第二节收敛数列的性质 冯永平 Fypmath agzhu. edu. cn
第二节 收敛数列的性质 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn
数列极限的性质 1有界性 定理1收敛的数列必定有界 证设 lim x=a,由定义,取8=1 则N,使得当n>N时恒有xn-a<1 即有a-1<xn<a+1. 记M=max{x1,…,xN,a-1,a+1}, 则对一切自然数n皆有xn≤M,故{xn有界 法高;有界性是数列推论无界数列必定发散 收敛的必要条件
定理1 收敛的数列必定有界. 证 lim x a, n n = → 设 由定义, 取 = 1, N, n N x − a 1, 则 使得当 时恒有 n a − 1 x a + 1. 即有 n max{ , , , 1, 1}, 记 M = x1 xN a − a + n, x M, 则对一切自然数 皆有 n 故 有界. xn 注意：有界性是数列 收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 一、数列极限的性质 1.有界性
2唯一性 定理2每个收敛的数列只有一个极限 证设imxn=a,又imxn=b,a<b由定义, 对于E= N1,N2使得 当n>N时恒有xn-a<E; 取N=max{N1,N2 当n>N时恒有xn-b<E 则当n>N时有 b-a na< bl< n 2 a+b a+b x,< y,> 矛盾! 上式仅当=b时才能成立故极跟唯一E
2.唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 证 x a xn b a b n n n = = → → 设 lim ,又 lim , 由定义, 对 于 , , .使 得 2 N1 N2 b a − = ; 1 n N x − a 当 时恒有 n ; 2 n N x − b 当 时恒有 n max , , 取N = N1 N2 则当n N时有 2 b a xn a − − 即 矛盾！ 2 , 2 a b x a b xn n + + 上式仅当a = b时才能成立. 故极限唯一. 2 b a xn b − −
3保号性 定理3若iman=a>0或a<0),则对任意r∈0,a) n→0 (或r∈(0,a)),丑N,n>N时有an>r(或an<r) 4保不等性 定理4若mma,lmb均存在,并且N,n>M时an≤b 则 lim a lim b n→0
3.保号性 定理3 若 ，则对任意 .（或 ） ， lim = 0( 0) → an a a n 或 r (0,a) r (0,a) N, n N a r( a r) 时有 n 或 n 定理4 若 均存在，并且 则： 4.保不等性 n n n n a b → → lim ,lim N n N an bn , 时 n n n n a b → → lim lim
例1设xn>0,且 limx=a>0, 求证 limax=√a 证任给e>0,; limx=a, 彐N使得当n>N时恒有xn-a<E, 从而有 < < x.+√ 故im√xn n→0
例 1 lim . 0, lim 0, x a x x a n n n n n = = → → 求证设 且 证 任给 0 , lim x a. n n = → 故 lim x a, n n = → N n N x a , n 使得当 时恒有 − x a x a x a nn n +− 从而有 − = a xn − a a