第一学期第十一次课 第二章§6分块矩阵 26.1分块矩阵的乘法,准对角阵的乘积和秩 1、矩阵的分块和分块矩阵的乘法 设A是属于K上的m×n矩阵,B是K上n×k矩阵,将A的行分割r段,每段分别包 含m1,m2…,m个行,又将A的列分割为s段,每段包含n1,n2,…,n2个列。于是A可用小 块矩阵表示如下: A A A21A2 其中4为mxn矩阵。对B做类似的分割,只是要求它的行的分割法和A的列的分割 法一样。于是B可以表示为 B1B2…B B21B2 B, B BI B B 其中B是n×k的矩阵。这种分割法称为矩阵的分块。此时,设AB=C,则C有如 下分块形式 C, C CC C 其中C是mxk矩阵,且 G=∑4B 定义称数域K上的分块形式的n阶方阵 A A
第一学期第十一次课 第二章 §6 分块矩阵 2.6.1 分块矩阵的乘法，准对角阵的乘积和秩 1、矩阵的分块和分块矩阵的乘法 设 A 是属于 K 上的 m n 矩阵，B 是 K 上 n k 矩阵，将 A 的行分割 r 段，每段分别包 含 1 2 , , , m m mr 个行，又将 A 的列分割为 s 段，每段包含 1 2 , , , s n n n 个列。于是 A 可用小 块矩阵表示如下： 11 12 1 21 22 2 1 2 s s r r rs A A A A A A A A A A = ， 其中 Aij 为 m n i j 矩阵。对 B 做类似的分割，只是要求它的行的分割法和 A 的列的分割 法一样。于是 B 可以表示为 11 12 1 21 22 2 1 2 t t s s st B B B B B B B B B B = ， 其中 Bij 是 i j n k 的矩阵。这种分割法称为矩阵的分块。此时，设 AB C= ，则 C 有如 下分块形式： 11 12 1 21 22 2 1 2 t t r r rt C C C C C C C C C C = ， 其中 Cij 是 m k i i 矩阵，且 1 s ij il lj l C A B = = 。 定义 称数域 K 上的分块形式的 n 阶方阵 1 2 s A A A A =
为准对角矩阵,其中A(=1,2,…,s)为n阶方阵(n1+n2+…+n2=n),其余位置全是小 块零矩阵。 2、分块矩阵的一些性质 命题n阶准对角矩阵有如下性质: (1)、对于两个同类型的n阶准对角矩阵(其中A1,B同为n阶方阵) B1 B B A B 有 AB AB= A2 B2 A (2)、r(A)=r(41)+r(A2)+…+r(A) (3)、A可逆分A(=1,2,…,s)可逆,且 A 命题分块矩阵 的秩大于等于A与B的秩的和。 0 B CA CY 证明记M 设A为m×n矩阵,B为n×l矩阵,A在初等变换标准形为 0 B r=r(A) B在初等变换下的标准形为 E D=(00,s=(B, 则对M前m行前n列做初等变换,对它的后k行后1列也做初等变换,这样可以把M化为
为准对角矩阵，其中 ( 1,2, , ) A i s i = 为 i n 阶方阵（ 1 2 s n n n n + + + = ），其余位置全是小 块零矩阵。 2、分块矩阵的一些性质 命题 n 阶准对角矩阵有如下性质： （1）、对于两个同类型的 n 阶准对角矩阵（其中 , A Bi i 同为 i n 阶方阵）， 1 2 s A A A A = ， 1 2 s B B B B = ， 有 1 1 2 2 s s A B A B AB A B = ； （2）、 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s r A r A r A r A = + + + ； （3）、A 可逆 ( 1,2, , ) = A i s i 可逆，且 1 1 1 1 2 1 s A A A A − − − − = 。 命题 分块矩阵 B A C 0 的秩大于等于 A 与 B 的秩的和。 证明 记 0 A C M B = ，设 A 为 m n 矩阵，B 为 n l 矩阵， A 在初等变换标准形为 1 0 0 0 E r D = ， r r A = ( ) ； B 在初等变换下的标准形为 2 0 0 0 E s D = ， s r B = ( ) ， 则对 M 前 m 行前 n 列做初等变换，对它的后 k 行后 l 列也做初等变换，这样可以把 M 化为
0D2 现在利用D左上角的“1”经过初等列变换消去它右边C1位置中的非零元;再用D2左上角 的“1”经过初等行变换消去它上面C1处的非零元素,于是把M再化作 E.000 000C2 M 00E0 则有r(M)=r(M1)=r(M2)=r+s+r(C2)≥r+s=r(A)+(B)。证毕。 容易得出,对于矩阵 A 0 也有同样的性质 对于上述M和N,如果r(4)=m,r(B)=k,则r(M)=r(4)+r(B);如果 r(A)=n, r(B)=I, r(M=r(A)+r(B) 命题设A、B、C为数域K上的三个可以连乘的矩阵,则 r(ABC)+r(B)>r(AB)+ r(BC) 证明假设A、B、C分别为m×n、n×1和l×s矩阵。令 AB 0 bB 考虑 W=Em -A(A8 0E -C 0En八BBC八0E (0.2C6E 0 -ABC B 0 由可逆矩阵乘法的性质(命题)和命题可以知道, r(ABC)+r(B)=r(N=r(M>r(AB)+r(BC) 262矩阵分块技巧的运用(挖洞法)和其应用—可逆矩阵的分块求逆 1、挖洞法 设
1 1 1 2 0 D C M D = 。 现在利用 D1 左上角的“1”经过初等列变换消去它右边 C1 位置中的非零元；再用 D2 左上角 的“1”经过初等行变换消去它上面 C1 处的非零元素，于是把 M1 再化作 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r s E C M E = 。 则有 1 2 2 r M r M r M r s r C r s r A r B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = + + + = + 。证毕。 容易得出，对于矩阵 A 0 N C B = ， 也有同样的性质。 对于上述 M 和 N ，如果 r A m r B k ( ) , ( ) = = ， 则 r M r A r B ( ) ( ) ( ) = + ；如果 r A n r B l ( ) , ( ) = = ，则 r M r A r B ( ) ( ) ( ) = + 。 命题 设 A 、 B 、C 为数域 K 上的三个可以连乘的矩阵，则 r (ABC) + r (B) r (AB) + r (BC) 证明 假设 A、B、C 分别为 m n 、 n l 和 l s 矩阵。令 AB 0 M B BC = ， 考虑 0 0 0 0 0 0 , 0 m l n s E A E C AB ABC E C N E E B BC B BC E ABC B − − − − = = − = 由可逆矩阵乘法的性质（命题 ）和命题 可以知道， r ABC r B r N r M r AB r BC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = = + 2.6.2 矩阵分块技巧的运用（挖洞法）和其应用——可逆矩阵的分块求逆 1、挖洞法 设
A B C D 其中A为mxm矩阵,B为m×n矩阵,C为xm矩阵,D为l×n矩阵。不妨设A可逆 取 Er Em 0(A B B M,M CrE八CD(0D-CrB 取 E AB 0E1 B)(A0 MM D人0E1八CD-CrB 由于分块矩阵的乘法形式上与普通矩阵相同,所以也可以用左乘(或右乘)一个适当的 分块方阵来读一个分块矩阵做类似的变换。但是要注意 (1)、两个小块矩阵相乘时必须遵守左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数这一原则 (2)、两个小块矩阵相乘成不能交换次序,要分清那个在左,那个在右。 2、矩阵的分块求逆 设方阵 A B M C D 其中A可逆。令 E 0 A BE -AB -CAE八CD八0E 0 D-CA-IB e 0 E -AB D D-CA-B -CA E 0 E 若M可逆,则N可逆,于是D1可逆
A B M C D = ， 其中 A 为 m m 矩阵，B 为 m n 矩阵，C 为 l m 矩阵，D 为 l n 矩阵。不妨设 A 可逆， 取 1 1 0 m l E M CA E − = − ， 则 1 1 1 0 0 m l E A B A B M M CA E C D D CA B − − = = − − ， 取 1 2 0 m l E A B M E − = ， 则 1 2 1 0 0 m l A B A E A B MM C D C D CA B E − − − = = − 。 由于分块矩阵的乘法形式上与普通矩阵相同，所以也可以用左乘（或右乘）一个适当的 分块方阵来读一个分块矩阵做类似的变换。但是要注意： （1）、两个小块矩阵相乘时必须遵守左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数这一原则； （2）、两个小块矩阵相乘成不能交换次序，要分清那个在左，那个在右。 2、矩阵的分块求逆 设方阵 A B M C D = ， 其中 A 可逆。令 1 1 1 0 0 0 0 E A B A E A B N CA E C D D CA B E − − − − = = − − ， 记 1 E 0 U CA E − = − ， 1 0 E A B V E − − = ， 1 D D CA B 1 − = − ， 若 M 可逆，则 N 可逆，于是 D1 可逆
(UM) MU 求得 M=v 0 D
1 1 1 1 1 1 1 10 ( ) 0A N UMV V M U D − − − − − − − = = = ， 求得 1 1 1 10 0A M V U D − − − =