一、填空题 02 1)A=202满足BA1=4A+2B-A,则 142 B 414 241 [思路]BAA=4A2+2BA+(-AA-)→B(I-2A) (I+2A)(I-2A)→B=-(I+2A) 2)a=(1,1,0,0),β=(1,2,3,4),A=p,B是4阶方阵 r(B)=2,则r(AB-2B)=_2。 [思路]AB-2B=(A-2DB,由 A-2I|≠0→r(AB-2B)=八[(A-2B=r(B)=2 二、选择题 1)设A为n(n≥2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩 阵B,A,B分别为A,B的伴随矩阵,则((C)) (A)交换A的第1列与第2列得B (B)交换A的第1行与第2行得B (C)交换A的第1列与第2列得-B。 (D)交换A的第1行与第2行得-B。 [思路]设A变为B的初等阵为E12,则B=E12A
15 一、填空题 1 ） = 1 2 0 2 0 2 0 2 1 A 满 足 1 1 4 2 − − BA = A + B− A ， 则 B = − 2 4 1 4 1 4 1 4 2 。 [思路] 4 2 ( ) ( 2 ) 1 2 1 BA A = A + BA + −AA B I − A − − = −(I + 2A)(I − 2A) B = −(I + 2A) 2） α (1, 1, 0, 0) , β (1, 2, 3, 4) , A αβ , B T T T = = = 是 4 阶方阵 r(B) = 2 ，则 r(AB − 2B) = 2 。 [思路] AB − 2B = (A − 2I)B ，由 | A − 2I| 0 r(AB − 2B) = r[(A − 2I)B] = r(B) = 2 二、选择题 1）设 A 为 n(n 2) 阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩 阵 * * B, A , B 分别为 A，B 的伴随矩阵，则（（C）） （A）交换 * A 的第 1 列与第 2 列得 * B 。 （B）交换 * A 的第 1 行与第 2 行得 * B 。 （C）交换 * A 的第 1 列与第 2 列得– * B 。 （D）交换 * A 的第 1 行与第 2 行得– * B 。 [思路] 设 A 变为 B 的初等阵为 E12 ，则 B = E12A
B|=|E12||A|=-|A→B=A-E=A-E1 JAIB AJA E12=-B B=A Ej 即-B=AE12° 2)向量β可由向量组a1,a2,…,αm线性表示,但不能由向量组 :1 am1线性表示,记向量组(Ⅱ 102 m-1 ((B))。 (A)am不能由(I)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示 (B)an不能由(I)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示 (C)an可由(I)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示。 (D)an可由(I)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示 [思路]从β可由a1,a2,…,Om线性表示,得 =k11+k22+…+kmm →km≠0,(否则与第二条矛盾) 1 kI k. 口am1→αn可由(Ⅱ) k 线性表示,排除(A),(D)。又假定αm可由(I)表示,则推得 阝=h1+h22+…+bn-1m-1,与第二条件矛盾,排除(C) 计算证明题 1.设向量a=(a1,a2…,an),β=(b1,b2…,b,)都是非零向 量,且满足α‘β=0,记n阶矩阵A=阝′,求
16 12 1 1 12 1 1 12 | B | | E | | A | | A | B A E A E − − − − = = − = = 12 1 * 12 1 1 | A | B = | A | A E − | B | B = A E − − − 即 12 * * −B = A E 。 2）向量 β 可由向量组 α1 , α2 , , α m 线性表示，但不能由向量组 （I）： 1 2 1 , , , α α α m− 线性表示，记向量组（Ⅱ）： α1 , α2 , , αm−1 , β ， 则（（B））。 （A） αm 不能由（I）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示。 （B） αm 不能由（I）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示。 （C） αm 可由（I）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示。 （D） αm 可由（I）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示。 [思路] 从 β 可由 α1 , α2 , , α m 线性表示，得 β = k1α1 + k2α2 ++ kmα m km 0 ，（否则与第二条矛盾） m m m m m m m k k k k k α = β − α − − α − α − 1 1 1 1 1 可由（Ⅱ） 线性表示，排除（A），（D）。又假定 αm 可由（I）表示，则推得： β = h1α1 + h2α2 ++ hm−1αm−1 ，与第二条件矛盾，排除（C）。 三、计算证明题 1．设向量 T n T (a , a , , an ) , (b , b , , b ) α = 1 2 β = 1 2 都是非零向 量，且满足 α β = 0 T ，记 n 阶矩阵 T A = αβ ，求