3.卡尔曼滤波器的信号模型及算法 一一离散状态方程与量测方程 一步递推状态方程 由于Φ(O)=A=1,代入上式得由于Φ(0)=A=1,代入上式得 x(k)=Φk.k-1x(k-1)+B(k-1) (3-6) 假设激励源为白噪声，即B(k-1)=w(k-1)称为系统动态噪声，而系统是时变的，即 Φk.k-1=A(k),则式(3-6)又可写成 x(k)=Ak)x(k-1)+w(k-1) (3-7) 为了书写方便，将变量k放在下标表示，则上式为 x(k)=Akxk-1+Wk-1 (3-8) 式(3-8)表明k时刻的状态x(k)可由它前一时刻状态x(k-1)来求得，故该式又称为一步 递推状态方程
3. 卡尔曼滤波器的信号模型及算法 ——离散状态方程与量测方程 一步递推状态方程 递推状态方程。 式 表明 时刻的状态 可由它前一时刻状态 来求得，故该式又称为一步 为了书写方便，将变量 放在下标表示，则上式为 ，则式 又可写成 假设激励源为白噪声，即 称为系统动态噪声，而系统是时变的，即 由于 ，代入上式得由于 ，代入上式得 3( )8 ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( )1 ( )1 ( ) 3( )6 ( )1 ( )1 ( ) ( )1 ( )1 )0( 1 )0( 1 1 1 , 1 , 1 0 0 − − = + = − + − Φ = − − = − = Φ − + − Φ = = Φ = = − − − − k x k x k x k A x w k x k A k x k w k A k Be k w k x k x k Be k A A k k k k k k k （3-6） （3-7） （3-8）
卡尔曼滤波需要依据观测数据对系统状态进行估计，因此，除了要建立系统的状态 方程，还需要建立一个量测方程。一般假设观测系统是线性的，对于离散时间系统的量 测方程可以写成下式 yk=Ckxk+Vk (3-9) 式中yk为观察或量测到的信号矢量序列，vk为观测噪声序列，ck是观测矩阵(m×)m为 y的维数，n为v的维数，ckx是信号真值，它是状态变量x各分量的线性组合，即 Sk=Ckxk (3-10) 将式(3-10)代入式(3-9)，得 yk=Sk +Vk (3-11) 上式的含义是，我们观察或量测到的信号y包括信号的真值与噪声；式(3-11)中的信号 真值是一个多维矢量，从式(3-10)可见，它是状态变量x各分量的线性组合
真值是一个多维矢量，从式 可见，它是状态变量 各分量的线性组合。 上式的含义是，我们观察或量测到的信号 包括信号的真值与噪声；式 中的信号 将式 代入式 ，得 的维数， 为 的维数， 是信号真值，它是状态变量 各分量的线性组合，即 式中 为观察或量测到的信号矢量序列， 为观测噪声序列， 是观测矩阵 ， 为 测方程可以写成下式 方程，还需要建立一个量测方程。一般假设观测系统是线性的，对于离散时间系统的量 卡尔曼滤波需要依据观测数据对系统状态进行估计，因此，除了要建立系统的状态 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x y y s v s c x y n v c x x y v c m n m y c x v 3( 10) 3( 11) 3( 10) 3( )9 ( ) − − = + − − = × = + （3-9） （3-10） （3-11）
在维纳滤波中我们希望得到s(m)的估计值n与真值m)间的均方误差最小。在卡尔 曼滤波中，我们希望得到x的估计值与有最小均方误差。有了也就得到了飞。这 里信号表示为状态变量x的线性组合，是因为把待求的量表示为状态方程中的状态 变量线性组合具有很多优点，由于状态方程是一个一阶多维的方程，可以用一步递 推法求解。卡尔曼滤波相对于维纳滤波在计算上有很多优点，正是由于它利用了状 态方程得到的。 当与都是一维变量，且=1时，则有 y=xk+vk=Sk+V 此时卡尔曼滤波的测量方程与维纳滤波的信号方程x(m)=s(m)+m完全相 同。只是在符号上的表示所有差异罢了。在卡尔曼滤波公式中就是维纳 滤波中的x),它们都表示观察到的数据
在维纳滤波中我们希望得到 的估计值 与真值 间的均方误差最小。在卡尔 曼滤波中，我们希望得到 的估计值 与 有最小均方误差。有了 也就得到了 。这 里信号 表示为状态变量 的线性组合，是因为把待求的量表示为状态方程中的状态 变量线性组合具有很多优点，由于状态方程是一个一阶多维的方程，可以用一步递 推法求解。卡尔曼滤波相对于维纳滤波在计算上有很多优点，正是由于它利用了状 态方程得到的。 当 与 都是一维变量，且 时，则有 ns )( ˆ ns )( ns )( k x k x ˆ k x k s ˆ k x ˆ k yk x k x ck =1 k k k k k y = x + v = s + v 此时卡尔曼滤波的测量方程与维纳滤波的信号方程 完全相 同。只是在符号上的表示所有差异罢了。在卡尔曼滤波公式中 就是维纳 滤波中的 , 它们都表示观察到的数据。 nx )( = ns )( + nv )( nx )( k s ky