一章习题解答 1.1给定三个矢量A、B和C如下： A=e,+e,2-e.3 B=-e,4+e C=e5-e.2 求：(1)a4:(2)A-B:(3)AB:(4)OB:(5)A在B上的分量：(6)A×C: (7)A(B×C)和(A×B)C:(8)(A×B)×C和A×(B×C)。 A-e+e,2-e3 2 3 解0a丙+2+家6而府e (2)4-周=le+e,2-e3)-(-e,4+e:=le+e,6-e.4-5因 (3)AB=(e+e,2-e.3)(-e,4+e)=-ll 4由c8-8而-成将0.=as高=3s5 A.B -11 11 4B=- 5A在B上的分量A。=4cos8m=B=-而 eses e (6)A×C=12-3=-e,4-e,13-e.10 50-2 e,e,e. (7)由于B×C=0-41=e8+e,5+e.20 50-2 ex ey e: A×B=12-3=-e10-e,1-e.4 0-41 所以 A(B×C)=(e.+e,2-e.3(e8+e,5+e.20)=-42 (A×B)C=(-e,10-e,1-e.4)♪(e5-e.2)=-42 exex e: (8)(A×B)×C=-10-1-4=e,2-e,40+e5 50-2 es ey e: A×(B×C)=12-3=e,55-e,44-e.11 8520
一章习题解答 1.1 给定三个矢量 A 、 B 和 C 如下： 2 3 A e e e = + − x y z 4 B e e = − + y z 5 2 C e e = − x z 求：（1） A a ；（2） A B− ；（3） AB ；（4） AB ；（5） A 在 B 上的分量；（6） A C ； （7） A B C ( ) 和 ( ) A B C ；（8） ( ) A B C 和 A B C ( ) 。 解 （1） 2 2 2 2 3 1 2 3 1 2 ( 3) 14 14 14 x y z A x y z + − = = = + − + + − A e e e a e e e A （2） A B− = ( 2 3) ( 4 ) e e e e e x y z y z + − − − + = 6 4 53 e e e x y z + − = （3） A B = ( 2 3) e e e x y z + − ( 4 ) − + = y z e e －11 （4）由 cos AB = 11 11 14 17 238 − = = − A B A B ，得 1 cos AB − = 11 ( ) 135.5 238 − = （5） A 在 B 上的分量 AB = A cos AB = 11 17 = − A B B （6） A C = 1 2 3 5 0 2 x y z − = − e e e 4 13 10 − − − x y z e e e （7）由于 B C = 0 4 1 5 0 2 x y z − = − e e e 8 5 20 e e e x y z + + A B = 1 2 3 0 4 1 x y z − = − e e e 10 1 4 − − − x y z e e e 所以 A B C ( ) = ( 2 3) e e e x y z + − ( 8 5 20) 42 e e e x y z + + = − ( ) A B C = ( 10 1 4) − − − x y z e e e ( 5 2) 42 e e x z − = − （8） ( ) A B C = 10 1 4 5 0 2 x y z − − − = − e e e 2 40 5 e e e x y z − + A B C = ( ) 1 2 3 8 5 20 x y z − = e e e 55 44 11 e e e x y z − −
1.2三角形的三个顶点为P0,1,-2)、B(41,-3)和P(6,2,5)。 (1)判断△PDP是否为一直角三角形： (2)求三角形的面积。 解(1)三个顶点(0,1，-2)、P(4,L,-3)和P(6,2,5)的位置矢量分别为 5=e,-e.2,5=e,4+e,-e3,5=e6+e,2+e5 R2=5-5=e4-e, R,=5-5=e2+e,+e.8, R1=r-5=-e6-e,-e.7 由此可见 R2Rs=(e4-e)(e2+e,+e.8)=0 故△PP,P为一直角三角形。 （2)三角形的面积S=R:×R=)R×R=)7xV6=17.13 1.3求P'(-3,1,4)点到P(2,-2,3)点的距离矢量R及R的方向。 解rr=-e3+e,+e.4,rp=e2-e,2+e.3, 则 Rpp rp-rp=e5-e,3-e: 且Rp与x、y、:轴的夹角分别为 =s)=s房23r 5 RPl =w=w房=i07 -3 =6s)=s(宽=973 1.4给定两矢量A=e,2+e,3-e.4和B=e,4-e,5+e.6,求它们之间的夹角和A在 B上的分量。 -31 解A与B之间的夹角为0s=cs4B}=cos2列Xy方131 B-31 1在B上的分量为4=小因房-352 1.5给定两矢量A=e2+e,3-e.4和B=-e6-e,4+e.,求A×B在C=e-e,+e 上的分量 es es e. 解A×B=23-4=-e,13+e22+e.10 -6-41 48C8为d8C-点-4 1.6证明：如果AB=AC和A×B=A×C,则B=C:
1.2 三角形的三个顶点为 1P(0,1, 2) − 、 2 P (4,1, 3) − 和 3P (6,2,5) 。 （1）判断 PP P 1 2 3 是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 解 （1）三个顶点 1P(0,1, 2) − 、 2 P (4,1, 3) − 和 3P (6,2,5) 的位置矢量分别为 1 2 = − y z r e e ， 2 4 3 = + − x y z r e e e ， 3 6 2 5 = + + x y z r e e e 则 12 2 1 4 R r r e e = − = − x z ， 23 3 2 2 8 R r r e e e = − = + + x y z ， 31 1 3 6 7 R r r e e e = − = − − − x y z 由此可见 12 23 ( 4 ) ( 2 8) 0 R R e e e e e = − + + = x z x y z 故 PP P 1 2 3 为一直角三角形。 （2）三角形的面积 12 23 12 23 1 1 1 17 69 17.13 2 2 2 S = = = = R R R R 1.3 求 P( 3,1, 4) − 点到 P(2, 2,3) − 点的距离矢量 R 及 R 的方向。 解 3 4 r e e e P x y z = − + + ， 2 2 3 r e e e P x y z = − + ， 则 5 3 R r r e e e P P P P x y z = − = − − 且 RPP 与 x、 y 、 z 轴的夹角分别为 1 1 5 cos ( ) cos ( ) 32.31 35 x P P x P P − − = = = e R R 1 1 3 cos ( ) cos ( ) 120.47 35 y P P y P P − − − = = = e R R 1 1 1 cos ( ) cos ( ) 99.73 35 z P P z P P − − = = − = e R R 1.4 给定两矢量 2 3 4 A e e e = + − x y z 和 4 5 6 B e e e = − + x y z ，求它们之间的夹角和 A 在 B 上的分量。 解 A 与 B 之间的夹角为 1 1 31 cos ( ) cos ( ) 131 29 77 − − − = = = AB A B A B A 在 B 上的分量为 31 3.532 77 AB − = = = − B A B 1.5 给定两矢量 2 3 4 A e e e = + − x y z 和 6 4 B e e e = − − + x y z ，求 A B 在 C e e e = − + x y z 上的分量。 解 A B = 2 3 4 6 4 1 x y z − = − − e e e 13 22 10 − + + x y z e e e 所以 A B 在 C 上的分量为 ( ) A B = C ( ) 25 14.43 3 = − = − A B C C 1.6 证明：如果 AB = AC 和 A B = A C ，则 B C= ；
解由A×B=AxC,则有A×(A×B)=A×(A×C),即 (A-B)A-(A-A)B=(A-C)A-(A-A)C 由于AB=AC,于是得到（小A)B=(AA)C 故 1.7如果给定一未知矢量与一己知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。 设A为一已知矢量，p=AX而P=A×X,p和P已知，试求X。 解由P=A×X,有 A×P=A×(A×X)=(AX)A-(AA)X=pA-(AA0X 故得 X=PA-AxP A 18在圆柱坐标中，一点的位置由(4号，3)定出，求该点在：《(D直角坐标中的坐标： (2)球坐标中的坐标。 解(1)在直角坐标系中x=4cos(2π/3)=-2、y=4sin(2π/3)=2√5、z=3 故该点的直角坐标为(-2,2√5,3)· (2)在球坐标系中r=V4F+3=5、0=an'(4/3)=53.P、中=2/3=120 故该点的球坐标为(5,53.1°，120) 19用球坐标表示的场E=e, 25 (1)求在直角坐标中点(-3,4，-5)处的E和E,: (2)求在直角坐标中点(-3,4，-)处E与矢量B=e,2-e2+e.构成的夹角。 解(1)在直角坐标中点(-3,4，-5)处，r2=(-3)2+42+(-5)2=50,故 k斗 -332 E,=e,E=Ecos8.-255-20 (2)在直角坐标中点(-3,4，-5)处，r=-e,3+,4-e.5,所以 10√2 故E与B构成的夹角为 8.=m学8-w1982=156 E.B 3/2 1.10球坐标中两个点(G,日，4)和(5，日2,4)定出两个位置矢量R和R。证明R和R 间夹角的余弦为 cosy=cose cos,+sin sine cos() 解由R,=e,isin0cos4+e,5 sinsin4+e.r cos0, R =e sine,cose,sin&,sine cos
解 由 A B = A C ，则有 A A B A A C = ( ) ( ) ，即 ( ) ( ) ( ) ( ) A B A A A B A C A A A C −=− 由于 AB = AC ，于是得到 ( ) ( ) A A B A A C = 故 B C= 1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。 设 A 为一已知矢量， p = A X 而 P A X = ， p 和 P 已知，试求 X 。 解 由 P A X = ，有 A P A A X A X A A A X A A A X = = − = − ( ) ( ) ( ) ( ) p 故得 p − = A A P X A A 1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由 2 (4, ,3) 3 定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标； （2）球坐标中的坐标。 解 （1）在直角坐标系中 x = = − 4cos(2 3) 2 、 y = = 4sin(2 3) 2 3 、 z = 3 故该点的直角坐标为 ( 2, 2 3,3) − 。 （2）在球坐标系中 2 2 r = + = 4 3 5、 1 tan (4 3) 53.1 − = = 、 = = 2 3 120 故该点的球坐标为 (5,53.1 ,120 ) 1.9 用球坐标表示的场 2 25 r r E e = ， （1）求在直角坐标中点 ( 3,4, 5) − − 处的 E 和 E x ； （2）求在直角坐标中点 ( 3,4, 5) − − 处 E 与矢量 2 2 B e e e = − + x y z 构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点 ( 3,4, 5) − − 处， 2 2 2 2 r = − + + − = ( 3) 4 ( 5) 50 ，故 2 25 1 2 r r E e = = 1 3 3 2 cos 2 20 5 2 E x x rx − = = = = − e E E （2）在直角坐标中点 ( 3,4, 5) − − 处， 3 4 5 = − + − x y z r e e e ，所以 2 3 25 25 3 4 5 10 2 x y z r r − + − = = = r e e e E 故 E 与 B 构成的夹角为 1 1 19 (10 2) cos ( ) cos ( ) 153.6 3 2 − − EB = = − = E B E B 1.10 球坐标中两个点 1 1 1 ( , , ) r 和 2 2 2 ( , , ) r 定出两个位置矢量 R1 和 R2 。证明 R1 和 R2 间夹角的余弦为 1 2 1 2 1 2 cos cos cos sin sin cos( ) = + − 解 由 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin cos sin sin cos x y z R e e e = + + r r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin sin cos x y z R e e e = + + r r r
得到 sin cos sine cos+sine sin sinsin+coscos= sine sin (cosd cos+sind sin )+cose cos= sinsin.cos()+coscos 1.11一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：小(e,3sin)dS的值 f(c.3sinde,3sineddej3sinox sinodo7 00 1.12在由r=5、:=0和：=4围成的圆柱形区域，对矢量A=e,r2+e.2:验证散度定 理。 解在圆柱坐标系中 所以 fv.Adr-jd-jdgj@r+2rdr-1200m Ads-(er+e.2=)e,dS,+e,dS,+e.dS.)= x5dd+2x4rdrde-1200 故有 [V.Adr=l200π=fdS 1l3求(1)矢量A=e,2+e,xy2+e.24x2y:2的散度：(2)求7.A对中心在原点的 一个单位立方体的积分：(3)求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。 解4D.A-0r+0r)+24ry-2x+2ry+72ry: (2)了，A对中心在原点的一个单位立方体的积分为 [V.Adr= 9fx2dynyzxdy 2-/ (3)A对此立方体表面的积分 V22 ∮Ads=∫}dyd-∫了dyd+ 2 f 2x(Ydxd=-5 f2x(-Ydxd+
得到 1 2 1 2 cos = = R R R R 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos + + = 1 2 1 2 1 1 2 1 2 sin sin (cos cos sin sin ) cos cos + + = 1 2 1 2 1 2 sin sin cos( ) cos cos − + 1.11 一球面 S 的半径为 5 ，球心在原点上，计算： ( 3sin ) d r S e S 的值。 解 ( 3sin ) d ( 3sin ) d r r r S S = = S e S e e 2 2 2 0 0 d 3sin 5 sin d 75 = 1.12 在由 r = 5、 z = 0 和 z = 4 围成的圆柱形区域，对矢量 2 2 r z A e e = + r z 验证散度定 理。 解 在圆柱坐标系中 1 2 ( ) (2 ) 3 2 rr z r r r z = + = + A 所以 4 2 5 0 0 0 d d d (3 2) d 1200 z r r r = + = A 又 2 d ( 2 ) ( d d d ) r z r r z z S S r z S S S A S e e e e e = + + + = 4 2 5 2 2 0 0 0 0 5 5d d 2 4 d d 1200 z r r + = 故有 d 1200 = A d S = A S 1.13 求（1）矢量 2 2 2 2 2 3 24 x y z A e e e = + + x x y x y z 的散度；（2）求 A 对中心在原点的 一个单位立方体的积分；（3）求 A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。 解 （1） 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 ( ) ( ) (24 ) 2 2 72 x x y x y z x x y x y z x y z = + + = + + A （2） A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 d (2 2 72 )d d d 24 x x y x y z x y z −−− = + + = A （3） A 对此立方体表面的积分 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 d ( ) d d ( ) d d 2 2 S y z y z − − − − = − − + A S 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ( ) d d 2 ( ) d d 2 2 x x z x x z − − − − − − + 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 2 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 24 ( ) d d 24 ( ) d d 2 2 24 x y x y x y x y − − − − − − =
故有 ∫.Adr==∮Ads 24 分。 1,14计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求了r对球体积的积 frdS=fre,dS=「dp[aa2sin0d0=4πa 又在球标系中，wc列=3，所慰 [Vrdr=[[[3r2sinedrdodd=4na' 000 1.15求矢量A=e,x+e,x2+ey:沿平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分 此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求V×A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托 克斯定理。 解 fAdl=「xdx-「xdx+「22dy-「0dy=8 e,e,e. V×A= =e,2y+e.2x x x2 v2 所以 ∫×Ads=jfe.2z+e.2re.drdy=8 故有 ∮4dl=8=∫v×Ads 1.16求矢量A=e,x+e,y2沿圆周x2+y2=a2的线积分，再计算V×A对此圆面积的积 分。 解 Adxdx+dy=(-cossinacossinda 4 x4s-e层-eas=pPds-j产sd=g 8A,dA. 1.17证明：(1)VR=3:(2)V×R=0:(3)(小R)=A。其中R=ex+e,y+e A为一常矢量。 解1)R=++产=3
故有 1 d 24 = A d S = A S 1.14 计算矢量 r 对一个球心在原点、半径为 a 的球表面的积分，并求 r 对球体积的积 分。 解 2 2 3 0 0 d d d sin d 4 r S S S aa a = = = r S r e 又在球坐标系中， 2 2 1 ( ) 3 r r r r = = r ，所以 2 2 3 0 0 0 d 3 sin d d d 4 a r r a = = r 1.15 求矢量 2 2 x y z A e e e = + + x x y z 沿 xy 平面上的一个边长为 2 的正方形回路的线积分， 此正方形的两边分别与 x 轴和 y 轴相重合。再求 A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托 克斯定理。 解 2 2 2 2 2 0 0 0 0 d d d 2 d 0d 8 C = − + − = x x x x y y A l 又 2 2 2 2 x y z x z yz x x y z x x y z = = + e e e A e e 所以 2 2 0 0 d ( 2 2 ) d d 8 x z z S = + = yz x x y A S e e e 故有 d 8 C = A l d S = A S 1.16 求矢量 2 x y A e e = +x xy 沿圆周 2 2 2 x y a + = 的线积分，再计算 A 对此圆面积的积 分。 解 2 d d d C C = + = x x xy y A l 2 4 2 4 2 2 0 ( cos sin cos sin )d 4 a a a − + = d ( ) d y x z z S S A A S x y = − = A S e e 2 4 2 2 2 0 0 d sin d d 4 a S a y S r r r = = 1.17 证明：（1） = R 3 ；（2） = R 0 ；（3） = ( ) A R A 。其中 x y z R e e e = + + x y z ， A 为一常矢量。 解 （1） 3 x y z x y z = + + = R