Boltzmann方程的理解： 左边两项称漂移项(drift term), 右边的项称为碰撞项(collision term)或散射项(scattering) 按照半经典模型： 点-u国-清，E网 =F=-e[EG,0+迈，(×BC,0] dt Bolt忆mann方程就是从能带结构出发，利用这些关系，将 碰撞的作用与分布函数相联系，成为处理固体中输运现 象的出发点
Boltzmann方程的理解： 左边两项称漂移项（drift term)， 右边的项称为碰撞项（collision term）或散射项（scattering) 按照半经典模型： d 1 ( ) ( ) d d ( , ) ( ) ( , ) d n k n n r k E k t k F e E r t k B r t t u u = = Ñ = = - é ù + ´ ë û v v v v h v v v v v v v v h Boltzmann方程就是从能带结构出发，利用这些关系，将 碰撞的作用与分布函数相联系，成为处理固体中输运现 象的出发点
玻尔兹曼方程中的漂移项和碰撞项示意图：图中的点子代表 一种自旋的电子，显示了因为漂移和碰撞两种因素恰好平衡 的情形。 (r,k,t-dt) 漂移 (r-idt,k-kdt,t-dt) 见方俊鑫书p287
玻尔兹曼方程中的漂移项和碰撞项示意图：图中的点子代表 一种自旋的电子，显示了因为漂移和碰撞两种因素恰好平衡 的情形。 见方俊鑫 书p287
下面我们讨论一维定态的导电问题时（比如一根均匀 导线内的情形)，分布函数和位置r无关，第一项为零， 又因为： dk es 是电场强度 dt h 玻尔兹曼方程可以简化为： &7.f(k)=b-a 简化后，玻尔兹曼方程仍是一个微分积分方程，碰 撞项（b-)的积分中还包含有未知的分布函数，在一 般情况下，该方程得不到简单的解析形式解，要采用近似 方法才行。（关键是碰撞项的积分求解困难很大）
下面我们讨论一维定态的导电问题时（比如一根均匀 导线内的情形），分布函数和位置 r 无关，第一项为零， 又因为： d d k e t e = - h 玻尔兹曼方程可以简化为： ( ) k e - eÑ f k = -b a h 简化后，玻尔兹曼方程仍是一个微分-积分方程，碰 撞项（ b – a ）的积分中还包含有未知的分布函数，在一 般情况下，该方程得不到简单的解析形式解，要采用近似 方法才行。（关键是碰撞项的积分求解困难很大) e 是电场强度
7.2弛豫时间近似和电导率公式： (参考黄昆书6.4节p296) 一个广泛应用的近似方法是弛豫时间近似，碰撞项可以 表示为： af(r,k.t) =b-a=--6 τ(k) 其中：f6为处于平衡态时的Fermi一Dirac2分布函数， τ(k)是引入的参量，定义为弛豫时间，是k的函数。 这个假设的根据是考虑到碰撞促使系统趋于平衡态的 特点。若系统原来不平衡，即t=0时，f=f+△f(t=0), 在=0时撤去外场，若只有碰撞作用时，对平衡的偏离 △(t=O)应很快消失。关于弛豫时间近似的假设认为，碰 撞促使对平衡分布的偏差是以指数的形式消失，因为，只 有碰撞时： 对-f-0 8t
7.2 弛豫时间近似和电导率公式： 0 coll ( , , ) ( ) f r k t f f b a t k t æ ö ¶ - ç ÷ = - = - è ø ¶ v 一个广泛应用的近似方法是弛豫时间近似，碰撞项可以 表示为： 其中： f0 为处于平衡态时的Fermi－Dirac分布函数， t (k) 是引入的参量，定义为弛豫时间，是 k 的函数。 这个假设的根据是考虑到碰撞促使系统趋于平衡态的 特点。若系统原来不平衡，即 t = 0时, f = f0+Df (t = 0)， 在 t = 0 时撤去外场，若只有碰撞作用时， 对平衡的偏离 Df (t = 0)应很快消失。关于弛豫时间近似的假设认为，碰 撞促使对平衡分布的偏差是以指数的形式消失，因为，只 有碰撞时： 0 f f f t t ¶ - = - ¶ （参考黄昆书6.4节p296）
对t积分得到的解是： 0=-=u=0jep 所以，弛豫时间τ大致就是系统恢复平衡所用的时间。 于是，Boltzmann方程可简化为 /=- T 这个方程的解就是在电场ε存在时定态的分布函数∫。 可以认为非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离很小， ∫=+f 这里是一个小量，采用一级近似 上试简化为：务e=- T
对 t 积分得到的解是： ( ) ( ) ( ) 0 0 exp t t f t f f f t t æ ö D = - = D = -ç ÷ è ø 所以，弛豫时间 t 大致就是系统恢复平衡所用的时间。 于是，Boltzmann方程可简化为 0 ( ) e f f e f k t - - ×Ñ = - h k 这个方程的解就是在电场 e 存在时定态的分布函数 f 。 可以认为非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离很小， 0 1 f = + f f 上式简化为： 这里 f 1 是一个小量，采用一级近似 1 0 ( ) e f e f k t - ×Ñ = - h k