验证“反身性”、“对称性”、“传递性”可知 为一等价关系。用 ( , ) b a 表示与 ( , ) b a 等价的元素的全体。现记 S 关于 的等价类的集合为 S ，则 ( , ) b a 是 S 中的元素。下面 在 S 上定义二元运算： ( , ) ( , ) ( , ) a b c d ad bc bd + = + ( , ) ( , ) ( , ) a b c d ac bd =