引入:由定积分计算引出 思路:表达面积函数(x)=[f()k 微积分学基本定理 1.微积分学基本定理 定理1(微积分学基本定理)若函数feC[a,b则面积函数 重(x)=[f()dt 在b1可导,且2a2 即当 J∈Ca.b]时,面积函数 (x)=[f(t 可导且在点x∈[a,b的导数恰 为被积函数在上限的值亦即(x)是f(x)的一个原函数 证:连续函数必有原函数 2. Newton- Leibniz公式: 定理2(N一L公式)(证) 例 i>0 1i>a In xdx 例2 例361+x 与§1例3联系) 例4设了∈Ca1()20但()0,证明o 证明分析:证明 0= f(x)dx f(x)dx
引入：由定积分计算引出 . 思路：表达面积函数 . 一． 微积分学基本定理： 1. 微积分学基本定理： 定理 1 （ 微积分学基本定理 ）若函数 则面积函数 在 上可导，且 = . 即当 时, 面积函数 可导且在点 的导数恰 为被积函数在上限的值. 亦即 是 的一个原函数 . 证:连续函数必有原函数. 2. Newton — Leibniz 公式： 定理 2 （ N — L 公式 ）( 证 ) 例 1 ⅰ> ; ⅱ> ; 例 2 . 例 3 . ( 与§1 例 3 联系 ) 例 4 设 但 ， 证明 >0. 证明分析: 证明
设4()(),只要证明4()<40).为此证明: i)Φ(x),(只要中(x)≥0):i)但x)不是常值函数(只要 (x)≠0 ),ⅲ)又(a)≥0 (证) 例5证明 利用[0,1]上的不等式 0≤ < 1+x 定积分换元法: 定理3设J∈C[a,b函数满足条件: i)>如a)=a,=b,且“≤0sb,t∈[a.月 i>c)在[a.上有连续的导函数 f(x)ax=]几c()()dt 则 例6 [1]P305E4) tcos tdt 例7 ([1]P305E5) 例8 以身心=m(1+x 该例为技巧积分. 例9 0 x+ya 该例亦为技巧积分 f(x)dx 例10已知2 求
设 , 只要证明 . 为此证明: ⅰ） ↗ ( 只要 )； ⅱ） 但 不是常值函数 (只要 ), ⅲ） 又 . ( 证 ) 例 5 证明 ( 利用[0,1]上的不等式 ) 二． 定积分换元法： 定理 3 设 函数 满足条件： ⅰ> , 且 ; ⅱ> 在 上有连续的导函数. 则 . （ 证 ） 例 6 . ( [1]P305 E4 ) 例 7 . ( [1]P305 E5 ) 例 8 计算 . 该例为技巧积分. 例 9 . 该例亦为技巧积分. 例 10 已知 , 求
f(x)d 例11设函数f(x)连续且有0 求积分 f(t)dt f( 3 例12设(x)是区间一a,a](a>0上连续的奇(或偶函数)函数,则 f(x f(x)dx=2 f(x)d: 例13 三.分部积分公式 定理4(分部积分公式) xe"dx 例14 例15计J, sin" xdx=[2c32 J 解 1+Ecos x(sin*-x)'dx ax=(n-1)J2-2-(n-1)J 解得 直接求得
例 11 设函数 连续且有 求积分 例 12 设 是区间 上连续的奇（或偶函数）函数，则 ， （ . ） 例 13 三. 分部积分公式: 定理 4 ( 分部积分公式 ) 例 14 例 15 计算 . 解 = ； 解得 直接求得 ，
22 于是,当n为偶数时,有 n-1n-331 42≈(2-1(n-3…531z(2-1)z n(n-2)…422川2 1n-342_(n2-1) 当n为奇数 习 题 课 积分不等式: 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式: 例1证明不等式n1x-5 ∈2 x2-x+1≤1 证注意在区间[0,1]上有4 例 证明不等式(n+1)<1++…+<1+mn f(x) ≤x<n+1 1,2 证考虑函数 g(x)=-,x∈[1,+0) 易见对任何n,在区间[1,n+1]上g(x)和f(x)均单调,因此可积,且有 g(x)<f(x) 注意到 g(x)≠f(x),就 g(x)dx< [f(x)dx 有 而 ∫(x)=∑J(xax=Ea=∑
于是, 当 为偶数时, 有 ; 当 为奇数时, 有 . 习 题 课 一． 积分不等式： 1． 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式： 例 1 证明不等式 . 证 注意在区间 [ 0 , 1 ]上有 , …… 例 2 证明不等式 . 证 考虑函数 , . 易见对任何 , 在区间 上 和 均单调, 因此可积,且有 , 注意到 , 就 有 . 而
g(x)dx l(n+1)<E2=1 因此有 f(x)= ≤x<n+1,n=1.2 n+1 g(x)=-,x∈[1,+0) g(x)dx>f(x)dx 在区间[1,n+1]仿以上讨论,有 (xdx=In n, x)dx= 1台i+123 +二<1+1nn 72 综上,有不等式 ln(n+1)<1+-+…+-<1+hnn 某些不等式的积分推广 原理:设函数f(x)和8(x)在区间[a,b]上可积.T为区间[a,b]的n 等分分法,与日[巧小列].若对任何和1≤i≤,均有 ∑/()≤∑g)
. 因此有 . 取 , . 在区间 仿以上讨论, 有 . 而 ， . 综上 , 有不等式 . 某些不等式的积分推广: 原理: 设函数 和 在区间 上可积. 为区间 的 等分分法, . 若对任何 和 , 均有