线性代数考研模拟_考研模拟

左乘A得k1Aa1+k2A2+…+kAa3=0 当a1,2,…a3相关,必有不全为零的k,k2,…k使上两式成 立。故选(A)。其他选项不一定成立。 2)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的 第1列的(-1)倍加到第2列得C,记P=010,则(B)。 001 (A) C=P AP (B)C=PAP- (C) C=P AP (D)C=PAP 0 [思路]B=010A→C=B010 00 001 C=010A010=PAP 00 00 三、计算证明题 x1+x2+x3+x4=-1 1)已知非齐次方程组{4x+3x2+5x-x4=-1 ax1+x2+3x3+bx4=1 有3个线性无关解。 (I)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2; (Ⅱ)求a,b的值及方程组的通解

10 左乘 A 得 k1Aα1 + k2Aα2 ++ ksAαs = 0 当 α α αs , , , 1 2  相关，必有不全为零的 s k , k , , k 1 2  使上两式成 立。故选（A）。其他选项不一定成立。 2）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的 第 1 列的 (−1) 倍加到第 2 列得 C，记           = 0 0 1 0 1 0 1 1 0 P ，则（（B））。 （A） C P AP −1 = （B） −1 C = PAP （C） C P AP T = （D） T C = PAP [思路]           −  =           = 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 B A C B 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 − =           −           C = A PAP 。 三、计算证明题 1）已知非齐次方程组      + + + = + + − = − + + + = − 3 1 4 3 5 1 1 1 2 3 4 1 2 5 4 1 2 3 4 ax x x bx x x x x x x x x 有 3 个线性无关解。 （I）证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A) = 2 ； （Ⅱ）求 a, b 的值及方程组的通解

[思路](1)设AX=β的三个无关解为51,2,53→则 X1=号1-2,X2=81-83是AX=0的两个无关解。 →n-r(A)=4-r(A)≥2→r(A)≤2 因A中有二阶子式≠0,∴7(A)=2。 43 (Ⅱ)由AX=阝有解,且r(A)=2。 4-2a=0 r(A)=r(A|B)→ 4a+b-5=0 b=-3 →AX=β的通解 X=k(-2,1,10)+k2(4,-5,0,1)+(2,-3,0,0)y。 2)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量 1=(-1,2,-1),a2=(0,-1,1)2是AX=0的两个解 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量。 (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角阵A,使QAQ=A。 [思路](D由A1=3=31→4=3,a3=(1,1, 由Aa1=01,Aa2=02→A1=0,A2=0 a1a2为2=0的两个无关特征向量。 (I把a1,a2正交化,单位化,把u3单位化得E1,E2,E3 正交向量

11 [思路] （I）设 A X = β 34 的三个无关解为 1 ,  2 ,  3  则 1 1 2 2 1 3 X = ξ − ξ , X = ξ − ξ 是 AX = 0 的两个无关解。 n − r(A) = 4− r(A)  2r(A)  2 因 A 中有二阶子式 0, ( ) 2 4 3 1 1   r A = 。 （Ⅱ）由 AX = β 有解，且 r(A) = 2。    = − =     + − = − = =  3 2 4 5 0 4 2 0 ( ) ( | ) b a a b a r A r A B  AX = β 的通解 T T T k ( 2,1,1, 0) k (4, 5, 0,1) (2, 3, 0, 0) X = 1 − + 2 − + − 。 2）设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 T T ( 1, 2, 1) , (0, 1,1) α1 = − − α2 = − 是 AX = 0 的两个解 （I）求 A 的特征值与特征向量。 （Ⅱ）求正交矩阵 Q 和对角阵  ，使 Q AQ =  T 。 [思路] （I）由 3, 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1  3 =           =           =           A  T (1,1,1) α3 = 由 Aα1 = 0α1 , Aα2 = 0α2  1 = 0, 2 = 0 1 2 α , α 为  = 0 的两个无关特征向量。 （Ⅱ）把 1 2 α , α 正交化，单位化，把 α3 单位化得 1 2 3 ε , ε , ε 正交向量

Q=(E1E283),QAQ=QAQ= 0 模拟题(二) 填空题 (1)三阶实对称矩阵的三个不同特征值为入,2,3,A,2对 应的特征向量分别为a1=(,a,1),a2=(a,a+1,1)2,则3对应的 特征向量a3=(1,2,1) [思路]因对称阵不同特征值对应的特征向量正交由a1a2=0 求出a=-1,由aa3=0,23=0求出a3 121 (2)A=011,3×4阶方阵B≠0,且AB=0,则矩阵B 341 的秩1 [思路]由AB=0→r(A)+r(B)≤3 3×3 由r(A)=2→r(B)≤1,B≠0,∴r(B)=1 二、选择题 1)设u,阝,r是三维向量,矩阵A=(0,B,r),|A|=-5,则三阶 行列式4r-a,阝-2r,2a等于((A) (A)40(B)5 (C)-40 (D)-5

12           = = = − 3 0 0 ( ), 1 Q ε1 ε2 ε3 Q AQ Q AQ T 。 模拟题（二） 一、填空题 （1）三阶实对称矩阵的三个不同特征值为 1 2 3  ,  ,  ， 1 2  ,  对 应的特征向量分别为 T T (1, a, 1) , (a, a 1, 1) α1 = α2 = + ，则 3 对应的 特征向量 α3 = T (1, 2, 1) 。 [思路] 因对称阵不同特征值对应的特征向量正交。由 α1 α2 = 0 T 求出 a = −1 ，由 α1 α3 = 0, α2α3 = 0 T T 求出 α3。 （2） , 3 4 3 4 1 0 1 1 1 2 1            A = 阶方阵 B  0 ，且 AB = 0，则矩阵 B 的秩 1 。 [思路] 由 ( ) ( ) 3 3 3 =  +   A B 0 r A r B 由 r(A) = 2  r(B) 1, B  0,  r(B) =1 二、选择题 1）设 α, β, r 是三维向量，矩阵 A = (α, β, r), | A | = −5 ，则三阶 行列式 | 4r −α, β − 2r, 2α | 等于（（A）） （A）40 （B）5 （C）–40 （D）–5

[思路]|4r-a,阝-2r,2a|=2|4r-a,阝-2r,a 2|4r,β-2r,a|=8|r,阝,a 8|a,阝,r|=-8×(-5)=40 2)设A是三阶方阵,将A的第1列与第2列互换得B,再把B 的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为((D)。 010 (A)100 (B)101 (C)100 (D)100 01 00 [思路]∵APP2=C,对应可逆阵 010100(01 Q=PP2=100011=100 00100 00 三、计算与证明题 1)设A为n阶方阵A的转置矩阵 (I)证明A与A7的特征值相同。 (I)举例说明A与A7的特征向量不一定相同。 (Ⅲ)若u是A的特征值对应的特征向量, v是A的特征值2对应的特征向量

13 [思路] | 4r −α, β − 2r, 2α | = 2 | 4r −α, β − 2r, α | = 2 | 4r, β − 2r, α | = 8 | r, β, α | = −8| α, β,r | = −8(−5) = 40 2）设 A 是三阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列互换得 B ，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ = C 的可逆矩阵 Q 为（（D））。 （A）           1 0 1 1 0 0 0 1 0 （B）           0 0 1 1 0 1 0 1 0 （C）           .0 1 1 1 0 0 0 1 0 （D）           0 0 1 1 0 0 0 1 1 [思路] AP1P2 = C ，对应可逆阵           =                     = = 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 Q P1P2 。 三、计算与证明题 1）设 T A 为 n 阶方阵 A 的转置矩阵。 （I）证明 A 与 T A 的特征值相同。 （Ⅱ）举例说明 A 与 T A 的特征向量不一定相同。 （Ⅲ）若 u 是 A 的特征值 1 对应的特征向量， v 是 T A 的特征值 2 对应的特征向量

且A1≠2,证明u与v正交 [思路](I|a+A|=|(I+A)|=|AI+A (Ⅱ)例A 则 0 对于41=1,A的特征向量为x=k(,0)7。 对于A1=1,A的特征向量为X=(O,1)2。 (Ⅲ)Au=1u→uA7=u1 Av=A1uv→a2uu=A1u (2-A1川uv=0→A1≠12,uv=0 2)设二次型 f(x1,x2,x3)=x2+ax2+x3+2x1x2-2ax3-2x2x3正负惯性指 数都为1。(I)求a,(Ⅱ)求曲面:f(x1,x2,x3)=1,在(1,1,0)处 的切平面。 [思路](1)∫=XAX=PYv2-y2+0y3(规范型) 得r(A)=()=2,由A=1a (Ⅱ)求 ,即得切平面法矢。 Ox1(1,1,0)ox2l(1,1,0) 3(1,1,0) 模拟题(三)

14 且 1  2 ，证明 u 与 v 正交。 [思路] （I） | I + A | = | (I + A) | = | I + A | T T （Ⅱ）例         =         = 1 1 1 0 , 0 1 1 1 T A A ，则 对于 1 =1，A 的特征向量为 T X = k(1, 0) 。 对于 1 =1， T A 的特征向量为 T X = l(0,1) 。 （Ⅲ） T T T Au = 1u  u A = 1u u A v u v u u u v T T T T T = 1  2 = 1 − u v =   u v = 0 T T ( ) 0 , 2 1 1 2 2）设二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + ax + x + 2x x − 2ax x − 2x x 正负惯性指 数都为 1。（I）求 a ，（Ⅱ）求曲面： f (x1 , x2 , x3 ) = 1 ，在 (1,1, 0) 处 的切平面。 [思路] （I） 2 3 2 2 2 f y1 y 0y T − + = = X P Y X AX （规范型） 得 r(A) = r( f ) = 2 ，由 2 1 1 1 1 1 1  = −           − − − − = a a a a A （Ⅱ）求 1 (1,1, 0) 2 (1,1, 0) 3 (1,1, 0) , , x f x f x f       ，即得切平面法矢。 模拟题（三）