第五章习题解 5.1 5.1如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为、电荷均匀分布的小球，计算这种 效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对r<的区域有影响，对r之，的区域无影响。据题意知 '=U)-U(r) 其中U。)是不考虑这种效应的势能分布，即U。(r)= ze2 4πJ U(r)为考虑这种效应后的势能分布，在r之r,区域，U(r)=- 4π6r 在r<r区域，U(r)可由下式得出， U(r)=-e Edr a 1 Ze E= 4m水≤) Ze (r2) 4π6r U(r)=-e"Edr-ef"Edr Ze2 Ze2 =-8r6-r)4n8xBG-r内）≤6） 「Ze2 Ze 月=Uw-U,m=8知6-r)+4 (r≤) 0 (r2) 由于很小，所以<户o,= v2+U,可视为一种微扰，由它引起的 2u 一级修正为（基态=（乙re子） πa 1
1 第五章习题解 5.1 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为 0 r 、电荷均匀分布的小球，计算这种 效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对 0 r r 的区域有影响，对 0 r r 的区域无影响。据题意知 ( ) ( ) ˆ 0 H =U r −U r 其中 ( ) 0 U r 是不考虑这种效应的势能分布，即 r ze U r 0 2 0 4 （ ）= − U(r) 为考虑这种效应后的势能分布，在 0 r r 区域， r Ze U r 0 2 4 ( ) = − . 在 0 r r 区域， U(r) 可由下式得出， = − r U(r) e Edr = = ( ) 4 , ( ) 3 4 4 4 1 2 0 0 3 0 0 0 3 3 3 0 2 4 0 r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E = − − 0 0 ( ) r r r U r e Edr e Edr = − − 0 0 2 0 2 3 0 0 2 1 4 4 r r r dr r Ze rdr r Ze (3 ) 4 8 ( ) 8 2 2 3 0 0 0 2 0 0 2 2 2 3 0 0 0 2 r r r Ze r Ze r r r Ze = − − − = − − ( ) 0 r r − − + = − = 0 ( ) ( ) 4 (3 ) ( ) ( ) 8 ˆ 0 0 0 2 2 2 3 0 0 0 2 0 r r r r r Ze r r r Ze H U r U r 由于 0 r 很小，所以 ( ) 2 ˆ ˆ 0 2 2 (0) H H = − +U r ，可视为一种微扰，由它引起的 一级修正为（基态 r a Z e a Z 2 0 1/ 3 0 3 (0) 1 ( ) − = ）
E"-jro月uodz （3-r2)+2k4oh 22, 4π8 37 r<a,故e。l。 E0=- 高-w点r Ze2 26@万6-5+2G6 货 Z'e2 5.2 5.2转动惯量为1、电偶极矩为D的空间转子处在均匀电场￡中，如果电场较小，用 微扰法求转子基态能量的二级修正 解：取8的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为 号-D:E=}P-Dccs0 取=子户， H'=-Ds cos0,则 户=户o)+户' 由于电场较小，又把'视为微扰，用微扰法求得此问题。 月的本征值为E职-+咖 本征函数为w9=Y(0,p) 户@的基态能量为E。=0,为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知 E=∑H月 E0-E0 Hio=「woi'y°dr-[Yia(-Ds cos0)Yoo sin0d0do =-De[Y (cos Yo)sin 0 de do 2
2 E = H d (0) 1 * (0) 1 (1) 1 ˆ − = − − + 0 0 0 2 2 0 2 2 2 3 0 0 0 2 3 0 3 ] 4 4 (3 ) 8 [ r r a Z e r dr r Ze r r r Ze a Z ∴ a0 r ，故 1 0 2 − r a Z e 。 ∴ = − − + 0 0 0 3 0 0 4 2 0 2 2 4 3 0 0 3 0 0 4 2 (1) 1 (3 ) 2 r r rdr a Z e r r r dr a r Z e E 2 3 0 0 0 5 4 2 5 0 3 0 0 3 0 0 4 2 2 ) 5 ( 2 r a r Z e r a r Z e = − − + 2 3 0 0 0 4 2 10 r a Z e = 2 3 0 0 4 2 5 2 r a Z es = # 5.2 5.2 转动惯量为 I、电偶极矩为 D 的空间转子处在均匀电场 中，如果电场较小，用 微扰法求转子基态能量的二级修正。 解：取 的正方向为 Z 轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为 ˆ cos 2 1 2 ˆ ˆ 2 2 L D I D I L H = − = − 取 ˆ , ˆ cos 2 1 ˆ (0) 2 L H D I H = = − ，则 H = H + H ˆ ˆ ˆ (0) 由于电场较小，又把 H ˆ 视为微扰，用微扰法求得此问题。 ˆ (0) H 的本征值为 (()) 2 ( 1) 2 1 = + I E 本征函数为 ( , ) (0) = Ym ˆ (0) H 的基态能量为 0 0 0 = （） E ，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知 − = (0) (0) 0 2 (2) 0 0 H E E E H = H ˆ d = Y m (−D cos)Y0 0 sin d d (0) * 0 * (0) 0 = −D Y m (cos Y00 )sin d d *
-a时化悟在m0nn 1 答m00o -0∑2 Eg2=∑ Hol2 3+i6P 3折D 5.3 5.3设一体系未受微扰作用时有两个能级：Eo1及E2,现在受到微扰H'的作用，微 扰矩阵元为H2=H1=a,H,=H2=b:、b都是实数。用微扰公式求能量 至二级修正值。 解：由微扰公式得 E=Hin Eg=∑HP 「Eo-E0 得E=H=b E2=H2 =b E9=∑·HF a2 m Eo1-Eom Eo -E02 品=∑·H a2 能量的二级修正值为 E=Eo+b+Eo-Eos a2 a2 E2=Eo+b+Eo:-Eo
3 = − D Y m Y sin d d 4 1 3 4 10 * = − Y Y d d D sin 3 10 * 0 1 3 D = − D I D I E E E 2 2 2 2 2 1 2 2 ' (0) (0) 0 2 (2) ' 0 0 3 1 3 ( 1) H 2 = − + = − − = # 5.3 5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级： E01及E02 ，现在受到微扰 H ˆ 的作用，微 扰矩阵元为 H12 = H21 = a，H11 = H22 = b ； a、b 都是实数。用微扰公式求能量 至二级修正值。 解：由微扰公式得 En Hnn = (1) − = m n m mn n E E H E (0) (0) 2 (2) ' 得 E = H = b E = H22 = b (1) 11 02 (1) 01 01 02 2 01 0 2 (2) ' 1 01 E E a E E H E m m m − = − = 02 01 2 02 0 2 (2) ' 1 02 E E a E E H E m m m − = − = ∴ 能量的二级修正值为 01 02 2 1 01 E E a E E b − = + + 02 01 2 2 02 E E a E E b − = + + #
5.4 5.4设在1=0时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电 场可以近似地表示为E(t)=￡sint,￡及o均为常数：电离电子的波函数近似地 以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻：跃迁到电离态的几率。 解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为 h0m=mm=E。-E= 2h2 -=3.3×1015 6.62×10-34 ②t=0时，氢原子处于基态，其波函数为4=RY0= 在时刻，。=(2 1e,〔见课本P2422-7)试 0扰0=eE0:P=e运Fsinot=-(ee】 =F(elot-e-!) 其中斥=e公 2i 在t时刻跃迁到电离态的几率为W,m=a.() (drdr -%-1"马 0n+00t-0 对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项， d ()=Fa efoa-ay 方0mk-0 mn=h.0f_Eeaw-lXeaew- 方2 (om-0)2 4Flsin(-0)t h2() 其中Ft=Fodr=( 4
4 5.4 5.4 设在 t = 0 时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电 场可以近似地表示为 E t t ( ) sin = ， 及 均为常数；电离电子的波函数近似地 以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻 t 跃迁到电离态的几率。 解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为 2 4 min min 1 2 s e hv E E = = − = h e v s 2 4 min 2 = 34 19 6.62 10 13.6 1.6 10 − − = Hz 15 = 3.310 ② t = 0 时，氢原子处于基态，其波函数为 0 / 10 00 3 0 1 r a k R Y e a − = = . 在 t 时刻， p r i m e = 3 / 2 ) 2 1 ( , [见课本 P.24 (2.2-7)式] 微扰 ˆ ( ) ( ) sin ( ) 2 e r i t i t H t eE t r e r t e e i − = = = − ( ) ˆ i t i t F e e − = − 其中 i e r F 2 ˆ = 在 t 时刻跃迁到电离态的几率为 2 W a (t) k→m = m = t i t m mk H e dt i a t mk 0 1 ( ) = − + − t mk i t i t e e dt i F mk mk 0 ( ) ( ) ( ) ] 1 1 [ ( ) ( ) − − − + − = − + − mk i t mk i t mk mk mk F e e 对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项， − − = − mk i t mk m mk F e a t 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 2 ( ) ( 1)( 1) ( ) − − − = = − − → mk i t i t mk k m m mk mk F e e W a t 2 2 2 2 1 2 ( ) 4 sin ( ) − − = mk mk mk F t 其中 − − = = e d i e r e a F F d r a p r i mk m k 0 / 3 0 * 3/ 2 ) 2 ( 1 ) 2 1 ( ˆ
取电子电离后的动量方向为Z方向 取8、p所在平面为x0面，则有 e.F=6x+6,y+6. =(ssiny)(rsinecosp)+(scosy)(rcos) rsinysinecoso+s(cosy)(rcos) F=（ (rnsinorosin0drdo de ccoxomo momo _escosy 16p 1 iha ia (y =-16pes(cosv,h)"2 V8π(a6p2+h2) 六Wm= 4Fsin2(-)t 2(04-o)2 -128pe'c'a'cosv.sin(@-o) π2(aG6p2+2) (O-0 5.5 5.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即 当t≤0 6er,当t≥0（为大于零的参数） 求经过长时间后氢原子处在2印态的几率
5 取电子电离后的动量方向为 Z 方向， 取 、 p 所在平面为 xoz 面，则有 r x y z x y z = + + = + ( sin )( sin cos ) ( cos )( cos ) r r = + sin sin cos (cos )( cos ) r r 3/ 2 3 0 1 1 ( ) 2 2 mk e F a i = 0 2 cos / 2 0 0 0 ( sin sin cos cos cos ) sin i p r r a e r r e r drd d − − + 0 2 cos 3/ 2 3 / 3 0 0 0 0 1 1 ( ) ( cos ) (cos )(sin ) 2 2 i p r e r a e r e drd d a i − − = 0 cos 3/ 2 3 / 3 0 0 0 1 1 cos ( ) 2 [ cos sin 2 2 i p r e r a r e dr e d a i − − = 0 2 3 / 2 2 3 0 0 cos [ ( ) ( )] 2 2 i i i i p r p r p r p r e r a r e e e e e dr ipr p r i a − − − − = + + − 2 3 0 3 0 2 2 0 cos 16 1 2 2 1 ( ) e p i a ia p a = + 7 / 2 0 2 2 2 3 0 16 (cos )( ) 8 ( ) pe a a p = − + ∴ 2 2 2 2 1 2 ( ) 4 sin ( ) − − → = mk mk mk k m F t W 2 2 2 7 5 2 2 1 0 2 2 2 2 2 6 2 0 128 cos sin ( ) ( ) ( ) mk mk p e a t a p − = + − # 5.5 5.5 基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即 = − , 0( ) 0, 0 / 0 当 为大于零的参数 当 e t t t 求经过长时间后氢原子处在 2p 态的几率