清华大学：《微积分》课程教学资源_习题讨论：曲线、曲面积分的计算

第五章向量分析 第五章向量分析 习题讨论:曲线、曲面积分的计算 习题讨论题 1.计算积分:x2d,C 2,计算积分:(1-2052)+(sm2+22), 沿任一条不与轴相交的曲线。 3,计算Ⅰ= Xdy-YdX 2TJx+y 其中f Y=cx+dy ad-bc≠0,C为包围原点的闭曲线。 4,计算=14,J=Ad 其中S:x2+y2+z2=a2,外法线为曲面正向。 5,设函数满足条件 d+)oG=n(xy,=),n为正整数, af af 曲面S1:∫(x,y,x)=0,与平面S2ax+by+c=d,所围 区域为g,g取外法线作正向,计算: I== A d+yd=a dx+sdx dy 6,计算ax+zh+xd,C lx+y+==0 从正z轴方向看,C的正向为反时钟方向。 7,设l=u(x,y,=)是闭域g上的调和函数,即满足方程 △u=Vv≈2ua2na2u ax ay az (1)若Ω:x2+y2+x2≤R2,求 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 第五章 向量分析 习题讨论: 曲线、曲面积分的计算 习题讨论题 1. 计算积分：  C x dl 2 ,    + + = + + = 0 1 : 2 2 2 x y z x y z C . 2, 计算积分： ( ) ( )        + +         −   2, 1, 2 2 1 cos sin cos ydx x y x y x y dx x y x y , 沿任一条不与轴相交的曲线。 3, 计算  + − = C X Y XdY YdX I 2 2 2 1  ,其中    = + = + Y cx dy X ax by , ad −bc  0, C 为包围原点的闭曲线。 4, 计算 I zdS S  = , J zdx dy S =   , 其中 2 2 2 2 S : x + y + z = a , 外法线为曲面正向。. 5, 设函数满足条件： nf (x y z) z f z y f y x f x = , ,   +   +   , n 为正整数, 曲面 1 S : f (x, y, x) = 0, 与平面 S2 :ax + by + cz = d , 所围 区域为  ,   取外法线作正向,计算：    I = xdy  dz + ydz  dx + zdx  dy 3 1 . 6, 计算  + + C ydx zdy xdz ,    + + = + + = 0 : 2 2 2 2 x y z x y z a C . 从正 z 轴方向看, C 的正向为反时钟方向。 7, 设 u = u(x, y,z) 是闭域  上的调和函数，即满足方程： 0 2 2 2 2 2 2 2 =   +   +    =  = z u y u x u u u 。 (1) 若 2 2 2 2 : x + y + z  R , 求

第五章向量分析 cos ,亓) 其中,F是矢径,即F=x+y+k,r=, 万是dS的法线方向。 (2)若g是任一不包含原点作为内点的闭域,求 cos(, n) (3)若Ω是任一包含原点作为内点的闭域,求 COS ) I=HIu r on (4)若9是任一包含P(a,b,c)∈9点作为内点的闭域,求 I=hlu 其中,F是以P为起点的矢径,即 =(x-a)(-b+(2-ck,r=, 万是dS的法线方向。 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 ( )            = +  dS n u r r r n I u cos , 1 2   , 其中， r  是矢径，即 r xi yj zk     = + + , r r  = , n  是 dS 的法线方向。 (2) 若  是任一不包含原点作为内点的闭域, 求 ( )            = +  dS n u r r r n I u cos , 1 2   . (3) 若  是任一包含原点作为内点的闭域, 求 ( )            = +  dS n u r r r n I u cos , 1 2   (4) 若  是任一包含 ( ) 0 0 P a,b,c  点作为内点的闭域, 求: ( )            = +  dS n u r r r n I u cos , 1 2   , 其中， r  是以 P0 为起点的矢径，即 r (x a)i (y b)j (z c)k     = − + − + − , r r  = , n  是 dS 的法线方向

第五章向量分析 参考解答 1.计算积分:于x2d,C x+y+二=0 解1:作坐标变换,将z轴变成平面x+y+z=0的单位法向 量,再在平面上取两个正交的向量: 和1 0 再单位化,以构成新坐标系: uyw 过渡矩阵T由新坐标系三个点在旧坐标系中的坐标形 成如下: 0)(1√3)(n(/2)(0)(6 01/3 /2 0 J/2161/3Yx 67对-2 /61/3 /2/61√3 /21√61 2/√61/3 因为是正交阵,T=T 因此, x)(2-/√20 y=v/61/6-2/√6|v (/33W3人 即 =0 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 参考解答 1. 计算积分：  C x dl 2 ,    + + = + + = 0 1 : 2 2 2 x y z x y z C . 解 1: 作坐标变换，将 z 轴变成平面 x + y + z = 0 的单位法向 量, 再在平面上取两个正交的向量:           − 0 1 1 和           − 2 1 1 , 再单位化，以构成新坐标系: ( )           w v u e e e 1 2 3    , 过渡矩阵 T 由 新坐标系三个点在旧坐标系中的坐标形 成如下：                        1 3 1 3 1 3 1 0 0 ,              −           0 1 2 1 2 0 0 1 ,             −            2 6 1 6 1 6 0 1 0 ( ) ( )                       − = −           z y x i j k w v u e e e 0 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2 3                             − = −           z y x w v u 0 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 3           = z y x T 因为是正交阵， T T = T −1 , 因此，                       − − =           w v u z y x 1 3 1 3 1 3 1 6 1 6 2 6 1 2 1 2 0    = + + = 0 1 : 2 2 2 w u v w C , 即    = + = 0 1 2 2 w u v

第五章向量分析 /216 /21/6 l/21/√6 l/216 2/√6 xpdl I+Cos tdt 解二:由对称性可知: fxdl=fadl=f fxd=÷(x2+y2+:)=5um 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析                     − = −           v u z y x 0 2 6 1 2 1 6 1 2 1 6 =                     − − Sin t Cost 0 2 6 1 2 1 6 1 2 1 6      = + +         = + C C C C C dl dl u dl uvdl u v x dl 3 1 3 1 6 1 2 6 2 2 2 =    3 2 3 1 3 1 2 0 2 + =  Cos tdt 解二：由对称性可知：    = = C C C x dl y dl z dl 2 2 2 ( ) 3 2 1 3 2 1 2 2 2  = + + = =    C C C x dl x y z dl dl

第五章向量分析 2,计算积分:(1- y - ldr+smny+ cos y)zh, (1,x) 沿任一条不与轴相交的曲线 解:由于 cos=+=sin y sin+=cos=dy =dx+ycos-y2 dx+dy +sin 2dy =dx+cos sin dy -dx+yd sin=+sin=dy=d x+ysin cos=dx+sin+2cos=ydx (2,r) d x+sin xt sin 丌+1 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 2, 计算积分： ( ) ( )        + +         −   2, 1, 2 2 1 cos sin cos ydx x y x y x y dx x y x y , 沿任一条不与轴相交的曲线。 解：由于 x Y x y x y x y x y y X   = − + =   cos sin 2 3 2 2 , dy x y x y x y dx x y x y       + +         1− cos sin cos 2 2 = = dy x y dy x dx x y x y dx y sin 1 cos 2  +      + − + = dy x y x y d x y dx y cos  + sin      + =        + = +      + x y dy d x y x y x y dx yd sin sin sin , ( ) ( )        + +         −   2, 1, 2 2 1 cos sin cos ydx x y x y x y dx x y x y = ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin 1 2, 1, 2, 1,  = +       = +      +       x y x y x y d x y