第三章函数极限 §1函数极限概念 趋于∞时函数的极限 设函数定义在a,+∞)上,类似于数列情形,我们研究当自变量x趋于 +0时,对应的函数值能否无限地接近于某个定数H。例如,对于函数 0.12 002 33540465056 从图象上可见,当x无限增大时,函数值无限地接近于0; 而对于函数(x)= arctan x,则当不趋于+O时函数值无限地接近于 我们称这两个函数当x→+00时有极限
1 第三章 函 数 极 限 §1 函数极限概念 一 趋于 时函数的极限 设函数 定义在 上，类似于数列情形，我们研究当自变量 趋于 时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数 。例如，对于函数 从图象上可见，当 无限增大时，函数值无限地接近于 0； 而对于函数 ，则当 趋于 时函数值无限地接近于 。我们称这两个函数当 时有极限
一般地,当趋于+0时函数极限的精确定义如下: 定义1设/定义在口+)上的函数,A为定数,若对任给的C>0, 存在正数 Ma),使得当>M时分人/(x)-4<e ,则称函数当 趋于+0O时以A为极限,记作x→+ 或 f()→A(x→+o) 说明:(1)、在定义1中正数M的作用与数列极限定义中的相类似,表 明不充分大的程度;但这里所考虑的是比M大的所有实数x,而不仅仅是正 整数2,因此,当趋于+0O时函数以A为极限意味着:A的任意 小邻域内必含有在十C的某邻域内的全部函数值。 (2)、定义1的几何意义如下图所示, 对任给的>0,在坐标平面上平行于x轴的两条直线少=A÷兄均 A-E y=A 围成以直线 为中心线、宽为∠E的带形区域;定义中的
2 一般地，当 趋于 时函数极限的精确定义如下： 定义 1 设 定义在 上的函数， 为定数。若对任给的 ， 存在正数 ，使得当 时, 有 ，则称函数 当 趋于 时以 为极限，记作 或 。 说明:(1)、在定义 1 中正数 的作用与数列极限定义中 的相类似，表 明 充分大的程度；但这里所考虑的是比 大的所有实数 ，而不仅仅是正 整数 。因此，当 趋于 时函数 以 为极限意味着： 的任意 小邻域内必含有 在 的某邻域内的全部函数值。 (2)、定义 1 的几何意义如下图所示， 对任给的 ，在坐标平面上平行于 轴的两条直线 与 ，围成以直线 为中心线、宽为 的带形区域；定义中的
“当x>M时有 f(x)-4 <E 表示:在直线x=M的右方,曲线 y=J(x)全部落在这个带形区域之内。如果正数C给的小一点,即当带形区域 更窄一点,那么直线x M 一般要往右平移;但无论带形区域如何窄,总存 在这样的正数M「,使得曲线y=(x)在线x=M的右边部分全部落在 这更窄的带形区域内。 定义1的否定叙述:定义1,设定义在+Q)上的函数,A为定 数。若存在某个E。>0,对任意充分大的正数M,总存在某个x。>M,使 得:(x)-4≥E,则称函数当不趋于+时不以A为极限 (3、现设J为定义在()或(∞)上的函数,当x→-或 x→>∞时,若函数值(x)能无限地接近某定数A,则称/当x→>-0 或x→0时以A为极限,分别记作 f(x)→A(x→>-∞) mf(x)=A 或 f(x)→>A{(x→∞) 这两种函数极限的精确定义与定义1相仿,只须把定义1中的“x>M 分别改为“x<-M >M 或 即可 问题 imf(x)≠A或lmf(x)≠A的否定叙述的定义又如何写? x→-0 (4)、显然,若为定义在 上的函数,则
3 “当 时有 ”表示：在直线 的右方，曲线 全部落在这个带形区域之内。如果正数 给的小一点，即当带形区域 更窄一点，那么直线 一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存 在这样的正数 ，使得曲线 在直线 的右边部分全部落在 这更窄的带形区域内。 定义 1 的否定叙述: 定义 1’ 设 定义在 上的函数， 为定 数。若存在某个 0 ，对任意充分大的正数 M ，总存在某个 x M ,使 得: f (x ) − A 0 ，则称函数 当 趋于 时不以 为极限. (3)、现设 为定义在 或 上的函数，当 或 时，若函数值 能无限地接近某定数 ，则称 当 或 时以 为极限，分别记作: 或 ; 或 这两种函数极限的精确定义与定义 1 相仿，只须把定义 1 中的“ ” 分别改为“ ”或 “ ”即可。 问题: lim f (x) A 或 lim f (x) A的否定叙述的定义又如何写? x x →− → (4)、显然,若 为定义在 上的函数，则
limf()=A+ lim f()=limff)=A X→+ (1)(返回) lim -=0 例1证明 x→x 证任给E>0,取 e,则当{|>M 时,有 X M In 所以 → 例2证明:1)x→9 Arctan x=、才 lim 丌 lim arctan= 2) 证任给E>0,由于 arctan x <e
4 （1）(返回) 例 1 证明 。 证 任给 ，取 ，则当 时,有: 所以 。 例 2 证明：1） ； 2） 证 任给 ，由于 （ 2）
丌 arctan x< f 等价于 2,而此不等式的左半部分对任何x都成立 8< 所以只要考察其右半部分x的变化范围。为此,先限制2,则有 x< tan e -tan --8 丌 M=tan 2 故对任给的正数 ,只须取 ,则当 <-M 时,便有(2)式成立。这就证明了1)。 类似地可证2) 注由结论(1)知当→C时 arctan x不存在极限,为 什么? x趋于0时函数的极限 设为定义在和0某个空心邻域(x)内的函数。现在讨论当x趋于x0 (x≠邓)时,对应的函数值能否趋 于某个定数A。这类函数极限的精确定义如下: 定义2(函数极限的e-6定义)设函数f在和某个空心邻域x。)内有 定义,A为定数。若对任给 的e>0,存在正数6(),使得当0一列<6时有(x)-4<,则称函数f 当x趋于0时以A为 极限,记作x→x 或f(x)→A(x→x) 下面我们举例说明如何应用2-8定义来验证这种类型的函数极限。请读者 特别注意以下各例中8的值是 怎样确定的
5 等价于 ，而此不等式的左半部分对任何 都成立， 所以只要考察其右半部分 的变化范围。为此，先限制 ，则有 故对任给的正数 ，只须取 ，则当 时,便有（2）式成立。这就证明了 1）。 类似地可证 2）。 注 由结论（1）可知，当 时 不存在极限。(为 什么?) 二 趋于 时函数的极限 设 为定义在 某个空心邻域 内的函数。现在讨论当 趋于 时，对应的函数值能否趋 于某个定数 。这类函数极限的精确定义如下： 定义 2（函数极限的 定义）设函数 在 某个空心邻域 内有 定义， 为定数。若对任给 的 ，存在正数 ，使得当 时有 ，则称函数 当 趋于 时以 为 极限，记作 或 。 下面我们举例说明如何应用 定义来验证这种类型的函数极限。请读者 特别注意以下各例中 的值是 怎样确定的