二、误差分析 对n阶 Newton- Cotes公式(2.1),记 ()=J(xk,、()=(b-a)/(x)(23) k=0 则误差为E,(f=I(f)-n(f) 假定∫(x)在[,b上足够光滑,则: 当n=1(即梯形公式)时 b E(O)=K()f"() 其中: K1()=(t-a)(t-b)/2, 称为关于梯形公式的 Peano核 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
26 上一页 下一页 二、误差分析 ( ) = b a I f f (x)dx, 对n阶Newton-Cotes公式（2.1），记 ( ) （2.3） = = − n k k n I n f b a ck f x 0 ( ) ( ) ( ) E ( f ) I( f ) I ( f ). 则误差为 n = − n 假定 f (x) 在 [a,b] 上足够光滑，则： 当 n = 1 （即梯形公式）时 = b a E ( f ) K (t) f (t)dt 1 1 其中： ( ) ( )( )/ 2, K1 t = t − a t − b 称为关于梯形公式的Peano核
当n=2(即辛甫生公式)时 b E2()=」K()m(t (2.6) 其中 (t-a)(3t-a-2b), ast<a+b 称为关于辛甫生公式的Pean≤sb(2.7) k2()={72 2 a+b 72 (b-t)°(b+2a-3t) copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
27 上一页 下一页 当 n = 2 （即辛甫生公式）时 = b a E ( f ) K (t) f (t)dt (4) 2 2 （2.6） 其中： + − + − + − − − = t b a b b t b a t a b t a t a b a t K t 2 ( ) ( 2 3 ), 72 1 2 ( ) (3 2 ), 72 1 ( ) 3 3 2 （2.7） 称为关于辛甫生公式的Peano核
注意到(2.5)、(2.6)中 Peano核的保号性, 所以由积分中值定理有: E()=f(引)K1(l, E2(∫)=f“(5)K2()dt 对3≤n≤5的阶 Newton-Cotes公式可作同样的 讨论,最后可得如下误差(h=(b-a)/m) copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
28 上一页 下一页 注意到（2.5）、（2.6）中Peano核的保号性， = b a E ( f ) f ( ) K (t)dt, 1 1 = b a E ( f ) f ( ) K (t)dt 2 (4) 2 对 3 n 5 的 n 阶Newton-Cotes公式可作同样的 讨论，最后可得如下误差 (h = (b − a)/ n) ： 所以由积分中值定理有：
hf(4),n=1, 12 hf(4),n=2, 90 3 E,(f)= hf“(2),n=3, (2.8) 80 8 hf6(4),n 945 275 hf6(5),n=5. 12096 结论:n阶 Newton-Cotes公式的代数精度为: n+1,当n为偶数时, 当n为奇数时 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
29 上一页 下一页 （2.8） 结论：n阶Newton-Cotes公式的代数精度为： d = n + 1, 当n为偶数时, n, 当n为奇数时. − = − = − = − = − = = ( ), 5. 12096 275 ( ), 4, 945 8 ( ), 3, 80 3 ( ), 2, 90 1 ( ), 1, 12 1 ( ) 7 (6) 7 (6) 5 (4) 5 (4) 3 (2) h f n h f n h f n h f n h f n E f n
三、收敛性问题 例如:利用牛顿-柯特斯公式计算积分: 4 dx 1+y 解:积分的准确结果为 4 dx=2 arg tan4≈26516 41+x 但用n阶牛顿-柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
30 上一页 下一页 三、收敛性问题 − + = 4 4 2 1 1 dx x I − + = 4 4 2 1 1 dx x I 例如: 利用牛顿-柯特斯公式计算积分： 解：积分的准确结果为： 但用n阶牛顿-柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果 = 2argtan4 2.6516