《量子力学》课程教学资源（习题解答）第七章 自旋与角动量、全同粒子体系

第七章自旋与全同粒子 7.1证明：666：=i 证：由对易关系66，-6,6.=2i6: 及 反对易关系G6,+6,6=0， 得 6.6,=i6 上式两边乘6，得 66,6=i6 62=1 ∴66,6=i 7.2求在自旋态(S)中，5和5，的测不准关系： (4S)2(4S,)2=? 解：在5，表象中x(S)、S、S,的矩阵表示分别为 48)-0-北周80。 在x8)态中可-x对9,4-00000-0 及-=0008调-号 -8-5-4 1

1 7.2 求在自旋态 ( ) 2 1  Sz 中， Sx ˆ 和 Sy ˆ 的测不准关系： ( ) ( ) ? 2 2 Sx Sy = 解：在 Sz ˆ 表象中 ( ) 2 1  Sz 、 Sx ˆ 、 Sy ˆ 的矩阵表示分别为         = 0 1 ( ) 2 1  Sz         = 1 0 0 1 2 ˆ  Sx         − = 0 0 2 ˆ i i S y  0 4 1 1 0 0 1 1 0 2 0 1 2 (1 0) ˆ 2 2 2 2 1 2 1    =                        = = + Sx  Sx  4 ( ) 2 2 2 2  Sx = Sx − Sx = ∴ 在 ( ) 2 1  Sz 态中 0 0 1 1 0 0 1 2 (1 0) 2 1 2 1 =                = = +  Sx  Sx 7.1.证明： i x y z  ˆ  ˆ  ˆ = 证：由对易关系 x y y x z  ˆ  ˆ − ˆ  ˆ = 2i ˆ 及 反对易关系 ˆ x ˆ y +  ˆ y ˆ x = 0 ， 得 x y z  ˆ  ˆ = i ˆ 上式两边乘  z ˆ ，得 2 ˆ ˆ ˆ ˆ x y z z    = i ∵ ˆ 1 2  z = ∴ i  ˆ x ˆ y ˆ z = 第七章 自旋与全同粒子

=x84=100=0 =对x4=0o0）00-号 四-可 ssF-名 讨论：由5、5，的对易关系 [心，S1=8 器 要求a,产a,之 4 在x心)态中，耳=号 :西四落 可见①式符合上式的要求。 73求-60，-的本征值和 所属的本征函数。 解：S的久期方程为 2=0 -身=0→及=号 2 :及的本征值为±号

2 0 0 1 0 0 2 (1 0) ˆ 2 1 2 1 =                − = = + i i Sy Sy    0 4 1 0 0 0 2 0 2 (1 0) ˆ 2 2 2 2 1 2 1    =                −         − = = + i i i i Sy  Sy 4 ( ) 2 2 2 2  Sy = Sy − Sy = 16 ( ) ( ) 4 2 2  Sx Sy = 16 ( ) ( ) 4 2 2  Sx Sy = 讨论：由 Sx ˆ 、 Sy ˆ 的对易关系 [ Sx ˆ ， Sy ˆ ] Sz i ˆ =  要求 4 ( ) ( ) 2 2 2 2 z x y S S S     在 ( ) 2 1  Sz 态中， 2  Sz = ∴ 16 ( ) ( ) 4 2 2  Sx Sy  可见①式符合上式的要求。 7.3.求         − − =         = 0 0 2 ˆ 1 0 0 1 2 ˆ i i Sx S y   及 的本征值和 所属的本征函数。 解： Sx ˆ 的久期方程为 0 2 2 = − −     2 ) 0 2 ( 2  2   − =   =  ∴ Sx ˆ 的本征值为 2  

7.4求自旋角动量(cosa,cosB,cos）方向的投影 即 =成o+5c0+项cogA方 2a,=1 a1= 寿惩绰梨鞭履的笨酱数为、2= 11 在这些本猛态中，测量5，有哪些可能值？以丛可 能值各以多大的几率出现？S,的平均值是多少？ →（份）（公）6=4 即2a2=1∴. :。方 对应于本征值-的本征函数为：= 11 同理可求得5，的本征值为土号。其相应的本征西数分别为 4周

3 即 2 1 2 a1 = ∴ 2 1 2 1 a1 = b1 = 对应于本征值 2  的本征函数为         = 1 1 2 1 1/ 2 2 2 2 2 2 2 b a b a a b  = −         − − =         同理可求得 Sy ˆ 的本征值为 2   。其相应的本征函数分别为         = i 1 2 1 2  1         − = − i 1 2 1 2  1 即 2 1 2 a2 = ∴ 2 1 2 1 a2 = b2 = − 对应于本征值 2  − 的本征函数为         − − = 1 1 2 1  1/ 2 7.4 求自旋角动量 (cos,cos ,cos ) 方向的投影   cos ˆ cos ˆ cos ˆ ˆ n x y z S = S + S + S 本征值和所属的本征函数。 在这些本征态中，测量 Sz ˆ 有哪些可能值？这些可 能值各以多大的几率出现？ Sz ˆ 的平均值是多少？

7.4求自旋角动量(cosa,cosB,cos)方向的投影 S.=S.coa+S,co8+S.cox 本征值和所属的本征函数。 在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可 能值各以多大的几率出现？S,的平均值是多少？ 解：在3。表象，3m的矩阵元为 -0a+Cm+0s .gs -cosy 其相应的久期方程为 2os7-2osa-ios =0 3(eosa+icos月）-cos7-2 22、h2 cos2yh (cos2 a+cos0 即 R-F-0(利用c0s2a+cos2B+cos27=) 4

4 解：在 Sz ˆ 表象， Sn ˆ 的矩阵元为   cos 0 1 1 0 2 cos 0 0 2 cos 1 0 0 1 2 ˆ         − +         − +         =    i i Sn 7.4 求自旋角动量 (cos,cos ,cos ) 方向的投影   cos ˆ cos ˆ cos ˆ ˆ Sn = Sx + Sy + Sz 本征值和所属的本征函数。 在这些本征态中，测量 Sz ˆ 有哪些可能值？这些可 能值各以多大的几率出现？ Sz ˆ 的平均值是多少？         + − − =       cos cos cos cos cos cos 2 i i Sn  其相应的久期方程为 0 cos 2 (cos cos ) 2 (cos cos ) 2 cos 2 = + − − − −             i i 即 (cos cos ) 0 4 cos 4 2 2 2 2 2 2  −  −  +  =   0 4 2 2 − =   ( cos cos cos 1) 2 2 2 利用  +  +  =

。=号 所拟或的本证值为±号 设对应于8.一受的本证函数的矩库表示为x46,)-日】 则 h cosy 2 cosa+icos B r8-8 -cosy a(cosa+icos B)-bcosy=b b=cosa+icosB 1+cos7 由归一化条件，得 1=x4-a68=+f ldcosatreosa1 1+cosy 取a=2 +c0里，得b=0+ic0 √2(1+c0) 1+cosy 名S)= cosa+icosB 2(1+cosy)

5  2   =  所以 Sn ˆ 的本征值为 2   。 设对应于 2  Sn = 的本征函数的矩阵表示为         = b a Sn ( ) 2  1 ， 则         =                + − − b a b a i i cos cos cos 2 cos cos cos 2          a(cos + i cos ) −bcos = b    1 cos cos cos + + = i b 由归一化条件，得 2 2 * * 1 ( , ) 2 1 2 1 a b b a a b = +         = = +   1 1 cos cos cos 2 2 2 = + + + a i a    1 1 cos 2 2 = + a  取 2 1+ cos a = ，得 2(1 cos ) cos cos    + + = i b             + + + = 2(1 cos ) cos cos 1 1 cos ( ) 2 1      i Sn