设总体的分布类型已知,但含有多个未知参数 ,2…B,这时总体的概率函数为f(xB,2…0)设 x12X2 x)为总体Ⅹ的一个样本观察值,若似然函数 L(,02,…0)=(x,x2…x2,O2…0)=∏f(x:,2…,0) 将其取对数,然后对a2…求偏导数得 aIn L(e1 ) 0 工工工 onL(1,⊙2,…6) 0 06 该方程组的解=0(xx2…x)1=12…k,即为的极 大似然估计值. 上页
设总体的分布类型已知,但含有多个未知参数 k , , , 1 2 ，这时总体的概率函数为 ( ; , , , ) 1 2 k f x .设 ( , , , ) 1 2 n x x x 为总体 X 的一个样本观察值,若似然函数 = = = n i k k k i k L L x x x f x 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ,, ) ( , ,, ; , ,, ) ( ; , ,, ) 将其取对数,然后对 k , , , 1 2 求偏导数,得 = = 0 ln ( , , , ) 0 ln ( , , , ) 1 2 1 1 2 k k k L L 该方程组的解 x x x i k i i n ( , , , ), 1,2, , ˆ ˆ = 1 2 = ,即 为 i 的 极 大似然估计值
求极大似然估计的一般步骤归纳如下: r(1)求似然函数O); (2)求出h及方程动hlO)=0; (3)解上述方程得到极大似然估计值 0=6(x1,x2,2xn (4)解上述方程得到极大似然估计量 =(X1,2X2 X 上页
求极大似然估计的一般步骤归纳如下： （1）求似然函数L( )； （2）求出ln L( )及方程 ln ( ) = 0 L d d ； （3）解上述方程得到极大似然估计值 ( , , , ) ˆ ˆ 1 2 n = x x x . （4）解上述方程得到极大似然估计量 ( , , , ) ˆ ˆ = X1 X2 Xn
例:设随机变量X服从泊松分布: P=}=2e k=0,1,2, k 十其中入>0是一未知参数,求的极大似然估计 解设(x1,x2,…,Xn)是样本(X1,X22X)的一组观测值 中于是似然函数 x 工工工 1(4)=D(4x,x2…,x,)=(e2)=—emn =1x. ∏x 中两边取对数得 hnL()=-m+h∑x∑m(x) 上页
, 0,1,2,... ! { = } = = − k k e P X k k ( ) ( ; , ,..., ) 1 2 n L = L x x x = = = − + − n i n i i i L n x x 1 1 ln () ln ln( !) • 例:设随机变量X服从泊松分布: 其中λ>0是一未知参数,求λ的极大似然估计. 解 设(x1 ,x2 ,…,xn )是样本 (X1 ,X2 ,…,Xn )的一组观测值. 于是似然函数 两边取对数得 ) ! ( 1 − = = e x n i i xi n n i i x e x n i i − = = = 1 1
令 dlhL(入 1+ =0 入 入 广解这一方程得 入=x且 d2hL(入 <0 入 从而得出λ的极大似然估计量为=X 上页
0 ln ( ) 1 1 = = − + = n i i n x d d L 令 0 ~ ln ( ) ~ 2 2 = =x d d L x 且 X ~ 从而得出λ的极大似然估计量为 = 解这一方程得
王例:设总体x服从参数为A的指数分布,其中入未 牛知,(x…x)为从总体抽取一个样本,(x,x…x) 为其样本观测值,试求参数入的极大似然估计值和 估计量. 解总体X服从参数为入的指数分布,则有 he x>o f( x) 0 x<0 ∑x 所以似然函数为(4)=x"e 上页
例：设总体 X 服从参数为λ的指数分布，其中λ未 知，( , , , ) X1 X2 Xn 为从总体抽取一个样本，( , , , ) 1 2 n x x x 为其样本观测值，试求参数λ的极大似然估计值和 估计量. 解 总体X服从参数为λ的指数分布，则有 = − 0 0 0 ( ; ) x e x f x x 所以似然函数为 = = − n i i x n L e 1 ( )