初等函数的连续性 (三)复合函数的连续性 >定理一 >定理二 >定理三 设函数y=f几g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f孔u)复合而成 y=孔g]在点o的某去心邻域内有定义V(x,)cD U()CD 若limg(x)=4imf(0=A且存在6>0，当xeU(x,6)时g(x)≠0 若1img(x)=而函数y=fu)在u=4o连续 若函数u=g(x)在x=xo连续，且g(xo)=l0,而函数y=f)在u=uo连续 则 复合函数y=f儿g()]在x=x也连续
一、初等函数的连续性 （三）复合函数的连续性 设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成， y=f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义， f g x f u A x x u u = = → → lim [ ( )] lim ( ) 0 0 则 ➢定理一 ➢定理二 lim ( ) 0 而函数y=f(u)在u=u0连续， 0 g x u x x = → 若 ➢定理三 若函数u=g(x)在x=x0连续,且g(x0 )=u0，而函数y=f(u)在u=u0连续， 0 lim ( ) 0 g x u x x = → f u A u u = → lim ( ) 0 ( , ) 0 0 x U x o 0 若 且存在δ＞0，当 时 g(x) u 0 复合函数y=f[g(x)]在x=x = f u( ) 0也连续
初等函数的连续性 (四)初等函数的连续性 >结论 基本初等函数在其定义域内连续 一切初等函数在其定义区间内连续 ●注 不能说初等函数在其定义域内连续 例如f(x)=Vcosx-1 定义域x|x=2kπ，k∈Z中的点都是孤立点 不能说函数在该点连续
一、初等函数的连续性 （四）初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内连续 一切初等函数在其定义区间内连续 ➢结论 ⚫注 不能说初等函数在其定义域内连续 例如 定义域 中的点都是孤立点 不能说函数在该点连续
、初等函数的连续性 (五)初等函数的连续性的应用 1.讨论函数的连续性 >定理三 设函数y=f孔g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f)复合而成， U(x)CD/g若函数u=g(x)在x=xo连续，且g(xo)=uo,而 函数y=f孔)在u=uo连续，则复合函数y=fg(c)]在x=xo也连续 ◆例讨论函数y=sin二的连续性
一、初等函数的连续性 （五）初等函数的连续性的应用 1．讨论函数的连续性 ➢定理三 ◆例 讨论函数 1 y sin x = 的连续性 设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成， 若函数u=g(x)在x=x0连续,且g(x0 )=u0，而 函数y=f(u)在u=u0连续,则复合函数y=f[g(x)]在x=x0也连续
初等函数的连续性 (五)初等函数的连续性的应用 2.利用复合函数的连续性求极限 >定理二 设函数y=孔g(x]是由函数u=g(x)与函数y=f孔)复合而成， U(化)CD,g若mg(x)=4,而函数=fu)在u=uo连续则 limf八g(x=limf(0=f(u)—→变量代换 u→0 上述结论可写为 1imf八g(x川=f(img(x)一→函数符号与极限符号可交换 x->x K->x
一、初等函数的连续性 （五）初等函数的连续性的应用 2．利用复合函数的连续性求极限 ➢定理二 设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成， lim [ ( )] lim ( ) ( ) 0 0 0 f g x f u f u x x u u = = → → lim ( ) 0 而函数y=f(u)在u=u0连续，则 0 g x u x x = → 若 变量代换 上述结论可写为 lim f[g(x)] f ( lim g(x)) x x x x → 0 → 0 = 函数符号与极限符号可交换