第二节函数极限的性质 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn
第二节 函数极限的性质 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn
六种极限 lim f(; lim f (x); x→+0 x→x lim f(x); lim f(r); x→一0 x→>x0 lim f() lim f(x); x→0 x→>0
六种极限 lim f (x); x→+ lim f (x); x→− lim f (x); x→ lim ( ); 0 f x x→x lim ( ); 0 f x x x → + lim ( ); 0 f x x x → −
函数极限的性质 1局部有界性 定理若当x→x时f(x)有极限,则存在x 的一个邻域U/(x),在此邻域内f(x)有界 2唯一性 定理若limf(x)存在,则极限唯一
一 函数极限的性质 1.局部有界性 定 理 若 当x → x0时 f (x) 有极限,则存在 x0 的一个邻域 ( ) 0 0 U x ,在此邻域内f (x) 有界. 2.唯一性 定理 若lim f ( x)存在,则极限唯一
3局部保号性 定理若lmf(x)=A,且A>0或4<0, 则8>0,当x∈U"(x,δ)时,f(x)>0或f(x)<0) 推论若δ>0,当x∈U"(x0,δ)时,f(x)≥0或f(x)≤0), 且im∫(x)=A,则A≥0(或4≤0) x→x 4局部保不等性 设limf∫(x)与lmg(x)都存在,且在某邻域 定理 x→x x→x U0(xni:δ肭内有f(x)≤g(x,则imf(x)≤limg(x) x→x
, x U x , , f x f x . lim f x A, A A x x 0 ( ) ( ) 0( ( ) 0) ( ) 0( 0), 0 0 0 = → 则 当 时 或 若 且 或 定理 lim ( ) , 0( 0). 0, ( , ) , ( ) 0( ( ) 0), 0 0 0 = → f x A A A x U x f x f x x x 且 则 或 推论 若 当 时 或 3.局部保号性 4.局部保不等性 ( ; ) ( ) ( ), lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 0 0 0 U x f x g x f x g x f x g x x x x x x x x x → → → → 内 有 则 设 与 都存在，且在某邻域 定理
5夹逼准则 设lm∫(x)=limg(x)=A,且在某U/(x0;内有 x→x x→>x0 ∫(x)≤h(x)≤g(x) 则lim(x)=A. x→x 本定理既给出了判别函数极限存在的方法;又提供 了一个计算函数极限的方法
5.夹逼准则 本定理既给出了判别函数极限存在的方法；又提供 了一个计算函数极限的方法。 lim ( ) . ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) , ( ; ) 0 0 0 0 0 h x A f x h x g x f x g x A U x x x x x x x = = = → → → 则 设 且在某 内 有