赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 对于其他任意阶的高阶导数都可以做类似的处理 定理1.8(高阶导数的作用次序无关性).如果∫(x)∈Y在x0∈D2CX点p阶可微,则有 af((1…,)=Dm1…Dr(a)=Do…Df(x) =()(1y…,bv),va∈P 亦中p(x)作用于h1,…,hn}的顺序可作任意变换 证明考虑二阶情形①,亦即证 d 2 dr2(co(h1, 2)=da2()(2, 1)EY 作 e(t)=f(ro+t(h1 +h2))-f(aro+ th1)-f(ao+ th2 )+f(OEY, 引入 p(u)=f(ao+t(h1 +u))-f(ao+tUEY 有 o'(o)=t[f(ro+t(h1 +v))-f'(ao+tu) e(X; Y), 且θ(t)=叭(h2)-0(0)∈Y.估计 ()-t2f"(xo)(h1,h2)y=|(h2)-0(0)-t2[r"(xo)(h1)](h2 K sup lo(Th2)-t/"(o)(hi)lx(x: y) Ihalr f(xo+t(h1+rh2)-f(xo+trh2)-tf"(xox)xy)h2 f(ro+t(h1 +Th2))=f(ro)+tf"(ro)(h1+Th2)+o(tE(X; Y) f(co+trh)=f(ao)+trf"(ao(h2)+o(tEg(X; Y 则有 10(t)tf"(aro)(h1, h2)ly <t sup lo(t)lex rlh2lx=lot )le(x r)lh2lx 即有 3im+2=f"(0)(h1,ha2)∈Y 同理,引入 w(u)= f(ro+t(u+h2)-f(ro+tu) ①就此二阶情形的证明完全参照: vA Zorich. Mathematical Analysis,Vol.2. Springer- Verlag Berlin Heide- erg,2004.笔者未有独立的处理
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 对于其他任意阶的高阶导数都可以做类似的处理. 定理 1.8 (高阶导数的作用次序无关性). 如果 f(x) ∈ Y 在 x0 ∈ Dx ⊂ X 点 p 阶可微, 则有 d pf dx p (x)(h1, · · · , hp) = Dh1 ◦ · · · ◦ Dhp f(x) = Dhσ(1) ◦ · · · ◦ Dhσ(p) f(x) = d pf dx p (x)(hσ(1), · · · , hσ(p) ), ∀ σ ∈ Pp, 亦即 d pf dx p (x) 作用于 {h1, · · · , hp} 的顺序可作任意变换. 证明 考虑二阶情形➀, 亦即证 d 2f dx 2 (x0)(h1, h2) = d 2f dx 2 (x0)(h2, h1) ∈ Y. 作 θ(t) = f(x0 + t(h1 + h2)) − f(x0 + th1) − f(x0 + th2) + f(x0) ∈ Y, 引入 ϕ(v) = f(x0 + t(h1 + v)) − f(x0 + tv) ∈ Y, 有 ϕ ′ (v) = t [ f ′ (x0 + t(h1 + v)) − f ′ (x0 + tv) ] ∈ L (X; Y ), 且 θ(t) = ϕ(h2) − ϕ(0) ∈ Y . 估计 θ(t) − t 2 f ′′(x0)(h1, h2) Y = ϕ(h2) − ϕ(0) − t 2 [ f ′′(x0)(h1) ] (h2) Y 6 sup τ∈(0,1) ϕ ′ (τh2) − t 2 f ′′(x0)(h1) L (X;Y ) |h2|Y = t sup τ∈(0,1) f ′ (x0 + t(h1 + τh2)) − f ′ (x0 + tτh2) − tf′′(x0)(h1) L (X;Y ) |h2|X. 由 f ′ (x0 + t(h1 + τh2)) = f ′ (x0) + tf′′(x0)(h1 + τh2) + o(t) ∈ L (X; Y ) f ′ (x0 + tτh2) = f ′ (x0) + tτf′′(x0)(h2) + o(t) ∈ L (X; Y ), 则有 θ(t) − t 2 f ′′(x0)(h1, h2) Y 6 t sup τ∈(0,1) |o(t)|L (X;Y ) |h2|X = |o(t 2 )|L (X;Y ) |h2|X, 即有 ∃ lim t→0 θ(t) t 2 = f ′′(x0)(h1, h2) ∈ Y. 同理, 引入 ψ(u) = f(x0 + t(u + h2)) − f(x0 + tu) ∈ Y, ➀ 就此二阶情形的证明完全参照: V A Zorich. Mathematical Analysis, Vol. 2. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004. 笔者未有独立的处理. 11
赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 有 v(u)=t[f(xo+t(u+h2)-f(xo+tu)∈x(x;Y), 且θ(t)=v(h1)-v(0)∈Y.估计 )-t2f"(x0)(h2,h1)ly=|(h1)-v(0)-t2[r"(xo)(h2)(h1)y ≤tsup,|f(xo+t(mh1+h2)-f(xo+trh1)-tf"(o(h2)xy)hlx f(ro+t(rh1 + h2))=f(ro)+tf"(aro)(hi +h2)+o(tE(X;Y) f(co+trh1)=f(o)+trf"(ao(h1)+o(tEg(X; Y), 则有 le(t)t(ro)(h2, hily <t sup lo(t)lx(x r)lh1Ix=lot)le(x: r)lh1Ix, 即有 (t) =f(ao)(h2,h)∈Y 综上,按极限存在的唯一性,有 Co 考虑三阶导数,有 b>(xo)(h,bm,b)=「d2(d(0)(h,h,1) dx2(dr da)(ao)(h1,h2)(h3) (x0)(h2,h1)(h3) d rs(co)(h2, h1, 3), 另有 d 2 o)(h,h,h3)=3(mo)(hn)(h2,h3)=Dh(xo)(h2,h) =D/ (x0)(h2,h3 h[a2()(h3,h2) (x0)(h1,h3,h2) 反复利用上面的两个关系,可有 )(b(1),h(2,h(3),Va∈P3 对更高阶的情况,可做类似讨论
赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 有 ψ ′ (u) = t [ f ′ (x0 + t(u + h2)) − f ′ (x0 + tu) ] ∈ L (X; Y ), 且 θ(t) = ψ(h1) − ψ(0) ∈ Y . 估计 θ(t) − t 2 f ′′(x0)(h2, h1) Y = ψ(h1) − ψ(0) − t 2 [ f ′′(x0)(h2) ] (h1) Y 6 t sup τ∈(0,1) f ′ (x0 + t(τh1 + h2)) − f ′ (x0 + tτh1) − tf′′(x0)(h2) L (X;Y ) |h1|X. 由 f ′ (x0 + t(τh1 + h2)) = f ′ (x0) + tf′′(x0)(τh1 + h2) + o(t) ∈ L (X; Y ) f ′ (x0 + tτh1) = f ′ (x0) + tτf′′(x0)(h1) + o(t) ∈ L (X; Y ), 则有 θ(t) − t 2 f ′′(x0)(h2, h1) Y 6 t sup τ∈(0,1) |o(t)|L (X;Y ) |h1|X = |o(t 2 )|L (X;Y ) |h1|X, 即有 ∃ lim t→0 θ(t) t 2 = f ′′(x0)(h2, h1) ∈ Y. 综上, 按极限存在的唯一性, 有 f ′′(x0)(h1, h2) = f ′′(x0)(h2, h1). 考虑三阶导数, 有 d 3f dx 3 (x0)(h1, h2, h3) = [ d 2 dx 2 ( df dx ) (x0) ] (h1, h2, h3) = [ d 2 dx 2 ( df dx ) (x0)(h1, h2) ] (h3) = [ d 2 dx 2 ( df dx ) (x0)(h2, h1) ] (h3) = d 3f dx 3 (x0)(h2, h1, h3), 另有 d 3f dx 3 (x0)(h1, h2, h3) = [ d 3f dx 3 (x0)(h1) ] (h2, h3) = [ Dh1 d 2f dx 2 (x0) ] (h2, h3) = Dh1 [ d 2f dx 2 (x0)(h2, h3) ] = Dh1 [ d 2f dx 2 (x0)(h3, h2) ] = d 3f dx 3 (x0)(h1, h3, h2). 反复利用上面的两个关系, 可有 d 3f dx 3 (x0)(h1, h2, h3) = d 3f dx 3 (x0)(hσ(1), hσ(2), hσ(3)), ∀ σ ∈ P3. 对更高阶的情况, 可做类似讨论. 12