第九章定积分 §1定积分的概念 教学内容:1)定积分概念的引入 2)“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3)定积分的数学定义 重点:定积分的数学定义 难点:“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立 定积分概念的引入 背景: 1曲边梯形的面积 2.变力所作的功 1曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形,三角形,梯形等面积的计算,这些图形有 个共同的特征:每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是 曲边图形,他们的面积怎么计算呢?我们通常用一些小矩形面积的和来近似它 b b (四个小矩形) 九个小矩形) 曲边梯形面 积演示 上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精度高,但这 样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲边图形的准确面积呢? 比如举世瞩目的长江三峡溢流坝,其断面形状是根据流体力学原理设计的, 如图1所示,上端一段是是抛物线,中间部分是直线,下面部分是圆弧。建造这 样的大坝自然要根据它的体积备料,计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它
第九章 定 积 分 § 1 定积分的概念 教学内容： 1) 定积分概念的引入 2） “分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3) 定积分的数学定义 重 点： 定积分的数学定义 难 点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立 定积分概念的引入 一． 背景： 1 曲边梯形的面积: 2. 变力所作的功: 1 曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算，这些图形有一 个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是 曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。 [曲边梯形面 积演示] 上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精度高，但这 样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲边图形的准确面积呢？ 比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学原理设计的， 如图 1 所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线，下面部分是圆弧。建造这 样的大坝自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它
的断面面积。该断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢?在介绍微分 定义时我们已经知道,直与曲虽然是一对矛盾,但它们可以相互转化,早在三国 时代,我代数学家刘徽就提出了“割圆术”,以“直”代“曲”把圆的面积近似 看成多边形面积来计算。现在我们来计算一下溢流坝上部断面面积。 图1长江三峡溢流坝断面 假设抛物线方程为 ∈0,1 将[O,]等分成n等份,抛物线下面部分分割成n个小曲边梯形第i个小曲边 梯形用宽为n,高为 的矩形代替 它的面积
的断面面积。该断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢？在介绍微分 定义时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，早在三国 时代，我代数学家刘徽就提出了“割圆术”，以“直”代“曲”把圆的面积近似 看成多边形面积来计算。现在我们来计算一下溢流坝上部断面面积。 假设抛物线方程为 将 等分成 n 等份，抛物线下面部分分割成 n 个小曲边梯形第 i 个小曲边 梯形用宽为 ，高为 的矩形代替， 它的面积
所求的总面积 n 2n“-3n+12 我们分别取n=10,50,100用计算机把它的图象画出来,并计算出面积的 近似值 cIf, n=10 x=0:1/n:1 sn=sum((1/n)*(1-x.2)) bar(x,y,’m) 0.7150 0.8 00.10.203040.5D60.7080.9 cIf, n=5 0:1/n:1 1-x.2 sum((1/n)*(1-x.2)
所求的总面积 我们分别取 n=10, 50, 100 用计算机把它的图象画出来，并计算出面积的 近似值： clf, n=10; x=0:1/n:1; y=1-x.^2; y1='1-x.^2'; sn=sum((1/n)*(1-x.^2)) bar(x,y,'m') sn = 0.7150 clf, n=50; x=0:1/n:1; y=1-x.^2; y1='1-x.^2'; sum((1/n)*(1-x.^2))
bar(x,y,’m'),axis([0,1,0,1]) ans=0.6766 0.10.2030.40.5060.70.80.91 cIf. n=100 =0:1/n:1 sum((1/n)*(1-x.2)) bar(x,y,’m) 0.6717 0.1 0.2030. 0.50.60.7 S(10)=0.7150 S(50)= 0.6766; S(100)=0.6717 由此可知,分割越细,越接近面积准确值0666
bar(x,y,'m'), axis([0,1,0,1]) ans =0.6766 clf, n=100; x=0:1/n:1; y=1-x.^2; y1='1-x.^2'; sum((1/n)*(1-x.^2)) bar(x,y,'m') ans = 0.6717 S(10)= 0.7150; S(50)= 0.6766; S(100)=0.6717 由此可知，分割越细，越接近面积准确值
再看一个变力做功的问题 设质点m受力2(x)的作用,沿直线由A点运动到B点,求变力(x作 的功 F虽然是变力,但在很短一段间隔内△x,F的变化不大,可近似看作是常 力作功问题。按照求曲边梯形 面积的思想, [a,b作分割 b 当每个小区间的长度都很小时,小区间[x1,列上的力 FsF(2),2∈[x21,x] 在x-1上,力F作的功 △WsF(2)A 2)求和 力F在[a,上作的功 W=∑△W≈∑F(5)△x 分割越细,近似程度,分割无限细时,即分割细度‖l=max(x)→0 3)取极限对上面和式取极限,极限值,就是力在[a,]上作的功。 从上面两个例子看出,不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功,它们都 归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”,或者说都归结为形如 ∑f(5x 的和式极限问题[演示]。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来,作为一个数 学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义
再看一个变力做功的问题。 设 质点 m 受力 的作用，沿直线由 A 点运动到 B 点，求变力 作 的功 F 虽然是变力，但在很短一段间隔内 ，F 的变化不大，可近似看作是常 力作功问题。按照求曲边梯形 面积的思想， 1） 对 作分割 当每个小区间 的长度都很小时，小区间 上的力 在 上，力 F 作的功 2）求 和 力 F 在 上作的功 分割越细，近似程度，分割无限细时，即分割细度 ， 3）取极限 对上面和式取极限，极限值,就是力在 上作的功。 从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都 归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如 的和式极限问题[演示]。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数 学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义