第二章习题解答 p52 2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 平(f,t)=w(F)f(t) Ge海 2m() 了、 品 -vv间-vGw 可见与无关。 2.2由下列定态波函数计算几率流密度： w,=1e (2w2=1e 从所得结果说明以表示向外传播的球面波，以，表示向内（即向原点）传播的球面波。 解：j和j,只有r分量 在球中v=6景+品治+D品 .1a 10 01-wi-iw e女e所 2mr or r 2m7 rr k j,与同向。表示向外传播的球面波。 1
1 第二章习题解答 p.52 2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 [ (r) (r) (r) (r)] 2m i [ (r)e (r)e (r)e (r)e ] 2m i ( ) 2m i J (r)e (r t) (r)f(t) * * E t i E t i * * E t i E t i * * E t i = − = − = − = = − − − − − （ ） （ ） ， 可见 J与t 无关。 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： ikr ikr e r e r − = = 1 (2) 1 (1)1 2 从所得结果说明 1 表示向外传播的球面波， 2 表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解： J1和J 2只有r分量 在球坐标中 + + = rsin 1 e r 1 e r r0 r mr k r mr k r r ik r r r ik m r r i e r r r e r e r r e m r i m i J ikr ikr ikr ikr 2 0 3 2 2 0 0 1 * 1 * 1 1 1 )] 1 1 ( 1 ) 1 1 ( 1 [ 2 )] 1 ( 1 ) 1 ( 1 [ 2 ( ) 2 (1) = = = − − − − + − = = − − − J r 1 与 同向。表示向外传播的球面波
②)，=边w,w-,Vw) 2m ih 1 (e)-e1 (仁er)】6 Or r r or r 访1,1 1.11 2m京+k- (- ,rr-k派 =一 可见，了，与反向。表示向内（即向原点）传播的球面波 补充：设yW(x)=临，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ “y*wdk=k=∞ ∴，波函数不能按x)k=1方式归一化。 其相对位置几率分布函数为 O==1表示粒子在空间各处出现的几率相同。 2.3一粒子在一维势场 o,x<0 U(x)=0,0≤x≤a oo,x>a 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S一方程 2d2 2m在)+U(rwx)=E 在各区域的具体形式为 I:x<0 -方2d2 2m%,)+U6w,)=E4,闲 ① I:0≤x≤a 2d Γ2m%)=E4,() ② I:x>a G+Uw因)=E4③ 由于()(3)方程中，由于U(x)=0,要等式成立，必须 4(x)=0 (x)=0 2
2 r mr k r mr k )]r r 1 ik r 1 ( r 1 ) r 1 ik r 1 ( r 1 [ 2m i e )]r r 1 ( r e r 1 e ) r 1 ( r e r 1 [ 2m i ( ) 2m i (2) J 2 0 3 2 2 0 0 ikr ikr ikr ikr * 2 * 2 2 2 = − = − = − + − − − − = = − − − 可见， J r 2与 反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 补充：设 ikx (x) = e ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ = = *dx dx ∴波函数不能按 ( ) 1 2 = x dx 方式归一化。 其相对位置几率分布函数为 1 2 = = 表示粒子在空间各处出现的几率相同。 2.3 一粒子在一维势场 = x a x a x U x ， ， ， 0 0 0 ( ) 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解： U(x)与t 无关，是定态问题。其定态 S—方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d m − + = 在各区域的具体形式为 Ⅰ： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 1 1 1 2 2 x U x x E x dx d m x − + = ① Ⅱ： ( ) ( ) 2 0 2 2 2 2 2 x E x dx d m x a − = ② Ⅲ： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 2 x U x x E x dx d m x a − + = ③ 由于(1)、(3)方程中，由于 U(x) = ，要等式成立，必须 1 (x) = 0 2 (x) = 0
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程2可变为d,(四，2mE 方2%(x)=0 争，海 dy2(因+k2w,(x)=0 其解为2(x)=Asin kx+Bcosk④ 根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件，得 2(0)=41(0) (a=(a⑥ ⑤→B=0 :A≠0 ©→Asin ka=0 .'sin ka=0 三ka=nπ(n=1,2,3,) 由归一化条件 w(x)dx=1 得4sn2mx=1 由snm x*sin a a xds-16. 4-月 a 2=2mE (n=1,2,3,)可见E是量子化的 对应于E,的归一化的定态波函数为 ,0≤x≤a a 0 x<a,x>a 3
3 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为 ( ) 0 ( ) 2 2 2 2 2 2 + x = mE dx d x 令 2 2 2 mE k = ，得 ( ) 0 ( ) 2 2 2 2 2 + k x = dx d x 其解为 (x) Asin kx Bcoskx 2 = + ④ 根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得 (0) (0) 2 =1 ⑤ ( ) ( ) 2 a = 3 a ⑥ ⑤ B = 0 ⑥ Asin ka = 0 ( 1, 2, 3, ) sin 0 0 = = = k a n n k a A ∴ x a n x A 2 ( ) = sin 由归一化条件 ( ) 1 2 = x dx 得 sin 1 0 2 2 = a xdx a n A 由 mn a b a xdx a n x a m = 2 sin sin x a n a x a A sin 2 ( ) 2 2 = = 2 2 2 mE k = ( 1,2,3, ) 2 2 2 2 2 = n n = ma En 可见 E 是量子化的。 对应于 En 的归一化的定态波函数为 = − x a x a x e x a a n x t a E t i n n 0, , sin , 0 2 ( , ) #
24医用Q6式中的自化常数是：后 A'sn"匹(x+a,H<a (2.6-14) 0. xza 由归一化，得 1=w.fk=Asn2mx+a达 -cos a a A"a “归一化常数A=人 # a 2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 保w-品气2aen .(x)=lM(x)-4a.a-.xe 2元 23 √元 x2er =2r[2x-2x2x3e-a3 dx 今d加，田=0，得 dx x=0 x=± x=too 由0，(x)的表达式可知，x=0,x=士0时，0，(x)=0。显然不是最大几率的位置。 mi d'o(x)=2a[(2-6a2x2)-2a'x(2x-2a'x)le dx2 -sa'x-2a')e =4a 4
4 2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 a A 1 = 证： + = x a x a x a a n A n 0, sin ( ), （2.6-14） 由归一化，得 A a x a a n n A a A a x a dx a A n x A x a dx a n A x a dx a n dx A a a a a a a a a a a n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin ( ) 2 cos ( ) 2 2 [1 cos ( )] 2 1 1 sin ( ) = + = − + − = = − + = = + − − − − − ∴归一化常数 a A 1 = # 2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解： 2 2 2 1 2 2 ( ) x x xe − = 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 4 x x x e x x x e − − = = = 2 2 [2 2 ] ( ) 2 2 3 3 1 x x x e dx d x − = − 令 0 ( ) 1 = dx d x ，得 x = x = x = 1 0 由 ( ) 1 x 的表达式可知， x = 0，x = 时， 1 (x) = 0 。显然不是最大几率的位置。 2 2 2 2 [(1 5 2 )] 4 [(2 6 ) 2 (2 2 )] ( ) 2 2 2 4 4 3 2 2 2 2 3 3 2 1 2 x x x x e x x x x e dx d x − − = − − 而 = − − −
diw (x) =-24c1<0 Vπe 可见x=士=士 九是所求几率最大的位置。# V 2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(-x)=U(x),证明粒子的定态波函 数具有确定的字称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为 h2 d2 2)+Urw)=E() 将式中的x以-x)代换，得 方2d2 -2u←)+U-xw-)=E-9 ② 利用U(-x)=U(x),得 _h2 d2 2←)+U6xw-x)=E- ③ 比较①、③式可知，(-x)和x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函 数。由于它们描写的是同一个状态，因此(-x)和y(x)之间只能相差一个常数c。方程 ①、③可相互进行空间反演(x-x)而得其对方，由①经x→一x反演，可得③， →-x)=cw(x) ④ 由③再经一x→x反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 →(x)=cw(-x) 5 ④乘⑤，得 w(x)w(-x)=c2/(x)w(-x) 可见，c2=1 c=±1 当c=+1时，w(-x)=w(x),三w(x)具有偶字称， 当c=-1时，(-x)=-x),→(x)具有奇字称 当势场满足U(-x)=U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的字称。 2.7一粒子在一维势阱中 0=>0a 0. x≤a 运动，求束缚态(0<E<U。)的能级所满足的方程。 解：粒子所满足的S-方程为
5 0 4 1 2 ( ) 3 2 1 2 1 2 = − = dx e d x x 可见 = = 1 x 是所求几率最大的位置。 # 2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称： U(−x) = U(x) ，证明粒子的定态波函 数具有确定的宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d − + = ① 将式中的 x以(−x) 代换，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d − − + − − = − ② 利用 U(−x) = U(x) ，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d − − + − = − ③ 比较①、③式可知， (−x)和(x) 都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函 数。由于它们描写的是同一个状态，因此 (−x)和(x) 之间只能相差一个常数 c 。方程 ①、③可相互进行空间反演 (x −x) 而得其对方，由①经 x →−x 反演，可得③， (−x) = c(x) ④ 由③再经 − x → x 反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 (x) = c(−x) ⑤ ④乘 ⑤，得 (x) ( x) c (x) ( x) 2 − = − 可见， 1 2 c = c = 1 当 c = +1 时， (−x) = (x)，(x) 具有偶宇称， 当 c = −1 时， (−x) = −(x)，(x) 具有奇宇称， 当势场满足 U(−x) = U(x) 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 # 2.7 一粒子在一维势阱中 = x a U x a U x 0, 0, ( ) 0 运动，求束缚态( 0 E U0 )的能级所满足的方程。 解：粒子所满足的 S-方程为