清华大学：《微积分》课程教学资源_习题讨论2：曲线、曲面积分的计算

1.设D是以点A(1,1)B(-1,1.C(-1,-1)的三角形,则 3y2+1)sin( xy)+2kxdy( A)(++) B)2.(C)1.(D)0. 2.设球体x2+y2+z2≤2az(a>0中每点的质量密度与该点 到坐标原点的距离的平方成反比,则该球体的质量M与质心x坐标X为 (C).(中 M=2ka X=-a M=ka. X (C) M=2kma, x=Ia.(D) M=kma, x=Ia 设D={(x,y)∈R2]x2+y2≤t21>0},f(x,y在D上连续,在D内可微 ∫(0,0)=1,D的正向边界为C。若∫(x,y)在D上满足方程2+2=f(x,y 试对曲线C,的外法矢量n0(1),则极限 dl=(A)。 1-cost Jc, a 4.设有向折线L的7B2→Cv 的两段线段构成, 则 dx-sin- xdy )。(中) (A)x.(B)2丌.(C)-丌.(D)-2 5.设有空间区域s21:x2+y2+=2≤R2,=≥0 R2,x≥0,y≥0,=≥0,则()。(易) dv= 4 tv= 4 du (C)‖zdhv=4zchv xvid=4xvcdv 6.若(x,y)=∫(x.oh,(xy) s10.,≤ 0 D(x,y)为(x-x)+(v-y)2≤1.则(D (A)I(x,y)是x,y的一个二元函数,但不连续

1．设 D 是以点 A(1,1), B(−1,1),C(−1,−1) 的三角形，则  + + +  =  D x 3y 1 x y 2 dxdy 2 2 ( )sin( ) ( A ) （中） (A) 4 . (B) 2. (C) 1. (D) 0. 2．设球体 2 ( 0) 2 2 2 x + y + z  az a  中每点的质量密度与该点 到坐标原点的距离的平方成反比，则该球体的质量 M 与质心 x 坐标 X 为 （ C ）. （中） (A) M k a X a 3 1 = 2  , = . (B) M k a X a 3 1 =  , = . (C) M k a X a 2 1 = 2  , = . (D) M k a X a 2 1 =  , = . 3. 设 {( , ) , 0} 2 2 2 2 Dt = x y  R x + y  t t  , f (x, y) 在 Dt 上连续，在 Dt 内可微， f (0,0) = 1，Dt 的正向边界为 Ct 。若 f (x, y) 在 Dt 上满足方程 f (x, y), y f x f 2 1 2 2 2 2 =   +   试对曲线 Ct 的外法矢量 → n (t) 0 ，则极限 =   − →  dl n f t Ct t 0 0 1 1 cos lim （ A ）。 (A)  . (B) 2 . (C) − . (D) − 2 . （难） 4. 设有向折线 L 由 ( , ) 2 2   A → (− , ) → 2 2   B ( , ) 2 2   C − 的两段线段构成， 则 − =  ydx xdy L 2 2 cos sin （ A ）。 （中） (A)  . (B) 2 . (C) − . (D) − 2 . 5. 设有空间区域 0 2 2 2 2 1 : x + y + z  R ,z  ， 及2：x 2 + y 2 + z 2  R 2 , x  0, y  0,z  0，则 （ ）。（易） （A）     = 1 2 xdv 4 xdv (B)     = 1 2 ydv 4 ydv (C)     = 1 2 zdv 4 zdv (D)     = 2 4 1 xyzdv xyzdv 6. 若 ( )  = ( , ) , ( , ) D x y I x y f u v dudv ，         = 0 10 10 1 10, 10 ( , ) x or y x y f x y ， D(x, y) 为 ( ) ( ) 1 2 2 u − x + v − y  . 则（ D ）。（难） （A） I(x, y) 是 x, y 的一个二元函数，但不连续；

(B)I(x,y)是x,y的一个连续函数,但一阶偏导数不一定都存在 (C)I(x,y)是在平面上任一点一阶导数存在,但不是可微函数 (D)I(x,y)是平面上是可微函数。 设为:封闭体B(2+y):≤H的外侧表面,a=x7+y+R太 则{a:d=(B)。(中) (A)2mHR. (B)THR.(C)3xHR+. (D)47HR4 8.设s为x2+y2+z2=1的外侧,则 dy dxdz dyo 时xcos2x A)。(难) (A)4T tan1.(B)3r tan 1.(C)3r tanl (D)I tan 1 由轮换对称性,可将原式转化为:原式 dy dxdy cos2 coS dx cdy dxd (其中D:x2+y2≤1) cos 4r tan 1 9.向量场F=X(x,y)+Y(x,y)在域D内有连续的偏导数,C是D中任意简单闭 曲线,则下列论断中不正确的是(D).(易) (A)若F·d=0,则在D内必有≡ (B)若5Fd=0,则在D内必有可微函数(xy),使得 dp= X(x, y)dx +y(x, y)dy (C)若在D内处处有 则Fd=0 (D)若L是D中固定起点和终点的任意一条简单曲线, 之值与路径L无关 F·dl=0 10设92={x,y)∈F|x2+y2+(=-151x20,y20},则积分 h 的值为(D)。(中) y 8 2 8 (B)=丌.(C)=丌 11.记I (a>0),则(A).(中

（B） I(x, y) 是 x, y 的一个连续函数，但一阶偏导数不一定都存在； （C） I(x, y) 是在平面上任一点一阶导数存在，但不是可微函数； （D） I(x, y) 是平面上是可微函数。 7. 设 s 为：封闭体 (x y ) z H R H +   2 2 2 的外侧表面， x i y j R zk     3 3 2  = + + ， 则   s ds   =（ B ）。(中) (A) 4 2HR . (B) 4 HR . (C) 4 3HR . (D) 4 4HR . 8. 设 s 为 1 2 2 2 x + y + z = 的外侧，则 + − =  s z z dydx y dxdz x x dzdy 2 2 2 2 cos cos cos （ A ）。(难) (A) 4 tan1 . (B) 3 tan1 . (C) 3 tan1 . (D)  tan1. . 由轮换对称性，可将原式转化为：原式  = + S z dxdy z z dxdy 2 2 cos cos   − − − − − − − − − − = D D x y x y dxdy x y x y dxdy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos 1 1 cos 1   − − − − − + D D x y dxdy x y dxdy 2 2 2 2 2 2 cos 1 cos 1 . （其中 : 1 2 2 D x + y  ）   − − = 1 0 2 2 2 2 0 1 cos 1 2       d d 4 tan1 cos 4 1 0 2 1 2    = ===  − = u du 令 u . 9. 向量场 F X x y i Y x y j    = ( , ) + ( , ) 在域 D 内有连续的偏导数， C 是 D 中任意简单闭 曲线，则下列论断中不正确的是( D ). （易） (A) 若  = 0 C F dl   ，则在 D 内必有 y X x Y      ； (B) 若  = 0 C F dl   ，则在 D 内必有可微函数 (x, y) ，使得 d = X (x, y)dx + Y(x, y)dy (C) 若在 D 内处处有 y X x Y      ，则  = 0 C F dl   ； (D) 若 L 是 D 中固定起点和终点的任意一条简单曲线，   L F dl   之值与路径 L 无关， 则  = 0 C F dl   . . 10 设  1 1 0 0 3 2 2 2  = (x, y,z)  R x + y + (z − )  , x  , y  ，则积分   + + 2 2 2 8 x y z dv 的值为（ D ）。（中） (A).  3 8 − (B)  3 4 . (C)  3 2 . (D)  3 8 . 11. 记  − = a x I e dx 0 2 (a  0) , 则（ A ）.（中）

(A) o-e<1<V1-c 12若1=j(x+y)12=(x-y)d,D:0y≤√2-x2,则(A)(易) (A)l1=I2(B)I1>I2(OI1<I2(D)I1与I2之大小相等关系不定而与r有关 13.由柱面y=√x,y=2√x,x+=4与坐标平面z=0所围成立体图形之体积为 (C)。(易) (4)32 1442(+y=(B)(中) (A)4.(B)2.(C)1.(D)0. 设C为正向闭曲线:|+计=2 axdy-bydx x+y (A).8(a-b)(B)4(a+b).(C)8(a+b).(D)4(a-b) 16设区域Ω是由z=√x2+y2与z=√-x2-y2所围成的区域,则三重积分 (x+z)dh=(B)。(中) 16 17.设Ω是由曲线 绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体。则 0 (x2+y2+)h=(D)。(难) 256丌 256丌 256丌 256丌 18.在过点O(0,0)和A(x,0)的曲线族y= asin(a>0)中,求一条曲线L,使沿该曲 线从O到A的积分(+y)d+(2x+y)h的值最小 假设在过点O(0,0)和A(x,0)的曲线族y=asnx(a>0))中,有一条曲线L,使沿该 曲线从O到A的积分(+y2)dx+(2x+y)d的值达到最小,则该曲线为(C)

(A)    2 2 4 1 2 1 2 a a e I e − − −   − . (B)    2 4 1 2 2 a I e −   + (C)  2 2 4 1 1 a a e I e − − −   − . (D)    2 2 4 1 1 a a e I e − −  −    − 12. 若 1 I  = + D x y d 2 ( ) , 2 I  = − D x y d 2 ( ) , 2 2 D : 0  y  r − x , 则 ( A )。（易） (A) 1 2 I = I . (B) 1 2 I  I . (C) 1 2 I  I . (D) 1 I 与 2 I 之大小相等关系不定而与 r 有关. 13. 由柱面 y = x ， y = 2 x ， x + z = 4 与坐标平面 z = 0 所围成立体图形之体积为 （ C ）。(易) (A). 15 32 (B) 15 64 . (C) 15 128 . (D) 15 256 . 14. + =   + − − 2 1 2 1 ( ) 1 1 x x dx x y dy ( B ). （中） (A) 4 . (B) 2. (C) 1. (D) 0. 15. 设 C 为正向闭曲线： = + − + = C x y axdy bydx x y 2, ( C )。 （中） (A). 8(a − b) (B) 4(a + b) . (C) 8(a + b) . (D) 4(a − b) . 16. 设 区 域  是 由 2 2 = x + y = − y 2 2 z 与z 1- x 所 围 成 的 区 域 ， 则 三 重 积 分   (x + z)dv = （ B ）。(中) (A) 4  . (B) 8  . (C) 2  . (D) 16  . 17．设    = =  0 2 x z 2 y 是由曲线 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 z = 4 所围成的立体。则 (x y z)dv   + + 2 2 =（ D ）。（难）  3 256 (A) 4 256 . (B) 8 256 . (C) 2 256 . (D) 3 256 . 18．在过点 O（0，0）和 A( ,0) 的曲线族 y = asinx(a  0 ）中，求一条曲线 L，使沿该曲 线从 O 到 A 的积分 y dx x y dy L ( + ) + ( + )  1 2 3 的值最小。 假设在过点 O（0，0）和 A( ,0) 的曲线族 y = asin x (a  0) ）中，有一条曲线 L，使沿该 曲线从 O 到 A 的积分 y dx x y dy L ( + ) + ( + )  1 2 3 的值达到最小，则该曲线为（ C ）

(A)cOSx. (B)-sin x. (C)sin x cosx 19.xd+y2ddr+ad=z,s为9的外侧,其中 20J手x2d在+y+2bh=52,s为x2+y2+2=R2的外侧 2.设f(x)为已知连续函数,将= ∫(=)d化为先对x,y 而后对的积分为=[g()·f()d,则a=_,b ,g(二)= 答案:a=1,b=√2,g()=x(2-x2) 设C为x2+y2+1正向,为C单位外法矢,且+=1,则F9a=(A) (A)丌.(B)2n.(C) D)-2 设C为正向闭曲线:同+=a1= x d l 答案:1=4a,12=√2a 23.已知f(x)在(-∞+∞)上可微,且∫(±1)=1平面向量场 F xy-1+-x)沿任意一条不过F奇点的正向闭路的环量为零。 y++f(x) y++f(x) (1)求f(x);(2)证明F沿任意一条包含奇点的正向闭路的环量为零。 24.若12=(x+y)da,l2=」x-yd,D:05y≤√2-x2,则() (A)l1=12;(B)1>12;(1<12;()1与12之大小相等关系不定而与r有关 25.设有曲线C:x2+y2+2=3 其正向为:向轴负向看去取逆时针方向。则 5(=+ (答案

(A) cos x . (B) sin x 2 1 . (C) sin x . (D) cos x 2 1 . 19．  + + = s x dydz y dzdx z dxdy 2 2 2  2 7 ， s 为  的外侧，其中 2 2  :  0  z  4 − x − y ， 1 2 2 x + y  。 20．  + + = s x dydz y dzdx z dxdy 3 3 3 5 5 12 R ， s 为 2 2 2 2 x + y + z = R 的外侧。 21．设 f (x) 为已知连续函数，将    − − − − − − = 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 x x x y I dx dy f (z)dz 化为先对 x, y 而后对 z 的积分为  =  b a I g(z) f (z)dz ，则 a = ，b = ，g(z) = 。 答案： , , ( ) ( ) 2 a = 1 b = 2 g z =  2 − z 22．设 C 为 1 2 2 x + y + 正向， → n 为 C 单位外法矢，且 1 2 2 2 2 =   +   y f x f ，则 =    dl n f c （ A ） (A)  . (B) 2 . (C) − . (D) − 2 . 设 C 为 正 向 闭 曲 线 ： = + − + = = C x y xdy ydx x x y a I 1 , ， = + + =  dl x y x y x I C 2 。 答案： I 4a, I 2a. 1 = 2 = 23．已知 f ( x) 在 (−,+) 上可微，且 f (1) = 1 平面向量场 j y f x x y i y f x xy F ( ) ( ) 4 2 4 2 + + + − = → 沿任意一条不过 → F 奇点的正向闭路的环量为零。 （1）求 f ( x) ； （2）证明 → F 沿任意一条包含奇点的正向闭路的环量为零。 24．若 1 I  = + D x y d 2 ( ) , 2 I  = − D x y d 2 ( ) , 2 2 D : 0  y  r − x , 则 ( ) (A) 1 2 I = I ; (B) 1 2 I  I ; (C) 1 2 I  I ; (D) 1 I 与 2 I 之大小相等关系不定而与 r 有关. 25．设有曲线    = + + = 1 3 2 2 2 z x y z C : ，其正向为：向轴负向看去取逆时针方向。则 = + =  I z dl C c ( 2) 。（答案： 6 2 ）