二、自由电子的量子理论 在没有磁场时，自由电子的哈密顿量为： H= 2m 当有磁场存在时，电子运动的哈密顿量为 -2m( A为磁场的矢势， B=VXA 若磁场B沿z方向，则可取A=(-By,0,O) i=2m[(a,-eB+房+]
二、自由电子的量子理论 在没有磁场时，自由电子的哈密顿量为： 2 2 p H m = 当有磁场存在时，电子运动的哈密顿量为 ( ) 1 2 2 H e m = +p A A为磁场的矢势， B A = Ñ ´ 若磁场 B 沿 z 方向，则可取 A = -( By, 0, 0) ( ) 2 1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 H x y z p eBy p p m \ = é ù - + + ë û
由于哈密顿算符中不含x和z, 自与月=0品及户=肠是 对易。 根据量子力学，H和Px、p有共同本征态。 设业为其共同本征态，有 pxy=hkΨ pw =hkw 波函数可以写成 y(r）=e6x.o(y) 代入波动方程 Ay Ew
由于哈密顿算符中不含 x 和 z， H ˆ 与 ˆ x p i x ¶ = - ¶ h ˆ z p i z ¶ = - ¶ 及 h 对易。 根据量子力学，H和 px、pz 有共同本征态。 设ψ为其共同本征态，有 ˆ ˆ x x z z p k p k y y y y = = h h 波函数可以写成 ( ) ( ) ( ) x z i k x k z y j e y + r = 代入波动方程 H E ˆy y =
2m[(k,-e+戊+E]o()-Ep() [三+品t-器p [g+otu-对6-mt .=eB eB 其中 6E、 2k足 eB 2m 上式是中心位置在y=yo,振动园频率为@o的线性谐振子
( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 ˆ 2 x y z k eBy p k y E y m é ù - + + = j j ë û h h ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 z x k k eBy y E y m y m m j j é ¶ ù æ ö ê ú - + - = - ç ÷ ë ¶ û è ø h h h ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 0 1 2 2 m y y y y m y w j ej é ù ¶ - + - = ê ú ë û ¶ h 其中 , c eB m w = 0 , x y k eB = h 2 2 2 z k E m e = - h 上式是中心位置在 y = y0，振动园频率为w0的线性谐振子
解为 w成-对小-为刘 Nn为归一化因子，Hy)为厄密多项式。 相应的能量本征值为 e,=(n+2)ho。 n=0,1,2, ∴y(r)=e&x+0n（y-乃) E()= -器-m 2m 即：根据量子理论，电子在垂直于磁场平面内的匀速圆周 运动对应于一种简谐振动，其能量是量子化的。我们将这 种量子化的能级称为朗道能级(Landau level)
解为 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 exp 2 n n n m m y y N y y H y y w w j é ù é ù - » - - - ê ú ê ú ë û ë û h h Nn为归一化因子，Hn (y)为厄密多项式。 相应的能量本征值为 ( ) 1 n c 2 e w = + n h n=0, 1, 2, … ( ) ( ) ( ) 0 x z i k x k z n y j e y y + \ r = - ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 2 z z n c k k E n m m = + e w = + + h h k h 即：根据量子理论，电子在垂直于磁场平面内的匀速圆周 运动对应于一种简谐振动，其能量是量子化的。我们将这 种量子化的能级称为朗道能级（Landau level）
公式说明沿磁场方向电子 保持自由运动，在垂直磁 场的x-y平面上，电子运动 是量子化的，从准连续的 AE(kz) n=3 品+ 1n=2 /%=1 变为： n=0 (a+ hw. B=0 在这种情况下，电子的能 ho 量由准连续的能谱变成一 ho 维的分立的磁次能带，每 ho 条次能带都成抛物线形状 2 0 图6-17自由电子的一维磁次能带 ,如右图所示
公式说明沿磁场方向电子 保持自由运动，在垂直磁 场的x-y平面上，电子运动 是量子化的，从准连续的 变为： 在这种情况下，电子的能 量由准连续的能谱变成一 维的分立的磁次能带，每 条次能带都成抛物线形状 ，如右图所示。 ( ) 2 2 2 2 x y k k m + h 1 2 c n w æ ö ç ÷ + è ø h wc h wc h wc h 1 2 wc h