§2可积条件(3时) 必要条件 定理1fx)∈R[ab]→f(x)在区间[a,b]上有界 充要条件: 1.思路与方案: 思路:鉴于积分和与分法和介点有关, 简化积分和.用相应于 分法T的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极 限的双逼原理考查积分和有极限,且与分法T及介点与无关的条件 方案:定义上和()和下和纵().研究它们的性质和当 r7→0时有相同极限的充要条件 2. Darboux和:以下总设函数f(x)在区间[a,b]上有界 并设mSf(x)≤M 其中m和M分别是函数(x)在区间[a,b]上的下确界和上确界 定义 Darboux和,指出 Darboux和未必是积分和.但 Darboux和由分 法了唯一确定.分别用()、5()和2(7)记相应于分法T的上(大)和、下 (小)和与积分和,积分和2()是数集(多值),但总有5()≤ Σ(7)≤5(2),因此有5(T)≤8(T s(2)和S(的几何意义 3. Darboux和的性质:本段研究 Darboux和的性质,目的是建立 Darboux定理 先用分点集定义分法和精细分法:T≤表示是T的加细
§ 2 可积条件（ 3 时 ） 必要条件: 定理 1 在区间 上有界. 充要条件: 1. 思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于 分法 的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极 限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无关的条件 . 方案: 定义上和 和下和 . 研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . 2. Darboux 和: 以下总设函数 在区间 上有界. 并设 , 其中 和 分别是函数 在区间 上的下确界和上确界 . 定义 Darboux 和, 指出 Darboux 和未必是积分和 . 但 Darboux 和由分 法 唯一确定. 分别用 、 和 记相应于分法 的上（大）和、下 （小）和与积分和. 积分和 是数集(多值) . 但总有 , 因此有 . 和 的几何意义 . 3. Darboux 和的性质: 本段研究 Darboux 和的性质, 目的是建立 Darboux 定理. 先用分点集定义分法和精细分法: 表示 是 的加细
性质1若?≤T,则(7)≤(")3(m≥5(7.即:分法加细, 大和不增,小和不减 (证) 性质2对任何?,有m(b-a)sS(m),M(b-a)2().即:大和有 下界,小和有上界.(证) 性质3对任何1和2,总有(1)≤8(2).即:小和不会超过大 证 s(21)≤5(21+22) (1+2)≤S(2) 性质4设T是T添加P个新分点的加细.则有 s()≤8(7)≤s()+P(M-m) ()≥8(7")≥8()-p(M-m)|‖ 证 设是只在T中第个区间[x1,列内加上一个新分点不所成的分 法,分别设 M1= M M:= sup f(x) [x4-x 显然有m≤M1 M2≤M1≤M.于 S(-(1)=M2(x2-x21)-M1(x-x21)-M2(x2-x) =(M2-M1)(x-x21)+(M1-M2)(x1-x)≤ ≤(M-m)(x-x21)+(M-m)(x2-x) m2)(x-万2
性质 1 若 , 则 , . 即 : 分法加细, 大和不增,小和不减 . ( 证 ) 性质 2 对任何 , 有 , . 即 : 大和有 下界,小和有上界. ( 证 ) 性质 3 对任何 和 , 总有 . 即: 小和不会超过大 和 . 证 . 性质 4 设 是 添加 个新分点的加细. 则有 + , . 证 设 是只在 中第 个区间 内加上一个新分点 所成的分 法, 分别设 , , . 显然有 和 . 于是
添加个新分点可视为依次添加一个分点进行P次.即证得第二式 可类证第一式 系设分法T有P个分点,则对任何分法T,有 S()-p(M-m)‖sS(T).s(7)+p(M-m)‖T|≥s(7) S()-p(M-m)‖T‖≤S(+7)≤S() s()+P(M-m)T|≥s(7+)≥s( 4.上积分和下积分:设函数(x)在区间[a,b上有界.由以上 性质2 s()有上界,S()有下界,因此它们分别有上确界和下确界 定义 f(x)dx=inf S( Ja f(x)dx 分别称 和L为函数f(x)在区间[a,b]上的上积分和下积分 对区间a.b1上的有界函数(0、和上在在且有限,「≥ 并且对任何分法?,有 SO 上、下积分的几何意义 例1求JD(x)x和5D(x)x.其中D(x)是 Dirichlet函 5. Darboux定理 定理1设函数(x)在区间[a,b]上有界,T是区间[a,b的分 法.则有
添加 个新分点可视为依次添加一个分点进行 次. 即证得第二式. 可类证第一式. 系 设分法 有 个分点，则对任何分法 ，有 ， . 证 . . 4. 上积分和下积分: 设函数 在区间 上有界. 由以上 性质 2 ， 有上界 ， 有下界 . 因此它们分别有上确界和下确界. 定义 记 , . 分别称 和 为函数 在区间 上的上积分和下积分. 对区间 上的有界函数 , 和 存在且有限 , . 并且对任何分法 , 有 . 上、下积分的几何意义. 例 1 求 和 . 其中 是 Dirichlet 函 数 . 5. Darboux 定理 : 定理 1 设函数 在区间 上有界, 是区间 的分 法 . 则有
部。()x f(r)d 部。 s(2)=af(x)2 证(只证第一式.要证:对VE>0,38>0,使当 < 时有 0≤()-l<0≤(m) 是显然的.因此只证 S(T inf S(r) 对 yE>0.3 使 设有P个分点,对任何分法T,由性质4的系,有 (M-m)z S( 由*式,得 5(7)-p(M-m737)上+2,即 3(7)-p(M-m)|7 E 亦即 2 P
= , = . 证 ( 只证第一式 . 要证 : 对 使当 时有 . 是显然的. 因此只证 . ) , 对 , 使 < 设 有 个分点, 对任何分法 , 由性质 4 的系, 有 , 由* 式, 得 < 即 < 亦即 <
6= 于是取 (M-m),(可设M>m,否则f(x)为常值函数, ()对任何 分法T成立,)对任何分法T,只要|<6,就有 e 8 0≤S() 此即 o S(T f(x)dx 6.可积的充要条件 定理2(充要条件1)设函数(x)在区间[a,b上有界 f(x)∈R[a,b f(xdx 设 则有部∑f(△ 即对VE>0,36>0,使当<6时有 ∑八x)△-11 点2∈△x成立 在每个 [x21,x] 上取 n,使 0≤M2-f(m2) 2(b-a) 于是 3()→2f(0n)△x1=∑(M2-f(n) <6 因 时有
于是取 , ( 可设 , 否则 为常值函数, = 对任何 分法 成立. ) 对任何分法 , 只要 , 就有 . 此即 = . 6. 可积的充要条件: 定理 2 （ 充要条件 1 ）设函数 在区间 上有界. = . 证 设 = , 则有 = . 即对 使当 时有 | | < 对 成立. 在每个 上取 , 使 , 于是, | | = < . 因此, 时有