§5微积分学基本定理.定积分计算(续) 本节第一部分的内容主要是利用定积分证明来证明前面多次 提到的问题一连续函数必存在原函数;第二部分的内容主要介绍 定积分的换元积分法及积分分部积分法。 变限积分与原函数存在定理 1、变限积分 设∫在[a,b]上可积,根据积分区间的可加性,对x∈[a,b],∫在 x上也可积,于是,由o(x)=∫f0,xeab 定义了一个以积分上限x为自变量的函数,称为变上限的定积分。 类似地可定义变下限的定积分:
1 §5 微积分学基本定理. 定积分计算（续） 本节第一部分的内容主要是利用定积分证明来证明前面多次 提到的问题—连续函数必存在原函数；第二部分的内容主要介绍 定积分的换元积分法及积分分部积分法。 一、变限积分与原函数存在定理 1、变限积分 [ , ] [ , ], [ , ] ( ) ( ) , [ , ] x a f a b x a b f a x x f t dt x a b x = 设 在 上可积，根据积分区间的可加性，对 在 上也可积，于是，由 定义了一个以积分上限 为自变量的函数，称为变上限的定积分。 类似地可定义变下限的定积分：
H(x)=f(t)t,x∈[a,b Φ(x)、平(x)统称为变限积分(或积分上、下限函数)。 现在的问题是:变限积分(函数)有什么性质? 由于对vx∈[ab],有:「f(=-f()t,因此下面只讨论变 上限积分的性质 定理99若∫在b上可积,则变上限积分(x)=」( 必在[a,b]上连续。(证)
2 ( ) ( ) , [ , ] ( ) ( ) ( [ , ], ( ) ( ) , . 9.9 [ , ] ( ) ( ) [ , ] b x b x x b x a x f t dt x a b x x x a b f t dt f t dt f a b x f t dt a b = = − = 、 统称为变限积分（或积分上、下限函数）。 现在的问题是：变限积分 函数）有什么性质？ 由于对 有： 因此下面只讨论变 上限积分的性质 定理 若 在 上可积，则变上限积分 必在 上连续。（证）
定理说明,变限积分(函数)必在积分区间上连续 定理910(原函数存在定理)若∫在[a,b上连续,则变上限积分 00M0知上可导,且:0(30=(证) 定理说明: 1)、只要f在[a,b]上连续,则其在[a,b]上必存在原函数,且变限积分 c(x)=f(t就是f的一个原函数 2)、本定理沟通了导数(函数平均变化率的极限)与定积分(黎曼 积分和的极限)这两个从表面上看去似不相干的概念之间的桥梁
3 ( . 9.10 [ , ] ( ) ( ) [ , ] ( ) ( ) ( ). ( 1 [ , ] [ , ] ( ) ( ) 2 x x a a x a f a b x f t dt a b x f t dt f x f a b a b x f t dt f = = = = 定理说明，变限积分 函数）必在积分区间上连续 定理 （原函数存在定理）若 在 上连续，则变上限积分 在 上可导，且： 证） 定理说明： ）、只要 在 上连续，则其在 上必存在原函数，且变限积分 就是 的一个原函数。 ）、本定理沟通了导数（函数平均变化率的极 , 限）与定积分（黎曼 积分和的极限）这两个从表面上看去似不相干的概念之间的桥梁
也就是沟通了微分学与积分学的桥梁。因此把本定理称为“微积分 基本定理”。 思考题: 1、可积的函数是否一定存在原函数?存在原函数的函数是否一定可积? 前一个问题可考虑:sgn(x)在[-,1上的可积性与原函数的存在性。 后一个问题可考虑:f(x) x2sin-,x≠0 x ,在[-1,1上是否为 0.x=0 2xsin cOS xx x2x≠0 的原函数?g(x)在[-1,1上是否可 0..x=0 积?
4 2 2 2 1 sgn( ) [ 1 1] 1 sin , 0 ( ) , [ 1, 1] 0, 0 1 2 1 2 sin cos , 0 ( ) , ( 0, , 0 x x x f x x x x x g x g x x x x − = − = − = = 也就是沟通了微分学与积分学的桥梁。因此把本定理称为“微积分 基本定理”。 思考题： 、可积的函数是否一定存在原函数？存在原函数的函数是否一定可积？ 前一个问题可考虑： 在 ， 上的可积性与原函数的存在性。 后一个问题可考虑： 在 上是否为： 的原函数？ x) [ 1, 1] 在 上是否可 − 积？
2)、间:符号∫/(x)j/(xkj/(M有何区别?有何联系? 二、定积分换元积分法与分部积分法 原函数的存在性定理及牛顿一莱不尼茨公式,揭示了定积分 与不定积分之间的关系,因此可以把不定积分的换元积分法与分 部积分法相应地移植到定积分计算上来。 1、定积分的换元积分法 定理912若f在a,b上连续,在,6上有连续的导函数,且满 足:q(a)=a,0(B)=b,a≤(t)≤b,t∈[o,B] 则有定积分换元公式:
5 2 ( ) ( ) ( ) 1 9.12 [ , ] [ ] , , b x a a f x dx f x dx f t dt f a b a b a t = = ）、问：符号 有何区别？有何联系？ 二、定积分换元积分法与分部积分法 原函数的存在性定理及牛顿—莱不尼茨公式，揭示了定积分 与不定积分之间的关系，因此可以把不定积分的换元积分法与分 部积分法相应地移植到定积分计算上来。 、定积分的换元积分法 定理 若 在 上连续， 在 ， 上有连续的导函数，且满 足：（ ） （ ） （ ） b t , [ ], ， 则有定积分换元公式：