清华大学：《微积分》课程教学资源_第五章（5.7）微分形式介绍（课后作业）

第五章向量分析 第五章向量分析 5-7微分形式介绍 第二十二讲微形形式介绍 课后作业: 阅读:第十三章13.7pp.278-290 预习:第十四章14-1pp.293304 作业题:p.290补充题1:4;5;8 5-7微分形式介绍 (一)微分形式问题的提出 我们已经学习过四个微积分的重要公式 Newton-Leibniz公式「d=f(b)-f(a) Gren公式{xax+h ar CX )dxd小y Gas公式F:=vF和 soes公式于手F:d=』xf) 它们都反映了类似的规律:函数(或者向量函数)的“微分”在区 域上的“积分”,可以用函数(或者向量函数)在该区域边界上的“积 分”来表示。当然,这里的微分与积分,都是有特定定义的,因而我 们加上了引号。 既然四个公式反映了类似规律,那么能否将这四个公式统一起来? 解决这些问题需要引进“微分形式”这一工具.系统地讨论微分形式 需要较深的代数和拓扑知识.所以这里我们只是在R的范围中以尽可 能通俗的方式叙述微分形式的积分,并且特别注意联系已经学过的知 (二)流形及其定向 在三维空间中,我们给曲线、曲面和区域一个统一的名称:“流形 “一维流形”指满足一定条件的曲线(包括直线) “二维流形”指满足一定条件的曲面(包括平面); “三维流形”指R中满足一定条件的区域 流形都是有向的.其定义是前面关于曲线、曲面和区域定向的一般 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 第五章 向量分析 5-7 微分形式介绍 第二十二讲 微形形式介绍 课后作业： 阅读：第十三章 13.7 pp.278-290 预习：第十四章 14-1 pp. 293—304 作业题: p.290 补充题 1; 4; 5; 8 5-7 微分形式介绍 (一) 微分形式问题的提出 我们已经学习过四个微积分的重要公式: Newton-Leibniz 公式 df f (b) f (a) b a = −  Green 公式 dxdy y X x Y Xdx Ydy D D ( )      + = −   , Gauss 公式      =    F dS F dV    和 Stokes 公式 ( ) .    =   S S F dl F dS      它们都反映了类似的规律：函数(或者向量函数)的“微分”在 区 域上的“积分”, 可以用函数(或者向量函数)在该区域边界上的“积 分”来表示。当然，这里的微分与积分，都是有特定定义的，因而我 们加上了引号。 既然四个公式反映了类似规律，那么能否将这四个公式统一起来? 解决这些问题需要引进“微分形式”这一工具. 系统地讨论微分形式 需要较深的代数和拓扑知识. 所以这里我们只是在 3 R 的范围中以尽可 能通俗的方式叙述微分形式的积分,并且特别注意联系已经学过的知 识. (二) 流形及其定向 在三维空间中,我们给曲线、曲面和区域一个统一的名称：“流形”. “一维流形” 指满足一定条件的曲线(包括直线); “二维流形” 指满足一定条件的曲面(包括平面); “三维流形” 指 3 R 中满足一定条件的区域. 流形都是有向的. 其定义是前面关于曲线、曲面和区域定向的一般

第五章向量分析 化 (1)对于曲线.设曲线L有参数方程 x= xlt y=y(),a≤t≤B z=z() 其中三个函数都是连续可微的,并且满足条件 x()2+y()2+()2≠0. 在这个条件下,曲线L在其上每个点都有非零的切向量 z=(x()yf()=() 规定z就是曲线在这点处切线的正方向,或者说确定为曲线的正向 这就意味着:参数t增加方向确定了曲线正方向。 这时,弧微分向量:d=y()t 2)对于曲面,设有向曲面S有参数方程 x=xs. y=y(.1).(.0)∈D I=:(s, 1) 其中三个函数都是连续可微的,并且满足条件 [det av,=) a(=,x) as, 1) 则曲面S在其上每点都有单位法向量 万=五+历+CK A+b+c 其中A=det ()B=,x) a(y,) h少、C=detx,y) a(s,1) 今规定n是S的正向法向量,或者说确定为曲面的正向; 这就意味着:参数1增加方向确定了曲岛正方向 这时,曲面的面微分向量 dS=dl1×dl2= x,2×x.=)ka 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 化。 (1) 对于曲线.设曲线 L 有参数方程: ( ) ( ) ( )      = = = z z t y y t x x t ,   t   其中三个函数都是连续可微的,并且满足条件 ( ) ( ) ( ) 0. 2 2 2 x  t +y  t +z  t  在这个条件下,曲线 L 在其上每个点都有非零的切向量.  = (x (t), y (t),z (t))  规定   就是曲线在这点处切线的正方向, 或者说确定为曲线的正向； 这就意味着：参数 t 增加方向确定了曲线正方向。 这时，弧微分向量 : ( ) ( ) ( ) dt z t y t x t dl              =  (2) 对于曲面, 设有向曲面 S 有参数方程 ( ) ( ) ( )      = = = z z s t y y s t x x s t , , , , Dst (s,t)  其中三个函数都是连续可微的,并且满足条件 [det ( , ) ( , ) ] [det ( , ) ( , ) ] [det ( , ) ( , ) ] .       y z s t z x s t x y s t 2 2 2 + +  0 则曲面 S 在其上每点都有单位法向量 2 2 2 A B C Ai Bj Ck n + + + + =     其中 A y z s t B z x s t C x y s t = det = = ( , ) ( , ) , det ( , ) ( , ) , det ( , ) ( , ) .       今规定 n  是 S 的正向法向量, 或者说确定为曲面的正向； 这就意味着：参数 t 增加方向确定了曲岛正方向。 这时，曲面的面微分向量: ( ) ( ) ds dt s x y z t x y z dS dl dl            =  = , , , , 1 2   

第五章向量分析 ds dt=Adsdt i+Bdsdt i+Cdsdtk atat at di+dx7+dx入bhk 其中A=dety-,B=det a(=,x) ax,y) au,v) u.1 a(x, y) dsdt dady=o a(s, dads det a(, l dsr 记号∧表作“外积” (3)对于空间区域,我们也由变换的参数方程 x= rlu,v,M y=ynm).(r)e三cR 定向:其体微分是一个有正负的标量: auauau duded a(x,y,2)duddy d(u, v, w) (三)微分形式及其外积 (I)微分形式 设有函数:f:ΩcR3→R 向量函数:F:ΩcR3→R3, 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 = ds dt s z s y s x t z t y t x i j k                = Adsdt i Bdsdt j Cdsdt k    + + = dy dzi dz dx j dx dy k     +  +  其中 A y z u v B z x u v C x y u v = det = = ( , ) ( , ) , det ( , ) ( , ) , det ( , ) ( , ) .       这里, 记: ( ) ( ) dsdt s t x y dx dy , , det    = , ( ) ( ) dsdt s t y z dy dz , , det    = , ( ) ( ) dsdt s t z x dz dx , , det    = 记号  表作“外积”. (3) 对于空间区域，我们也由变换的参数方程 ( ) ( ) ( )      = = = z z u v w y y u v w x x u v w , , , , , , , ( ) 3 u,v,w   R 定向：其体微分是一个有正负的标量： ( ) dudvdw w z w y w x v z v y v x u z u y u x d dl dl dl u v w                                   = , , = det     = dudvdw u v w x y z ( , , ) ( , , ) det   (三) 微分形式及其外积 (I) 微分形式 设有函数： f   R → R 3 : , 向量函数： 3 3 F :  R → R 

第五章向量分析 F=X(x,y,si+Y(x,,)j+Zx,y, =kk x=x() 在一维流形L 上有零次和一次微分形式 (1)一维流形L零次微分形式就是L上的可微函数f 称函数∫在L上可微,是指t的函数 f(x(),y(t),z(1) 在[a,上可微 (2)一维流形L上有三个基本的一次微分形式,dx,dy, 而L上的一次微分形式的一般形状是 =++Zl 给定曲线L参数方程后,x,d,d由 dx=x(o)dt, dy=y(dt, d==(rdt 确定。其中X,Y,Z都是L上的可微函数 ●二维流形S x=x() 上有零次,一次和二次微形式 (1)零次和一次微分形式与一维流形上类似,只是此时相应的函 数取在二维流形S上。可微也是指相应函数在S上作为(s,)的函 数,在相应区域可微 (2)二维流形S上有三个基本的二次微分形式 dx∧dhy=det a(x, y)dsc dy∧de=det dsdt a( d∧ax=det dsdt 错误!未定义书签。上二次微分形式的一般形状为 =Wb∧c+Y∧dx+ZAd 其中X,Y,Z都是S上的可微函数 空间区域, 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 F X (x y z)i Y(x y z)j Z(x y z)k     = , , + , , + , , ⚫ 在一维流形 L : ( ) ( ) ( )      = = = z z t y y t x x t ,   t   上有零次和一次微分形式: (1) 一维流形 L 零次微分形式就是 L 上的可微函数 f . 称函数 f 在 L 上可微, 是指 t 的函数 f (x(t), y(t),z(t)) 在 [,] 上可微. (2)一维流形 L 上有三个基本的一次微分形式,dx,dy,dz. 而 L 上的一次微分形式的一般形状是  = Xdx +Ydy + Zdz. 给定曲线 L 参数方程后, dx,dy,dz 由 dx = x t dt dy = y t dt dz = z t dt ' ' ' ( ) , ( ) , ( ) . 确定。其中 X,Y,Z 都是 L 上的可微函数. ⚫ 二维流形 S : ( ) ( ) ( )      = = = z z s t y y s t x x s t , , , , 上有零次,一次和二次微形式. (1) 零次和一次微分形式与一维流形上类似，只是此时相应的函 数取在二维流形 S 上。可微也是指相应函数在 S 上作为 (s,t) 的函 数,在相应区域可微. (2) 二维流形 S 上有三个基本的二次微分形式: ( ) ( ) dsdt s t x y dx dy , , det    = , ( ) ( ) dsdt s t y z dy dz , , det    = , ( ) ( ) dsdt s t z x dz dx , , det    = 错误！未定义书签。上二次微分形式的一般形状为  = Xdy dz +Ydz dx + Zdx dy. 其中 X,Y,Z 都是 S 上的可微函数. ⚫ 空间区域

第五章向量分析 =x( y=y{un,),(a,,w)∈三cR 二=二(u21,) 有零次、一次、二次和三次微分形式 其中零到二次微分形式与上述定义类似 基本的三次微分形式为d∧d入c.它的值等于 dx∧ch∧dz=det ax, y,=) dudan au, v, w) 微分形式的一般形状是 O=fa∧d∧d 其中∫是给定域上的可微函数 (II)外积 微分形式的外积“∧”是一种满足如下性质的代数运算:设 A,p,U是任意的三个微分形式 (i)结合律成立,即(A山)AU=A八(AD) (ii)分配律成立,即 aa(u+u)=Au+A,(a+uAu=AD+HAD (ii1)反称性:对基本的一次微分形式有: dx^ax=0,c∧d=0,Ac=0 dx∧的=-d∧dx,dAd=-dAd,d∧a=-d 由二次微分形式的定义,反称性是显然的 在二维流形上,一次微分形式的外积为 dx∧dy=det (x,y) dsdt=-det (y,x) (S,D) 2(S,D) (=,y) dy a d== det ,2)dea._aet as, sdtsdeady d(s, t d∧ax=det dsdt =-det (x,=) dsdt= dxadz (s,1) dx adx=det x, x)=o dy dy=0.dAd==0 as,1) 对于任意两个一次微分形式 可1=Xx+}中+Z,m2=X2x+}2小+22c.由分配律得到 a1AO2=(X++Z)(X2+2dhy+Z22) 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 ( ) ( ) ( )      = = = z z u v w y y u v w x x u v w , , , , , , , ( ) 3 u,v,w   R 有零次、一次、二次和三次微分形式. 其中零到二次微分形式与上述定义类似. 基本的三次微分形式为 dxdydz. 它的值等于 dx dy dz x y z u v w   = det dudvdw ( , , ) ( , , ) .   . 三次微分形式的一般形状是  = f dx  dy  dz . 其中 f 是给定域上的可微函数. (II) 外积 微分形式的外积“  ”是一种满足如下性质的代数运算：设 ,, 是任意的三个微分形式： (i)结合律成立，即 (  ) =  ( ) (ii)分配律成立，即  ( +) =    +   , ( + ) =   +   ; (iii)反称性：对基本的一次微分形式有: dx dx = 0 , dy  dy = 0 , dz  dz = 0, dx  dy = −dy  dx , dy  dz = −dz  dy , dz dx = −dx dz 。 由二次微分形式的定义,反称性是显然的: 在二维流形上,一次微分形式的外积为 dsdt dy dx s t y x dsdt s t x y dx  dy = = − = −  ( , ) ( , ) det ( , ) ( , ) det     dsdt dz dy s t z y dsdt s t y z dy  dz = = − =  ( , ) ( , ) det ( , ) ( , ) det     dsdt dx dz s t x z dsdt s t z x dz  dx = = − =  ( , ) ( , ) det ( , ) ( , ) det     dx dx x x s t  = det = dy  dy = dz  dz = ( , ) ( , ) , , .   0 0 0 对于任意两个一次微分形式 , . 1 =X1dx +Y1dy +Z1dz  2 =X 2dx +Y 2dy +Z2dz 由分配律得到 (X dx Y dy Z dz) (X dx Y dy Z dz) 1 2 = 1 + 1 + 1  2 + 2 + 2