概率矩阵具有一下性质: 若A是一个正规概率矩阵,则有 ①一定存在一个概率向量X,使得AX=X成立, 且X的各分量皆为正数; ②的各次方幂A、A2、A3、…、A…组成的序列会 趋近于一个固定的方阵B,即A→B(当k→∞) 且B的每一行均为X; ③设为任一维概率向量, 则向量序列Au、(42)、(A3)u…(4)u 趋近于概率向量X即有(A4)4→X(k→>∞)
T X A X X X 一定存在一个概率向量 ，使得 成立， 且 的各分量皆为正数； ① 1 2 3 ( ) k k T A A A A A B A B k B X 的各次方幂 、 、 、、 组成的序列会 趋近于一个固定的方阵 ，即 当 ， 且 的每一行均为 ； ② 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T k T k T A u A u A u A u X A X k 设为任一维概率向量， 则向量序列 、 、 、 、 趋近于概率向量 即有 ③
例2试用正规随机矩阼 验证上述定理 解设概率向量X=[x1x2]满足方程组AX=X, 于是便得到方程组22=x 将两个方程相加,得到恒等式:x1+x2=x1+x2 故这两个方程不是相互独立的
0 1 1 1 2 2 A 1 2 2 1 1 2 2 [ ] 1 2 1 2 T T X x x A X X x x x x x 解 设概率向量 满足方程组 ， 于是便得到方程组 1 2 1 2 将两个方程相加，得到恒等式：x x x x 故这两个方程不是相互独立的
用方程x1+x2=1来取代上述方程组中的第二个方程, 得到新的方程组 解之得 X=「yy1r 进一步,矩阵序列A、A 趋近于各行 都以向量X所构成的方阵B B 2-32-3
1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 x x x x x x 用方程 来取代上述方程组中的第二个方程， 得到新的方程组 1 2 1 2 [ ] [ ] 3 3 T T X x x 解之得 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 3 T A A A X B B 进一步，矩阵序列 、 、 、趋近于各行 都以向量 所构成的方阵
事实上,有 44 3—85 8 44 88 1616 6 3232 →)B 2143 3232 6464
2 3 4 5 6 1 1 1 3 3 5 2 2 4 4 8 8 , , , 1 3 3 5 5 11 4 4 8 8 16 16 5 11 11 21 16 16 32 32 , 11 21 21 43 32 32 64 64 A A A A A B
另设u=[v12y为任一概率向量,由A→B(k→∞) 可得 B n1门
1 2 [ ] ( ) ( ) T k k T T u u u A B k A u B u 另设 为任一概率向量，由 可得 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ( ) 3 3 3 3 2 2 1 2 ( ) 3 3 3 3 T u u u B u X u u u