兰州交通大学：《电磁场与电磁波》课程教学资源（试卷习题）各章课后习题与解答

ex e,e. (2) V×R=a可a =0 x yy (3)设A=eA+e,A,+e.A,则小R=Ax+Ay+Az,故 V(A-R)=e(4x+4y+A)+e,(+y+A)+ e24+4+4=)=64+e,4+e4=A 1.18一径向矢量场F=e,f)表示，如果又.F=0,那么函数f)会有什么特点呢？ 解在圆柱坐标系中，由 v.( 可得到 nn-c C为任意常数。 在球坐标系中，由 r2f1=0 V.F-d 可得到 m-9 1.19给定矢量函数E=ey+e,x,试求从点P(2,1,-)到点(82，-1)的线积分 「Edl:(1)沿抛物线x=y2:(2)沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？ 解I)∫Edl=jEdx+E,dy=jydx+xdy= yd(2y2)+2y2dy=6y'dy=14 (2)连接点B(2,1,-1)到点(82，-)直线方程为 x-2_x-8 y-1y-2 即 x-6y+4=0 故∫Edl=∫E,dx+E,dy=∫yd(6y-4)+(6y-4)dy=「12y-4)dy=14 由此可见积分与路径无关，故是保守场。 1,20求标量函数少=：的梯度及Ψ在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量 巴而+北而+e而定出：求2,3，点的方向导数值。 3 4 5 解 e,2xyz+e,x'=+e.x'y

（2） x y z x y z x y y      = =    e e e R 0 （3）设 A e e e = + + x x y y z z A A A ，则 A R = + + A x A y A z x y z ，故 ( ) ( ) ( ) x x y z y x y z A x A y A z A x A y A z x y    = + + + + + +   A R e e ( ) z x y z A x A y A z z  + + =  e e e e A x x y y z z A A A + + = 1.18 一径向矢量场 ( ) r F e = f r 表示，如果  = F 0 ，那么函数 f r( ) 会有什么特点呢？ 解 在圆柱坐标系中，由 1 d [ ( )] 0 d rf r r r  = = F 可得到 ( ) C f r r = C 为任意常数。 在球坐标系中，由 2 2 1 d [ ( )] 0 d r f r r r  = = F 可得到 2 ( ) C f r r = 1.19 给定矢量函数 x y E e e = +y x ，试求从点 1P(2,1, 1) − 到点 2P (8,2, 1) − 的线积分 d  E l ：（1）沿抛物线 2 x y = ；（2）沿连接该两点的直线。这个 E 是保守场吗？ 解 （1） d d d x y C C = + = E x E y   E l d d C y x x y + =  2 2 2 1 y y y y d(2 ) 2 d + =  2 2 1 6 d 14 y y =  （2）连接点 1P(2,1, 1) − 到点 2P (8,2, 1) − 直线方程为 2 8 1 2 x x y y − − = − − 即 x y − + = 6 4 0 故 2 1 d d d d(6 4) (6 4)d x y C C = + = − + − = E x E y y y y y    E l 2 1 (12 4)d 14 y y − =  由此可见积分与路径无关，故是保守场。 1.20 求标量函数 2  = x yz 的梯度及  在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量 3 4 5 50 50 50 e e e x y z + + 定出；求 (2,3,1) 点的方向导数值。 解 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x y z x yz x yz x yz x y z      = + + =    e e e 2 2 2 x y z e e e xyz x z x y + +

3 4 故沿方向6=6而+6而+而的方向导数为 5 r△b aΨ 64x225x2y e-暖++元 点(2,3,1)处沿e,的方向导数值为 0Ψ_361660_112 花 l5o5050√50 1.21试采用与推导直角坐标中 4=4+4+4相似的方法推导圆柱坐标下的公式 题1.21图 A,8A. V.4-(A.) 解在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场A沿e,方向穿出该六面体的表面 的通量 (r+A)4(+)r4((r4)ArAM=1004Ar ar r or 同理 g=了f4 drd:-了了4ldrd: [AG9+A4,少A04NL*AL=Ar g=drd4-了了4 .rdrde- r+0+A0 L:+A)-Ara处是rwa-是ar 因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为 ”=9,+y,+g.8+A+04]Az 故得到圆柱坐标下的散度表达式7·A=m△：，+r0正 Ψ_1ar4)aAa4 1以方程一号若+号给面一数。求表上任金点的净包法的天品 解由于 2z

故沿方向 3 4 5 50 50 50 e e e e l x y z = + + 的方向导数为 2 2 6 4 5 50 50 50 l xyz x z x y l    =  = + +  e 点 (2,3,1) 处沿 l e 的方向导数值为 36 16 60 112 l 50 50 50 50  = + + =  1.21 试采用与推导直角坐标 中 x y z A A A x y z     = + +    A 相似的方法推导圆柱坐标下的公式 1 ( ) z r A A rA r r r z       = + +    A 。 解 在圆柱坐标中，取小体积元如题 1.21 图所示。矢量场 A 沿 r e 方向穿出该六面体的表面 的通量为 ( )d d d d z z z z r r r r r r z z A r r r A r r          + + + + = +  −      +  [( ) ( , , ) ( , , )] r r r r A r r z rA r z z +  +  −       ( ) ( ) 1 r r rA rA r z r r r        =    同理 d d d d r r z z r r z z r z r z A r z A r z       + + + + = −      +  [ ( , , ) ( , , )] A r z A r z r z      +  −    A A r z r            =    d d d d r r r r z z z z z z r r A r r A r r          + + + + = −      +  [ ( , , ) ( , , )] A r z z A r z r r z z z    +  −     A A z z r r z z z        =    因此，矢量场 A 穿出该六面体的表面的通量为 1 ( ) [ ] r z r z rA A A Ψ Ψ Ψ Ψ r r r z        = + +  + +     故得到圆柱坐标下的散度表达式 0 1 ( ) lim r z rA A A r r r z     →       = = + +     A 1.22 方程 2 2 2 2 2 2 x y z u a b c =++ 给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。 解 由于 2 2 2 2 2 2 x y z x y z u a b c  = + + e e e r r z o x y  r z  z 题 1.21 图

3停*+ 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 n费-化亭+6+/停+惊+ 1.23现有三个矢量A、B、C为 A=e,sin0cos+e cos0cos-e,sin B=e,='sing+e='coso+e.2rsing C=e.(3y2-2x)+e,x2+e.2z (1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表 示？ (2)求出这些矢量的源分布。 解(1)在球坐标系中 1a4 (rA.)+(sinA)+rsine ao- 是rsm0+,gbem0co:0cas)+,b品-sm0- 10 in0cos+ cos 2sinecos coso sin =0 r r e,reo rsinde Ia a VxA-singar 00 06 A,rAo rsinA er reo rsine。 1 0 a =0 r2sin -rsinesin 故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示： -,g 在圆柱坐标系中 ('sind)+100 18 -2sin单_子sin2+2 rsin=2rsin0 r

2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x y z u abc  = + + 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x y z u x y z x y z u a b c a b c  = = + + + +  n e e e 1.23 现有三个矢量 A 、 B 、C 为 sin cos cos cos sin A e e e = + − r        2 2 sin cos 2 sin r z z z rz B e e e = + +     2 2 (3 2 ) 2 x y z C e e e = − + + y x x z （1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表 示？ （2）求出这些矢量的源分布。 解（1）在球坐标系中 2 2 1 1 1 ( ) (sin ) sin sin r A r A A r r r r            = + + =    A 2 2 1 1 1 ( sin cos ) (sin cos cos ) ( sin ) sin sin r r r r r              + + − =    2 cos 2sin cos cos sin cos 0 r r r r sin sin         + − − = 2 sin 1 sin sin r r r r r r A rA r A               = =    e e e A 2 sin 1 0 sin sin cos cos cos sin sin r r r r r r r                =    − e e e 故矢量 A 既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示； 在圆柱坐标系中 1 1 ( ) z r B B rB r r r z       + + =    B = 1 1 2 2 ( sin ) ( cos ) (2 sin ) rz z rz r r r z        + + =    2 2 sin sin 2 sin 2 sin z z r r r r   − + =  

reo e. er reo VxB= 品 a 80 =0 rar 80 0z r BrB。B 2sin rcos 2rsin 故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示： 直角在坐标系中 .c=℃+℃ 0C= dx oy r2-2x+ e es e. V×C= a d x =e.(2x-6y) 3y2-2xx22z 7,A=0,7×A=0: V,B=2 rsin,V×B=0: V.C=0,7×C=e.(2xr-6y) 1.24利用直角坐标，证明 V.(f)=fV.A+A.Vf 解在直角坐标中 4-尝影尝gg影 y 品)+U)+是U)-U网 1.25证明 V(A×H)=H.V×A-AV×H 解根据V算子的微分运算性质，有 V(A×H)=V,(A×H)+V(A×H) 式中V,表示只对矢量A作微分运算，V,表示只对矢量H作微分运算 由a(b×c)=c(a×b),可得 7(A×H)=H(T×A)=H(V×A) 同理 Va(A×H)=-A(Vg×H)=-A(V×H) 故有 V(A×H)=HV×A-AV×H 1.26利用直角坐标，证明

2 2 1 1 0 sin cos 2 sin r z r z r z r r r r z r r z B rB B z rz rz                = = =       e e e e e e B 故矢量 B 可以由一个标量函数的梯度表示； 直角在坐标系中 x y z C C C x y z     + + =    C = 2 2 (3 2 ) ( ) (2 ) 0 y x x z x y z    − + + =    2 2 (2 6 ) 3 2 2 x y z z x y x y z y x x z     = = −    − e e e C e 故矢量 C 可以由一个矢量函数的旋度表示。 （2）这些矢量的源分布为  = A 0， = A 0 ；  B = 2 sin r  ， = B 0 ；  = C 0， (2 6 ) z  = − C e x y 1.24 利用直角坐标，证明  =  +  ( ) f f f A A A 解 在直角坐标中 ( ) ( ) x y z x y z A A A f f f f f f A A A x y z x y z        +  = + + + + + =       A A ( ) ( ) ( ) x y z x y z A f f f A A f A f A f A x x y y z z       + + + + + =       ( ) ( ) ( ) ( ) x y z fA fA fA f x y z    + + =     A 1.25 证明   =  −  ( ) A H H A A H 解 根据  算子的微分运算性质，有 ( ) ( ) ( )   =   +   A H A H A H A H 式中 A 表示只对矢量 A 作微分运算， H 表示只对矢量 H 作微分运算。 由 a b c c a b ( ) ( )  =  ，可得 ( ) ( ) ( )   =   =  A A A H H A H A 同理 ( ) ( ) ( )   = −   = −  H H A H A H A H 故有   =  −  ( ) A H H A A H 1.26 利用直角坐标，证明

Vx(G)=fVxG+VfxG 解在直角坐标中 G=化告e竖*空号 2G,.0G】 ya正 所以 NVxG+WxG-e.lG.+/)-(G,+ dx a e1g.c+ec2.ac+ e)_aG1-vxo Ox dy 1.27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明V×(V)=0及 V(V×A)=0,试证明之。 解(1)对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S,由斯托克斯定理有 (VxVwrdS-fVudI-d-fdu-0 由于曲面S是任意的，故有 V×(V)=0 (2)对于任意闭合曲面S为边界的体积π，由散度定理有 「V(V×A)dr=④(V×A)dS=(V×A)dS+(VxA)dS 其中S和S,如题127图所示。由斯托克斯定理，有 [(×A)dS=④Adl. 「(V×AdS=ΦAdl 由题127图可知C和C,是方向相反的同-回路，则有∮d1=-∮Ad 所以得到 [V-(VxA)dr=A-dl+A-dI=-A-dl+A-dI=0 由于体积是任意的，故有7(V×A)=0 题1.27图

 =  +   ( ) f f f G G G 解 在直角坐标中 [ ( ) ( ) ( )] z z y y x x x y z G G G G G G f f y z z x x y        = − + − + −       G e e e   = f G [ ( ) ( ) ( )] x z y y x z z y x f f f f f f G G G G G G y z z x x y       − + − + −       eee 所以 f f  +   = G G [( ) ( )] z y x z y f f G G G f G f y y z z     + − + +     e [( ) ( )] x z y x z f f G G G f G f z z x x     + − + +     e [( ) ( )] y x z y x f f G G G f G f x x y y     + − + =     e ( ) ( ) [ ] z y x fG fG y z   − +   e ( ) ( ) [ ] x z y fG fG z x   − +   e ( ) ( ) [ ] y x z fG fG x y   − =   e ( ) fG 1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明    = ( ) 0 u 及   = ( ) 0 A ，试证明之。 解 （1）对于任意闭合曲线 C 为边界的任意曲面 S ，由斯托克斯定理有 ( ) d d d d 0 S C C C u u u l u l   =  = = =      S l 由于曲面 S 是任意的，故有    = ( ) 0 u （2）对于任意闭合曲面 S 为边界的体积  ，由散度定理有 1 2 ( )d ( ) d ( ) d ( ) d  S S S    =   =   +        A A S A S A S 其中 1 S 和 2 S 如题 1.27 图所示。由斯托克斯定理，有 1 1 ( ) d d S C   =   A S A l ， 2 2 ( ) d d S C   =   A S A l 由题 1.27 图可知 C1 和 C2 是方向相反的同一回路，则有 1 2 d d C C = −   A l A l 所以得到 1 2 2 2 ( )d d d d d 0  C C C C   = + = − + =       A A l A l A l A l 由于体积  是任意的，故有   = ( ) 0 A n1 C1 C2 2 S 1 S n2 题 1.27 图