8 1 Introduction: Spread Accumulation 例:计算 x"ed,n=0,1,2 0 公式 =2,ch=1-1206212m为 e 注意此公式精确成 则初始误差|E0|=0-(2<0.5×103 立 xn·e"d<lI<-xn·edx <I< 0 e(+1 n+1 =1-1·l=0.36787944 What 10=1-10.,=0.08812800 happened 1=1-11·1o=0.03059200 I",=1-12·I,=0.63289600 13=1-13.I12=-7.2276480 1=1-1413=94.959424! I=1-15I,=-14233914!!
§1 Introduction: Spread & Accumulation 0 1 2 ...... 1 1 0 x e dx , n , , , e I n x n = = 例：计算 n = 1− n−1 公式一： I n I 注意此公式精确成 立 0 63212056 1 1 1 1 0 0 . e e dx e I x = = − 记为 * 0 I 8 0 0 0 0 5 10 − 则初始误差 E = I − I . 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 + + n I e(n ) x e dx e x e dx I e n n n n 1 1 5 14233914 1 1 4 9 4 959424 1 1 3 7 2276480 1 1 2 0 63289600 1 1 1 0 03059200 1 1 0 0 08812800 ............ 1 1 0 36787944 1 5 1 4 * 1 3 * 1 4 * 1 2 * 1 3 * 1 1 * 1 2 * 1 0 * 1 1 * 9 * 1 0 * 0 * 1 I I . I I . I I . I I . I I . I I . I I . = − = − = − = = − = − = − = = − = = − = = − = ? ?? ? ! ! ! What happened ?!
8 1 Introduction: Spread Accumulation 考察第步的误差En En|=|In-In|=|(1 )-(1-nIm1)|=nEn n!|E0 可见初始的小扰动|E|<0.5×1038迅速积累,误差呈递增走势。 造成这种情况的是不稳定的算法/ unstable algorithm 我们有责任改变。 a公式二:In=1-nln-1→In-1=-(1-Ln) 方法:先估计一个Ⅰ,再反推要求的n(n<<N) 注意此公式与公式 N+1 在理论上等价。 可取 2e(n+1)N+ 当N→+∞时,EN Ix|→0
§1 Introduction: Spread & Accumulation 考察第n步的误差 En | | | | |(1 ) (1 )| * 1 1 * n = n − n = − nIn− − − nIn− E I I !| | 1 n E0 n |E | = n− == 我们有责任改变。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 可见初始的小扰动 | E0 | 0.510−8 迅速积累，误差呈递增走势。 (1 ) 1 n 1 n 1 n 1 n I n 公式二： I = − n I − I − = − 注意此公式与公式一 在理论上等价。 方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。 1 1 ( 1) 1 + + N I e N N N N I e N N I + + + = 1 1 ( 1) 1 2 * 1 可取 0 当N → + 时, EN = I N − I N * →
8 1 Introduction: Spread& Accumulation 取 +|≈0.042746233 e·1616 We just got lucky? 15)≈0.063816918 15 (1-l14)≈0.066870220 14 12=(1-l3)≈0.071779214 1-12)≈0.077351732 12 (1-I1)≈0.083877115 I1=3(1-l2)≈036787944 In=(1-1) ≈0.63212056
§1 Introduction: Spread & Accumulation ( 1 ) 0 63212056 11 ( 1 ) 0 36787944 21 ( 1 ) 0 083877115 111 ( 1 ) 0 077351732 121 ( 1 ) 0 071779214 131 ( 1 ) 0 066870220 141 ( 1 ) 0 063816918 151 0 042746233 161 16 1 21 *1 *0 *2 *1 * 1 1 * 1 0 * 1 2 * 1 1 * 1 3 * 1 2 * 1 4 * 1 3 * 1 5 * 1 4 * 1 5I I . I I . I I . I I . I I . I I . I I .. e I = − = − = − = − = − = − = − + = 取 We just got lucky?