复旦大学：《数学分析》讲稿_赋范线性空间上微分学-03-映照可微性与高阶导数

赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 推论15.1.按定理15中f(x)的条件,以及∈z(X;Y),有估计 1f(b)-f(a)-d(b-a)lY sup(a) 证明引入辅助函数 g()=f(a)-d(a), V. Dr, 则有 9(b-g(aly=f(b)-f(a)-d(b-a)ly 13高阶导数 设∫(x)在Bx(xo) C Dr C X上点点可微,则有 df (r): Dr D B(o)2(E(X; Y) 进一步,如有(x)∈x(X;Y)在Bx(xo)上点点可微,则有 d/df d 2 d r dr (a): Dr B(o)arrdx2(xE(X; g(x; Y)), 类似地,可有 dr3 (x)∈(X;z(X;z(X;Y) ax()∈x(x;2(x;,x(x;.2(x;Y) 以下研究如何表示高阶导数 定义1.3(抽象张量),设映照更 X x3{ p ∈Y, 满足对其所有变元的线性性,即对i=1,……,p,都有 +匝更(u1,…,t,…,tp),Va,B∈,wt;,t∈X, 则称φ为p阶多重线性映照,或者称为p阶张量. 记P(X;Y)=:x(X,…,X;Y)为所有p阶张量(或p阶多重线性映照)的全体,可在 (X;Y)上引入线性结构,即V更业∈P(X;Y),a,B∈,u1,…,vp∈X,定义 (+)(u1,…,v)哑重u1,…,up)+(u,…,up)∈Y

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 推论 1.5.1. 按定理1.5中 f(x) 的条件, 以及 ∀ A ∈ L (X; Y ), 有估计 |f(b) − f(a) − A (b − a)|Y 6 sup (a,b)     df dx (x) − A     L (X;Y ) |b − a|X. 证明 引入辅助函数 g(x) = f(x) − A (x), ∀ x ∈ Dx, 则有 |g(b) − g(a)|Y = |f(b) − f(a) − A (b − a)|Y 6 sup (a,b)     df dx (x) − A     L (X;Y ) |b − a|X. 1.3 高阶导数 设 f(x) 在 Bλ(x0) ⊂ Dx ⊂ X 上点点可微, 则有 df dx (x) : Dx ⊃ Bλ(x0) ∋ x 7→ df dx (x) ∈ L (X; Y ). 进一步, 如有 df dx (x) ∈ L (X; Y ) 在 Bλ(x0) 上点点可微, 则有 d 2f dx 2 (x) =: d dx ( df dx ) (x) : Dx ⊃ Bλ(x0) ∋ x 7→ d 2f dx 2 (x) ∈ L (X; L (X; Y )), 类似地, 可有 d 3f dx 3 (x) ∈ L (X; L (X; L (X; Y ))), d 4f dx 4 (x) ∈ L (X; L (X; L (X; L (X; Y )))). 以下研究如何表示高阶导数. 定义 1.3 (抽象张量). 设映照 Φ Φ(u1, · · · , up) : X × · · · × X | {z } p个 ∋ {u1, · · · , up} 7→ Φ(u1, · · · , up) ∈ Y, 满足对其所有变元的线性性, 即对 i = 1, · · · , p, 都有 Φ(u1, · · · , αuei + βubi , · · · , up) = αΦ(u1, · · · , uei , · · · , up) + βΦ(u1, · · · , ubi , · · · , up), ∀ α, β ∈ R, ∀ uei , ubi ∈ X, 则称 Φ 为 p 阶多重线性映照, 或者称为 p 阶张量. 记 T p (X; Y ) =: L (X, · · · , X | {z } p个 ; Y ) 为所有 p 阶张量 (或 p 阶多重线性映照) 的全体, 可在 T p (X; Y ) 上引入线性结构, 即 ∀ Φ, Ψ ∈ T p (X; Y ), ∀ α, β ∈ R, ∀ u1, · · · , up ∈ X, 定义 (αΦ + βΨ)(u1, · · · , up) , αΦ(u1, · · · , up) + βΨ(u1, · · · , up) ∈ Y, 6

赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 (aφ+y)( 入u;+pui )+(u1,…,A2+pt;,…,up) =Na更(u1,…,i,…,up)+B(u1,…,1,…,p) +p{a更( , ui )+By(1 A(重+匝业)(u1,…,,…,up)+(a更+重)(u1,……,每,…,tp) 可有aφ+∈(X;Y) 定理1.6.x(X1,…,Xp;(Xp+1,……,Xp+q;Y)同(X1,…,Xp+q;Y)构成保范线性同 构 证明考虑映照 {重):2(X1,…,Xp;2(Xp+1,…,Xp+q;Y)3更口重)∈(X1,……,Xp+q;Y) 此处 q)更( up)(u+1,…,up+q)∈Y i=1,……,P,可有 a()(u1,…,au+Bt, up+q) △ up)(u4p+1,…,tp+q) =a更(u1,…,i up)(p+1,…,up+q =a9(u1 )(up+1,……,up+q)+匝(ul, ,p+q (重)(u1 +Ba(重)(u1,…,,……,up,up+1,…,tp+q); 对i=p+1,…,p+q,可有 (重)(u1,…,up,p+1,…,au+Bt2,…,up+q) 更(u1,…,p)(up+1,…,au+Bt2,…,tp+q) =a更(u1, ,vp+q)+(u1,…,p)(up+1 =a(重)(u1,…,p,tp+1,…,a,…,up+q) +Ba(重)(u1,……,up,up+1, ,up-+q

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 由 (αΦ + βΨ)(u1, · · · , λuei + µubi , · · · , up) , αΦ(u1, · · · , λuei + µubi , · · · , up) + βΨ(u1, · · · , λuei + µubi , · · · , up) = λ[αΦ(u1, · · · , uei , · · · , up) + βΨ(u1, · · · , uei , · · · , up)] + µ[αΦ(u1, · · · , ubi , · · · , up) + βΨ(u1, · · · , ubi , · · · , up)] = λ(αΦ + βΨ)(u1, · · · , uei , · · · , up) + µ(αΦ + βΨ)(u1, · · · , ubi , · · · , up), 可有 αΦ + βΨ ∈ T r (X; Y ). 定理 1.6. L (X1, · · · , Xp; L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y )) 同 L (X1, · · · , Xp+q; Y ) 构成保范线性同 构. 证明 考虑映照 A (Φ) : L (X1, · · · , Xp; L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y )) ∋ Φ 7→ A (Φ) ∈ L (X1, · · · , Xp+q; Y ), 此处 A (Φ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q) , Φ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q) ∈ Y. 对 i = 1, · · · , p, 可有 A (Φ)(u1, · · · , αuei + βubi , · · · , up, up+1, · · · , up+q) , Φ(u1, · · · , αuei + βubi , · · · , up)(up+1, · · · , up+q) = [αΦ(u1, · · · , uei , · · · , up) + βΦ(u1, · · · , ubi , · · · , up)](up+1, · · · , up+q) = αΦ(u1, · · · , uei , · · · , up)(up+1, · · · , up+q) + βΦ(u1, · · · , ubi , · · · , up)(up+1, · · · , up+q) = αA (Φ)(u1, · · · , uei , · · · , up, up+1, · · · , up+q) + βA (Φ)(u1, · · · , ubi , · · · , up, up+1, · · · , up+q); 对 i = p + 1, · · · , p + q, 可有 A (Φ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , αuei + βubi , · · · , up+q) = Φ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , αuei + βubi , · · · , up+q) = αΦ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , uei , · · · , up+q) + βΦ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , ubi , · · · , up+q) = αA (Φ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , uei , · · · , up+q) + βA (Φ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , ubi , · · · , up+q), 7

赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 a(φ)为p+q阶张量.考虑 (ap+y)(u1,…,up,p+1,…,up+q) 会(a更+y)(u1 )( a更(u1,…,up)(vp+1,…,tp+q)+y(u1,…,up)(up+1,…,up+q) aa(重)(u1,……,p,up+1,…,up+q)+Bf(业)(u1,…,up,p+1,…,tp+q) =ao()+Ba(更)(u1,…,up,p+1,……,tp+q 故有{φ+)=aw()+B(业),亦即a(φ)为线性映照 以下说明x(为(X1,…,Xp;(Xp+1,…,Xp+q)上的单射.利用反证法.假设对于 更≠重∈(X1,…,Xp;(Xp+1,……,Xp+q)有a(更)=m(),所以对Vu1,…,tp,up+1,…,up+q∈ X,有 )(up+1,…,up+q) (业)(u1 则有 p)=y(uy p)∈x(Xp+1,…,Xp+q;Y), 即更=重∈(X1,…,Xp;2(Xp+1,…,Xp+qY).故得矛盾 射.任取日∈2(X1,…,Xp+q;1),有e(u,…,,p+1,…,p+9)∈.;Y)之间的满 以下证明x为x(X1,…,Xp;z(Xp+1,…,Xp+q;Y)同x(X1,……,Xp 6( )∈x(Xx Xp+g: Y) 又考虑到对Va,B∈R,有 (u1,…,Qi2+t;,…,up)=a6( )+B6(u1 所 p}+(u 设∈2(X1,…,Xp;(Xp+1,…,Xp+q;Y),且有 q)e(u1,…,tp)(up+1 O(u1,…,tp,tp+1,…,p+q)∈Y, 亦即有a()=∈(X1,…,Xp+q;Y)

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 即 A (Φ) 为 p + q 阶张量. 考虑 A (αΦ + βΨ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q) , (αΦ + βΨ)(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q) = [αΦ(u1, · · · , up) + βΨ(u1, · · · , up)](up+1, · · · , up+q) = αΦ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q) + βΨ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q) = αA (Φ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q) + βA (Ψ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q) = [αA (Φ) + βA (Φ)](u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q), 故有 A (αΦ + βΨ) = αA (Φ) + βA (Ψ), 亦即 A (Φ) 为线性映照. 以下说明 A (Φ) 为 L (X1, · · · , Xp; L (Xp+1, · · · , Xp+q)) 上的单射. 利用反证法. 假设对于 Φ ̸= Ψ ∈ L (X1, · · · , Xp; L (Xp+1, · · · , Xp+q)) 有 A (Φ) = A (Ψ), 所以对 ∀ u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q ∈ X, 有 A (Φ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q) = Φ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q) = Ψ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q) = A (Ψ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q), 则有 Φ(u1, · · · , up) = Ψ(u1, · · · , up) ∈ L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y ), ∀ u1, · · · , up, 即 Φ = Ψ ∈ L (X1, · · · , Xp; L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y )). 故得矛盾. 以下证明 A 为 L (X1, · · · , Xp; L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y )) 同 L (X1, · · · , Xp+q; Y ) 之间的满 射. 任取 Θ ∈ L (X1, · · · , Xp+q; Y ), 有 Θ(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q) ∈ Y . 定义 Θ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q) , Θ(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q), ∀ up+1, · · · , up+q, 则 Θ(u1, · · · , up) ∈ L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y ). 又考虑到对 ∀ α, β ∈ R, 有 Θ(u1, · · · , αuei + βubi , · · · , up) = αΘ(u1, · · · , uei , · · · , up) + βΘ(u1, · · · , ubi , · · · , up), 所以 Θ : X1 × · · · × Xp ∋ {u1, · · · , up} 7→ Θ(u1, · · · , up) ∈ L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y ). 设 ◦ Θ ∈ L (X1, · · · , Xp; L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y )), 且有 A ( ◦ Θ)(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q) , Θ(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q) = Θ(u1, · · · , up, up+1, · · · , up+q) ∈ Y, 亦即有 A ( ◦ Θ) = Θ ∈ L (X1, · · · , Xp+q; Y ). 8

赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 现已有a为2(X1,…,Xp;2(Xp+1,…,Xp+q;Y)同x(X1,…,Xp+q;Y)之间的线性 同构.以下考虑范数 la(g) p+q)ly D)le(x 1 再考虑 a(重)(u1,……,p;…,up+q)y 更 P+1 1x1……| uplxplll+1 1 up)(up +g)ly unlx1……|uplx sup up+1|xpr+1…|up+qxp+ (更)( unlx1…|uplx ≤更x(x1…,xpx(xp+1+…xp+Y) 故有 ≤更 另有 a(乎)xx,…x,1)≥|(更)(u1,…,4)(p+1,p+ la1lx1… luplxplllp+lxp+1…|up+qlxp+q 1 更)(u1, y sup ulx1…uplx 故有 a(川x(x1…xP+;1)≥团更x(x1…,xp:x(xp+1+…xn+Y) 综上,有 ()(x1…x+9)=囤x(x1…,x:(xp+1…,xy) 定理1.7(高阶导数与方向导数之间的关系) (x)(h1,…,hp) ∈ 证明对于p=1的情况,显然有 df (x)(h1)=Dh1f(x);

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 现已有 A 为 L (X1, · · · , Xp; L (Xp+1, · · · , Xp+q; Y )) 同 L (X1, · · · , Xp+q; Y ) 之间的线性 同构. 以下考虑范数 |A (Φ)|A (X1,··· ,Xp+q;Y ) , sup |A (Φ)(u1, · · · , up+q)|Y |u1|X1 · · · |up+q|Xp+q , |Φ|L (X1,··· ,Xp;L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y )) , sup |Φ(u1, · · · , up)|L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y ) |u1|X1 · · · |up|Xp , 再考虑 |A (Φ)(u1, · · · , up, · · · , up+q)|Y |u1|X1 · · · |up+q|Xp+q = |(Φ)(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q)|Y [|u1|X1 · · · |up|Xp ][|up+1|Xp+1 · · · |up+q|Xp+q ] 6 1 |u1|X1 · · · |up|Xp sup |(Φ)(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q)|Y |up+1|Xp+1 · · · |up+q|Xp+q 6 |(Φ)(u1, · · · , up)|L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y ) |u1|X1 · · · |up|Xp 6 |Φ|L (X1,··· ,Xp;L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y )), 故有 |A (Φ)|L (X1,··· ,Xp+q;Y ) 6 |Φ|L (X1,··· ,Xp;L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y )). 另有 |A (Φ)|L (X1,··· ,Xp+q;Y ) > |(Φ)(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q)|Y [|u1|X1 · · · |up|Xp ][|up+1|Xp+1 · · · |up+q|Xp+q ] > 1 |u1|X1 · · · |up|Xp sup |(Φ)(u1, · · · , up)(up+1, · · · , up+q)|Y |up+1|Xp+1 · · · |up+q|Xp+q , 故有 |A (Φ)|L (X1,··· ,Xp+q;Y ) > |Φ|L (X1,··· ,Xp;L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y )). 综上, 有 |A (Φ)|A (X1,··· ,Xp+q;Y ) = |Φ|L (X1,··· ,Xp;L (Xp+1,··· ,Xp+q;Y )). 定理 1.7 (高阶导数与方向导数之间的关系). d pf dx p (x)(h1, · · · , hp) = Dh1 ◦ · · · ◦ Dhp f(x) ∈ Y. 证明 对于 p = 1 的情况, 显然有 df dx (x)(h1) = Dh1 f(x); 9

赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 对于p=2的情况,有 d-1 d(x)(h1,h2)= (x)(h1)(h2)=|Dn (x)(h2) d (a+Anhi) df lim tr(h2,此处入n→0mn→+∞x) (x+Mnh1)(h2)-x(x)(/h2) lim limh2f(c+\b Dy= Dh,( Dh, f)(a)= Dh1 o Dh2 f(a) 对于p=3的情况,有 d 2 dr(z)(hi, a2, h3)=dr(a)(h1)(h2, h3)=Dh( dz2 )(a)(h2, h3) (a +Anhi) d2f (x) (a + Anhi)(h2) (x)(h (h3) d d dr (+ Anh)-Di lin D2(d)(x+h)3)-Dm2(a)(a3 =lim D (a + Anhi)-Dh2 o Dha f(ar) 另外,也可以利用p=2的结论,即 (x)(h1,h2,h3) (x)(h1)(h2,hy)=/2/0 ()(h21) d 2 m女2(x+mh1) (h2,h3) lim de2(a+Anh)(h2, h3) (x)(h2,h3) Dha o Dhs f(a+Anh1)-Dn2 o Dha f( Dha o Dha f(a)

赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 对于 p = 2 的情况, 有 d 2f dx 2 (x)(h1, h2) = [ d 2f dx 2 (x)(h1) ] (h2) = [ Dh1 ( df dx ) (x) ] (h2) =    lim df dx (x + λnh1) − df dx (x) λn    (h2), 此处λn → 0(n → +∞) = lim df dx (x + λnh1)(h2) − df dx (x)(h2) λn = lim Dh2 f(x + λnh1) − Dh2 f(x) λn = Dh1 (Dh2 f)(x) = Dh1 ◦ Dh2 f(x); 对于 p = 3 的情况, 有 d 3f dx 3 (x)(h1, h2, h3) = [ d 3f dx 3 (x)(h1) ] (h2, h3) = [ Dh1 ( d 2f dx 2 ) (x) ] (h2, h3) =     lim d 2f dx 2 (x + λnh1) − d 2f dx 2 (x) λn     (h2, h3) =     lim d 2f dx 2 (x + λnh1)(h2) − d 2f dx 2 (x)(h2) λn     (h3) =     lim Dh2 ( df dx ) (x + λnh1) − Dh2 ( df dx ) (x) λn     (h3) = lim Dh2 ( df dx ) (x + λnh1)(h3) − Dh2 ( df dx ) (x)(h3) λn = lim Dh2 ◦ Dh3 f(x + λnh1) − Dh2 ◦ Dh3 f(x) λn = Dh1 ◦ Dh2 ◦ Dh3 f(x). 另外, 也可以利用 p = 2 的结论, 即 d 3f dx 3 (x)(h1, h2, h3) = [ d 3f dx 3 (x)(h1) ] (h2, h3) = [ Dh1 ( d 2f dx 2 ) (x) ] (h2, h3) =     lim d 2f dx 2 (x + λnh1) − d 2f dx 2 (x) λn     (h2, h3) = lim d 2f dx 2 (x + λnh1)(h2, h3) − d 2f dx 2 (x)(h2, h3) λn = lim Dh2 ◦ Dh3 f(x + λnh1) − Dh2 ◦ Dh3 f(x) λn = Dh1 ◦ Dh2 ◦ Dh3 f(x). 10