Lectrue 8-2 Time-Frequency Analysis 小波分析
一、认识小波 1、学习小波变换需要的基础知识 一个信号从数学的角度来看，它是一个自变量为时间的函 数孔)。因为信号是能量有限的，即 Tdi<E (1.1) 满足条件(1.1)的所有函数的集合就形成能量有限空间L2()。 二维信号（例如图像)同样是能量有限的。实际上任何一 幅数字图像都是从真实的场景中经过采样和量化处理后得到的。 从数学上看，图像是定义在L2(R)上的函数
f t dt<E ∫+∞−∞ 2 ( ) (1.1) 一个信号从数学的角度来看，它是一个自变量为时间t的函 数f(t)。因为信号是能量有限的，即 满足条件(1.1)的所有函数的集合就形成能量有限空间L2(R)。 二维信号（例如图像）同样是能量有限的。实际上任何一 幅数字图像都是从真实的场景中经过采样和量化处理后得到的。 从数学上看，图像是定义在L2(R2)上的函数。 1、学习小波变换需要的基础知识
>需要L2(空间的基础知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本 单元，是在能量有限空间L2(R)上满足允许条件的函数， 这样认识小波需要L2()空间的基础知识，特别是内积空 间中空间分解、函数变换等的基础知识。 >需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器等的基础知识 从信号处理的角度讲，小波（变换）是强有力的时频分 析（处理）工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而 来的，所以从信号处理的角度认识小波，需要傅立叶变 换、傅立叶级数、滤波器等的基础知识
需要L2(R) 空间的基础知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本 单元，是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数， 这样认识小波需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空 间中空间分解、函数变换等的基础知识。 需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器等的基础知识 从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分 析(处理)工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而 来的，所以从信号处理的角度认识小波，需要傅立叶变 换、傅立叶级数、滤波器等的基础知识
2、L2R)空间的正交分解和变换 对f)EL2(R),在L2(R)上存在一组标准正交基g),t∈R, 1,2,.…使得 f0=∑c8,0 (1.2) i=1 其中 c,=<f),8,(0>=f0)8,(0)dh <8x(0),g1(t)>=8x(t)g(t)dt=6k,1∈Z(1.3)
2、L2(R)空间的正交分解和变换 对f(t)∈L2(R)，在L2(R) 上存在一组标准正交基gi(t)，t ∈R， i=1,2, 使得 其中 ∑ +∞ = = 1 ( ) ( ) i i i f t c g t (1.2) g t g t g t g t dt k l Z c f t g t f t g t dt k l k l kl i i i < >= = ∈ =< >= ∫ ∫ +∞ −∞ +∞−∞ ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ), ( ) ( ) ( ) δ ， (1.3)
对于给定信号f),关键是选择合适的基g(①)，使得f)在这 组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某一个基不 满足要求，可通过变换将函数转换到另一个基下表示，才能 得到我们需要的特性。常用的变换有： ()K-L变换(Karhunen-Loeve Transform) (2)Walsh变换 (3)傅立叶变换 (4)小波变换 基底不同得到的变换也不同。 在信号处理中，有两类非常重要的变换： 傅立叶变换和小波变换。 目前，可简单地将小波理解为满足以下两个条件的特殊信号： ()小波必须是振荡的； (2)小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局 部化的
对 于 给 定 信 号f( t)，关 键 是 选 择 合 适 的 基 gi ( t ) ，使 得f( t) 在 这 组 基 下 的 表 现 呈 现 出 我 们 需 要 的 特 性，但 是 如 果 某 一 个 基 不 满 足 要 求，可 通 过 变 换 将 函 数 转 换 到 另 一 个 基 下 表 示，才 能 得 到 我 们 需 要 的 特 性 。 常 用 的 变 换 有： (1) K-L 变 换 （ Karhunen-Loeve Transform ） (2) Walsh 变 换 (3) 傅 立 叶 变 换 (4) 小 波 变 换 基 底 不 同 得 到 的 变 换 也 不 同 。 在 信 号 处 理 中，有 两 类 非 常 重 要 的 变 换： 傅 立 叶 变 换 和 小 波 变 换 。 目 前，可 简 单 地 将 小 波 理 解 为 满 足 以 下 两 个 条 件 的 特 殊 信 号： (1) 小 波 必 须 是 振 荡 的； (2) 小 波 的 振 幅 只 能 在 一 个 很 短 的 一 段 区 间 上 非 零，即 是 局 部 化 的