方2d2 2在)+Uxw)=E 按势能U(x)的形式分区域的具体形式为 2d,()+Uo%,(x)=Ew,N) -0<x<a① H: 2d2 2,6x)=E4,) -a≤x≤a ② -2d,N)+Uo,)=E4,(x) a<x<oo 整理后，得 1:-24。-Eg=0 方2 ④ :g+2=0 ⑤ m:g-20。-A%=0 方2 令=2U-E) 候=2E 方2 方2 则 I:-k2g=0 ⊙ Ⅱ：.-ky2=0 ⑧ Π：w写-kw,=0 ⑨ 各方程的解为 W Aeka +Bekax W2 Csin k2x+Dcosk2x W3 Ee*ki +Fe-kox 由波函数的有限性，有 以，(-0)有限 →A=0 ,(∞)有限 →E=0 因此 V =Bek V3 Fe-kux 由波函数的连续性，有 6
6 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d − + = 按势能 U(x) 的形式分区域的具体形式为 Ⅰ： (x) U (x) E (x) dx d 2 2 1 0 1 1 2 2 − + = − x a ① Ⅱ： ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x E x dx d − = − a x a ② Ⅲ： (x) U (x) E (x) dx d 2 2 3 0 3 3 2 2 − + = a x ③ 整理后，得 Ⅰ： 0 2 ( ) 2 1 0 1 = − − U E ④ Ⅱ：. 0 2 E 2 + 2 2 = ⑤ Ⅲ： 0 2 ( ) 2 3 0 3 = − − U E ⑥ 令 2 2 2 2 2 0 1 2 2 ( ) E k U E k = − = 则 Ⅰ： 1 0 2 1 − k1 = ⑦ Ⅱ：. 2 0 2 2 − k2 = ⑧ Ⅲ： 1 0 2 3 − k1 = ⑨ 各方程的解为 k x k x 3 2 2 2 k x k x 1 1 1 1 1 Ee Fe Csin k x Dcos k x Ae Be + − − = + = + = + 由波函数的有限性，有 ( ) 0 ( ) 0 3 1 = − = E A 有限 有限 因此 k x 3 k x 1 1 1 Fe Be − = = 由波函数的连续性，有
W(-a)=W:(-a).=Be-k#=-Csin ka+Dcoska (10) W(-a)=w2(-a)k Be-k=k,Ccosk,a+k,Dsin k,a (11) W2(a)=W(a),Csin ka+Dcosk,a=Fe-ka (12) w:(a)=w:(a).k.Ccoska-k.Dsin k.a=-k,Fe-k (13) 整理(10)、(11)、(12）)、(13)式，并合并成方程组，得 e-kB+sin kaC-cosk,aD+0=0 k e-kB-k2 cosk2aC-k2 sin k2a D+0=0 0+sin k2aC+cosk2aD-e-kF=0 0+k2 coskaC-k2 sin k2aD+k e~kF=0 解此方程即可得出B、C、D、F,进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解， 必须 e-ka sin k,a -cosk,a 0 k.e-ka-k2 coska-k2 sin k2a 0 0 sin ka cosk,a e-ka /=0 0 k2 coska -k:sin ka k,Be -k2 cosk2a -k2 sin k2a 0 0=ek sin kza cosk,a -eke- k2 cosk2a -k2 sin k2a k e-k sin k,a -cosk,a 0 -k eka sin k;a coskaa -e-ka k cosk:a -k,sin ka kea =e-k [-k k2e-kia cos2k2a+ke-ke sin k2acoska+ +k kek sin 2ka+ke-k sin kacoska]- -k e-k [k e-ka sin k,acosk,a+k,e-ke cos2ka+ +k e-k sin k,a cosk,a-k,e-ki sin2k,a] e-2ke [-2k k2 cos2ka+k sin 2ka-k"sin 2k2a] e-2k [(k2-ki)sin 2k2a-2k k2 cos2ka] ,e2k如≠0 ∴.(k好-k)sin2k2a-2 kk.cos2k2a=0 即(k好-k2)g2k,a-2k,k2=0为所求束缚态能级所满足的方程。# 方法二：接(13)式 -Csin k:a+Dcosk:a-Ccoska+Dsin k:a k 7
7 (a) (a), k Ccos k a k Dsin k a k Fe (13) (a) (a), Csin k a Dcos k a Fe (12) ( a) ( a), k Be k Ccos k a k Dsin k a (11) ( a) ( a), Be Csin k a Dcos k a (10) k a 2 3 2 2 2 2 1 k a 2 3 2 2 2 2 2 2 k a 1 2 1 2 2 k a 1 2 1 1 1 1 − − − − = − = − = + = − = − = + − = − = − + 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 0 k cos k aC k sin k aD k e F 0 0 sin k aC cos k aD e F 0 k e B k cos k aC k sin k a D 0 0 e B sin k aC cos k aD 0 0 k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 2 2 k a 1 2 2 k a 1 1 1 1 + − + = + + − = − − + = + − + = − − − − 解此方程即可得出 B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解， 必须 0 0 k cos k a k sin k a k Be 0 sin k a cos k a e k e k cos k a k sin k a 0 e sin k a cos k a 0 k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 2 2 k a 1 2 2 k a 1 1 1 1 = − − − − − − − − e [(k k )sin 2k a 2k k cos 2k a] e [ 2k k cos 2k a k sin 2k a k sin 2k a] k e sin k a cos k a k e sin k a] k e [k e sin k a cos k a k e cos k a k k e sin k a k e sin k a cos k a] e [ k k e cos k a k e sin k a cos k a k cos k a k sin k a k e sin k a cos k a e sin k a cos k a 0 k e k cos k a k sin k a k e sin k a cos k a e k cos k a k sin k a 0 0 e 2 1 2 2 2 1 2 2 2k a 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2k a 2 k a 2 2 2 2 k a 1 2 k a 2 2 2 2 k a 1 k a 1 2 2 2 k a 2 2 k a 2 1 2 2 2 2 k a 2 2 k a 2 1 2 k a k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 k a 1 k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 2 2 k a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − = − + − + − − + + + + − = − + + = − − − − − − − − − = − − − − − − − − − − − − − − − − − − ∵ 0 2 1 − k a e ∴ ( )sin 2 2 2 1 2 cos2 2 0 2 1 2 k2 − k k a − k k k a = 即 ( ) 2 2 2 1 2 0 2 1 2 k2 − k tg k a − k k = 为所求束缚态能级所满足的方程。# 方法二：接（13）式 Dsin k a k k Ccos k a k k Csin k a Dcos k a 2 1 2 2 1 2 − 2 + 2 = +