Lecture 5-1 Kalman Filter Prof.N Rao
Lecture 5-1 Kalman Filter Prof. N Rao
1.Introduction The features of AR Parameter Model and Wiener Filter: (1)be suitable to process stationary random signals (2)The prior statistical property knowledge for signals and noise is required (3)The parameters of filter system are fixed 2
2 The features of AR Parameter Model and Wiener Filter: （1）be suitable to process stationary random signals （2）The prior statistical property knowledge for signals and noise is required （3）The parameters of filter system are fixed 1. Introduction
(1)Be suitable to process non-stationary random signals (2)The prior statistical properties for signals and noise are required; 3 The parameters of the filter are time-variation. 3
3 （1）Be suitable to process non-stationary random signals； （2）The prior statistical properties for signals and noise are required; （3）The parameters of the filter are time-variation
3.卡尔曼滤波器的信号模型及算法 一离散状态方程与量测方程 卡尔曼滤波器的信号模型是由状态方程和量测方程得到的。离散时间系统的 状态方程定义为： x(k+1)=Ax(k)+Be(k) (3-1) 式中x(k)表示一组状态变量组成的多维状态变量，(k)是激励信号，A、B都是系 统的结构确定的矩阵。 当己知初始状态x(O),可用递推方法得到它的解x(k): x(1)=Ax(O)+Be(0) x(2)=Ax(1)+Be(1)=A2x(0)+ABe(0)+Be(1) (3-2) =4x0+24BaU刀 =0 在式(3-2)中，等式右边第一项只与初始状态和系统结构有关，与激励(·)无关， 故称为零输入响应；第二项与初始状态无关，只与激励和系统结构有关，故称 零状态响应
3. 卡尔曼滤波器的信号模型及算法 —离散状态方程与量测方程 零状态响应。 故称为零输入响应；第二项与初始状态无关，只与激励和系统结构有关，故称为 在式 中，等式右边第一项只与初始状态和系统结构有关，与激励 无关， 当已知初始状态 ，可用递推方法得到它的解 统的结构确定的矩阵。 式中 表示一组状态变量组成的多维状态变量， 是激励信号， 、 都是系 ） 状态方程定义为： 卡尔曼滤波器的信号模型是由状态方程和量测方程得到的。离散时间系统的 (3 2) ( ) ( ) (0) ( ) ... (2) )1( )1( (0) (0) )1( )1( (0) (0) (0) ( :) ( ) ( ) ( 1 ( ) ( ) 1 0 1 2 − • = + = + = + + = + + = + ∑−= − − e x k A x A Be j x Ax Be A x ABe Be x Ax Be x x k x k e k A B x k Ax k Be k k j k k i （3-1） （3-2）
3.卡尔曼滤波器的信号模型及算法 一离散状态方程与量测方程 从状态转移到一步递推 令Φ(k)=A,并代入式(3-2)得 k)=ΦkxO)+(k-1-)Be (3-3) j=0 当(k)=0时，x()=(k)x(O)=Ax(O)。通过A,可将k=0时的状态过渡到任何k>0 的状态，故称Φ(k)为转移矩阵或过渡矩阵。当己知x(O),激励()以及A、B矩阵，就 可以根据式(3-3)求得x(k)的解。若用ko表示k的起始值，则式(3-3)从x(ko)开始递推， 会有 k-1 因=中60)+∑kH1BeU) (3-4) i=ko 式中Φkk,表示从ko状态到k状态的转移矩阵。若k,=k-1,就可以得到一步递推公式 x(k)=Φkk-1x(k-l)+Φ(O)Be(k-1) (3-5)
3. 卡尔曼滤波器的信号模型及算法 —离散状态方程与量测方程 从状态转移到一步递推 ( ) ( )1 )0( ( )1 1 ( ) ( ) ( ) 3( )3 ( ) 3( )3 ( ) ( ) )0( ( ) ( ) 0 ( ) ( ) )0( )0( 0 0 ( ) ( ) )0( ( 1 ) ( ) ( ) , 3( )2 , 1 , 0 0 1 , 0 , 1 0 0 1 0 0 0 0 = Φ − + Φ − Φ = − = Φ + Φ − − Φ = = Φ = = > = Φ + Φ − − Φ = − − −= + −=∑∑ x k x k Be k k k k k x k x k Be j x k k k x k k x e j A B e k x k k x A x A k k x k k x k j Be j k A k k k k kj k k k k j k k kj k 式中 表示从 状态到 状态的转移矩阵。若 ，就可以得到一步递推公式 会有可以根据式 求得 的解。若用 表示 的起始值，则式 从 开始递推， 的状态，故称 为转移矩阵或过渡矩阵。当已知 ，激励 以及 、 矩阵，就 当 时， 。通过 ，可将 时的状态过渡到任何 令 并代入式 得 （3-3） （3-4） （3-5）