10.2正则奇点邻域德奇数解法 求解二阶微分方程：y+p(x)y+(x)=0 若选定的xo是p(x)或q(x)的奇点，p(x)和q()不再能都展开 以x为中心的泰勒级数，一般地说应展开为罗朗级数 ()2(-)+(x-)”,-*或正整数，> 或 )-2s(e-+4(x-2.-x+2s0k- s1-s2=0或正整数，S1之s 这种形式的解为正则解，点称为正则奇点. 正则奇点的充分必要条件：o点为p()的不高于一阶的极点， 为q(z)的不高于二阶的极点
11 §10.2 正则奇点邻域德奇数解法 求解二阶微分方程： ( ) ( ) " ' y p x y q x + + = 0 若选定的x0是p (x)或q (x)的奇点， p (x)和q (x)不再能都展开 以x0为中心的泰勒级数，一般地说应展开为罗朗级数. ( ) ( ) ( ) 1 2 ' 0 0 0 0 , k s k s k k k k y x c x x c x x + + = = = − + − 1 2 s s − 0 或正整数， 1 2 s s 这种形式的解为正则解，z0点称为正则奇点. 正则奇点的充分必要条件：z0点为p (z)的不高于一阶的极点， 为q (z)的不高于二阶的极点。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 ' 0 0 0 0 0 0 0 ln k s k s k s k k k k k k y x c x x A x x c x x c x x + + + = = = = − + − − + − 或 1 2 s s − = 0 或正整数， 1 2 s s
例1在xo=0邻域上求解4y”+2y+y=0 解：()2x(红=0x=)是方程的正则奇点 -x 比较最低幂次项x1的系数，即=0 4s(S-1)+2s=0一指标方程. →s(2s-)=0户=20=0，-5≠0或正整数，>， 比较xkw的系数， 4(k+s+1)(k+s)c+1+2(k+s+1)c+1+cx=0 Ck+1= (2k+2s+2)(2k+2s+1C4 递推公式， c1=-(2k+3)2k+习 C1= 3.2 Co 3! C0 2
12 例1 在x0= 0邻域上求解 " ' 4 2 0 xy y y + + = 解： ( ) ( ) ( ) 1 1 , , 0 0 2 4 p x q x z x x x = = = = 是方程的正则奇点. 比较最低幂次项x s -1的系数，即k=0 4 1 2 0 s s s ( − + = ) —— 指标方程. s s (2 1 0 − =) 1 2 1 , 0, 2 s s = = 1 2 s s − 0 或正整数， 1 2 s s ( ) 0 k s k k y x c x + = = 比较x k +s的系数， ( )( ) ( ) 1 1 4 1 2 1 0 k k k k s k s c k s c c + + + + + + + = + + ( )( ) 1 1 2 2 2 2 2 1 k k c c k s k s + = − + + + + —— 递推公式. 1 1 : 2 s = ( )( ) 1 1 2 3 2 2 k k c c k k + = − + + 1 0 0 1 1 , 3 2 3! c c c = − = − ( ) 2 2 1 0 1 1 , 5 4 5! c c c = − = −