建模目的。如果掌握了一些内部机理的知识,模型也要求具有反映内在特征的物理意 义,建模就应以杋理分析为主。而如果对象的内部规律基本上不清楚,模型也不需要 反映内部特性(例如仅用于对输出作预报),那么就可以用测试分析 对于许多实际问题还常常将两种方法结合起来建模,即用机理分析建立模型的结 构,用测试分析确定模型的参数。1.5节建立的人口模型就是这种情况 机理分析当然要针对具体问题来做,不可能有统一的方法。因而主要是通过实例 研究( Case studies来学习。测试分析有一套完整的数学方法,第10章统计回归模型是 其中的一小部分。以动态系统为主的测试分析称为系统辨识 System Identification),是 门专门学科。本书以后所说的数学建模主要指机理分析 数学建模的一般步骤 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式,通常与问题性质、建模目的等有关。下 面介绍的是机理分析方法建模的一般过程,如图8所示 模型准备 假设模型 模型构成 模型检验 模型分析 模型求解 模型应用 图8数学建模步骤示意图 模型准备了解问题的实际背景,明确建模目的,搜集必要的信息如现象、数据 等,尽量弄清楚对象的主要特征,形成一个比较清晰的“问题”,由此初步确定用哪 类模型。情况明才能方法对。在模型准备阶段要深入调査研究,虚心向实际工作者 请教,尽量掌握第一手资料。 模型假设根据对象的特征和建模目的,抓住问题的本质,忽略次要因素,作出 必要的、合理的简化假设。对于建模的成败这是非常重要和困难的一步。假设作得不 合理或太简单,会导致错误的或无用的模型;假设作得过分详细,试图把复杂对象的
21 建模目的。如果掌握了一些内部机理的知识，模型也要求具有反映内在特征的物理意 义，建模就应以机理分析为主。而如果对象的内部规律基本上不清楚，模型也不需要 反映内部特性（例如仅用于对输出作预报），那么就可以用测试分析。 对于许多实际问题还常常将两种方法结合起来建模，即用机理分析建立模型的结 构，用测试分析确定模型的参数。1.5 节建立的人口模型就是这种情况。 机理分析当然要针对具体问题来做，不可能有统一的方法。因而主要是通过实例 研究(Case studies)来学习。测试分析有一套完整的数学方法，第 10 章统计回归模型是 其中的一小部分。以动态系统为主的测试分析称为系统辨识(System Identification)，是 一门专门学科。本书以后所说的数学建模主要指机理分析。 数学建模的一般步骤 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与问题性质、建模目的等有关。下 面介绍的是机理分析方法建模的一般过程，如图 8 所示 图 8 数学建模步骤示意图 模型准备 了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必要的信息如现象、数据 等，尽量弄清楚对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”，由此初步确定用哪 一类模型。情况明才能方法对。在模型准备阶段要深入调查研究，虚心向实际工作者 请教，尽量掌握第一手资料。 模型假设 根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，作出 必要的、合理的简化假设。对于建模的成败这是非常重要和困难的一步。假设作得不 合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；假设作得过分详细，试图把复杂对象的 模型准备 假设模型 模型构成 模型检验 模型分析 模型求解 模型应用
众多因素都考虑进去,会使你很难或无法继续下一步的工作,常常需要在合理与简化 之间作出恰当的折衷。通常,作假设的依据,一是处于对问题内在规律的认识,二是 来自对现象、数据的分析,以及二者的综合。想象力、洞察力、判断力,以及经验 在模型假设中起着重要的作用。 模型构成根据所作的假设,用数学的语言、符号描述对象的内在规律,建立包 含常量、变量等的数学模型,如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、跳的模型 等。这里除了需要一些相关学科的专门知识外,还常常需要较为广阔的应用数学方面 的知识。要善于发挥想象力,注意使用类比法,分析对象与熟悉的其它对象的共性 借用已有的模型。建模时还应遵循的一个原则是:尽量采用简单的数学工具,因为你 的模型总是希望更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏 棋型求解可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数 学方法,特别是数学软件和计算机软件 模型分析对求解结果进行数学上的分析,如结果的误差分析、统计分析、模型 对数据的灵敏性分析、对假设的强健性分析等 模型检验把求解和分析结果翻译回到实际问题,与实际的现象、数据比较,检 验模型的合理性与适用性。如果结果与实际不符,问题常常出在模型假设上,应该修 改、补充假设,重新建模,如图8中的虚线所示。这一步对于模型是否真的有用非常 关键,要以严肃认真的态度对待。有些模型要经过几次反复,不断完善,直到检验结 果获得某种程度上的满意。 模型应用应用的方式与问题性质建模目的及最终的结果有关,一般不属于本书 讨论的范围。 应当指出,并不是所有问题的建模都要经过这些步骤,有时各步骤之间的界限也 不那么分明,建模时不要拘泥于形式上的按部就班,本书的实例就采取了灵活的表达 形式 数学建模的全过程 从前面的几个建模示例以及一般步骤的分析,可以将数学建模的过程分为表述 求解、解释、验证几个阶段,并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型,再从数 学模型回到现实对象的循环,如图9所示
22 众多因素都考虑进去，会使你很难或无法继续下一步的工作，常常需要在合理与简化 之间作出恰当的折衷。通常，作假设的依据，一是处于对问题内在规律的认识，二是 来自对现象、数据的分析，以及二者的综合。想象力、洞察力、判断力，以及经验， 在模型假设中起着重要的作用。 模型构成 根据所作的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立包 含常量、变量等的数学模型，如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、跳的模型 等。这里除了需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较为广阔的应用数学方面 的知识。要善于发挥想象力，注意使用类比法，分析对象与熟悉的其它对象的共性， 借用已有的模型。建模时还应遵循的一个原则是：尽量采用简单的数学工具，因为你 的模型总是希望更多的人了解和使用，而不是只供少数专家欣赏。 模型求解 可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数 学方法，特别是数学软件和计算机软件。 模型分析 对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、模型 对数据的灵敏性分析、对假设的强健性分析等。 模型检验 把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较，检 验模型的合理性与适用性。如果结果与实际不符，问题常常出在模型假设上，应该修 改、补充假设，重新建模，如图 8 中的虚线所示。这一步对于模型是否真的有用非常 关键，要以严肃认真的态度对待。有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结 果获得某种程度上的满意。 模型应用 应用的方式与问题性质建模目的及最终的结果有关，一般不属于本书 讨论的范围。 应当指出，并不是所有问题的建模都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也 不那么分明，建模时不要拘泥于形式上的按部就班，本书的实例就采取了灵活的表达 形式。 数学建模的全过程 从前面的几个建模示例以及一般步骤的分析，可以将数学建模的过程分为表述、 求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数 学模型回到现实对象的循环，如图 9 所示
现实对象 表述 数学模型 的信息 (归纳) 验证 求解(演绎) 现实对象 解释 数学模型 的解答 的解答 图9数学建模的全过程 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题,属于归纳法。数学模型的求解则 属于演绎法。归纳是依据个别现象推出一般规律;演绎是按照普遍原理考察特定对象, 导出结论。因为任何事物的本质都要通过现象来反映,必然要透过偶然来表露,所以 正确的归纳不是主观、盲目的,而是有客观基础的,但也往往是不精细的、带感性的, 不宜直接检验其正确性。演绎利用严格的逻辑推理,对解释想象、作出科学预见具有 重要意义,但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提,只能在这个前提下保证其 正确性。因此,归纳和演绎是辩证统一的过程:归纳是演绎的基础,演绎是归纳的指 导 解释是把数学模型的解答“翻译”回到现实对象,给出分析、预报、决策或者控 制的结果、最后,作为这个过程的重要一环,这些结果需要用实际的信息加以验证。 图9也揭示了现实对象和数学模型的关系。一方面,数学模型是将现象加以归纳、 抽象的产物,它源于现实,又高于现实。另一方面,只有当数学建模的结果经受住现 实对象的检验时,才可以用来指导实际,完成实践一一理论一一实践这一循环。 §5数学建模的特点和分类 数学建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段,得到的模型有许多有点,也 有一些弱点。下面归纳出数学模型的若干特点,以期读者在学习过程中逐步领会126 数学模型的特点 模型的逼真性和可行性一般说来总是希望模型尽可能逼近研究对象,但是一个 非常逼真的模型在数学上常常是难于处理的,因而不容易达到通过建模对现实对象进
23 图 9 数学建模的全过程 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳法。数学模型的求解则 属于演绎法。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象， 导出结论。因为任何事物的本质都要通过现象来反映，必然要透过偶然来表露，所以 正确的归纳不是主观、盲目的，而是有客观基础的，但也往往是不精细的、带感性的， 不宜直接检验其正确性。演绎利用严格的逻辑推理，对解释想象、作出科学预见具有 重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只能在这个前提下保证其 正确性。因此，归纳和演绎是辩证统一的过程：归纳是演绎的基础，演绎是归纳的指 导[51]。 解释是把数学模型的解答“翻译”回到现实对象，给出分析、预报、决策或者控 制的结果、最后，作为这个过程的重要一环，这些结果需要用实际的信息加以验证。 图 9 也揭示了现实对象和数学模型的关系。一方面，数学模型是将现象加以归纳、 抽象的产物，它源于现实，又高于现实。另一方面，只有当数学建模的结果经受住现 实对象的检验时，才可以用来指导实际，完成实践——理论——实践这一循环。 §5 数学建模的特点和分类 数学建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段，得到的模型有许多有点，也 有一些弱点。下面归纳出数学模型的若干特点，以期读者在学习过程中逐步领会[26]。 数学模型的特点 模型的逼真性和可行性 一般说来总是希望模型尽可能逼近研究对象，但是一个 非常逼真的模型在数学上常常是难于处理的，因而不容易达到通过建模对现实对象进 现实对象 的信息 数学模型 现实对象 的解答 数学模型 的解答 （归纳） 求解 （演绎） 表述 解释 验证
行分析、预报、决策或者控制的目的,即实用上不可行。另一方面,越逼真的模型常 常越复杂,即使数学上能处理,这样的模型应用时所需要的“费用”也相当高,而“费 用”不一定与复杂模型取得的“效益”相匹配。所以建模时往往需要在建模的逼真性 与可行性,“费用”与“效益”之间做出折中和抉择。 模型的渐进性稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功,要经过上 节描述的建模过程的反复迭代,包括由简到繁,也包括删繁就简,以获得越来越满 意的模型。在科学发展过程中随着人们认识和实践能力的提高,各门学科中的数学模 型也存在着一个不断完善或者推陈出新的过程。从19世纪力学、热学、电学等许多 学科由牛顿力学的模型主宰,到20世纪爱因斯坦相对论模型的建立,是模型渐进性 的明显例证。 模型的强健性模型的结构和参数常常是由模型假设及对象的信息如观测数据确 定的,而假设不可能太准确,观测数据也是允许有误差的。一个好的模型应该具有下 述意义的强健性:当模型假设改变时,可以导出模型结构的相应变化;当观测数据有 微小改变时,模型参数也只有相应的微小变化。 模型的可转移性模型是现实对象抽象化、理想化的产物,它不为对象的所属领 域所独有,可以转移到另外的领域。在生态、经济、社会等领域内建模就常常借用物 理领域中的模型。模型的这种性质显示了它的应用的极端广泛性。 模型的非预制性虽然已经发展了许多应用广泛的模型,但是实际问题是各种各 样、变化万千的,不可能要求把各种模型做成预制品供你再建模时使用。模型的折中 非预制性使得建模本身常常是事先没有答案的问题(Open- end problem)。在建立新的 模型的过程中甚至会伴随着新的数学方法或数学概念的产生。 模型的条理性从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更全面 更深入、更具条理性,这样即使建立的模型由于种种原因尚未达到实用程度,对问题 的研究也是有力的。 模型的技艺性建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、规划问题解法等是 根本不同的,无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧。有人说,建模目前与其 说是一门技术,不如说是一种艺术,是技艺性很强的技巧。经验、想象力、洞察力、 判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起得作用往往比一些具体的数学知识更大 模型的局限性这里有几方面的含义。第一,由数学模型得到的结论虽然具有通 用性和精确性,但是因为模型是现实对象简化、理想化的产物,所以一旦将模型的结
24 行分析、预报、决策或者控制的目的，即实用上不可行。另一方面，越逼真的模型常 常越复杂，即使数学上能处理，这样的模型应用时所需要的“费用”也相当高，而“费 用”不一定与复杂模型取得的“效益”相匹配。所以建模时往往需要在建模的逼真性 与可行性，“费用”与“效益”之间做出折中和抉择。 模型的渐进性 稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，要经过上 一节描述的建模过程的反复迭代，包括由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满 意的模型。在科学发展过程中随着人们认识和实践能力的提高，各门学科中的数学模 型也存在着一个不断完善或者推陈出新的过程。从 19 世纪力学、热学、电学等许多 学科由牛顿力学的模型主宰，到 20 世纪爱因斯坦相对论模型的建立，是模型渐进性 的明显例证。 模型的强健性 模型的结构和参数常常是由模型假设及对象的信息如观测数据确 定的，而假设不可能太准确，观测数据也是允许有误差的。一个好的模型应该具有下 述意义的强健性：当模型假设改变时，可以导出模型结构的相应变化；当观测数据有 微小改变时，模型参数也只有相应的微小变化。 模型的可转移性 模型是现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领 域所独有，可以转移到另外的领域。在生态、经济、社会等领域内建模就常常借用物 理领域中的模型。模型的这种性质显示了它的应用的极端广泛性。 模型的非预制性 虽然已经发展了许多应用广泛的模型，但是实际问题是各种各 样、变化万千的，不可能要求把各种模型做成预制品供你再建模时使用。模型的折中 非预制性使得建模本身常常是事先没有答案的问题（Open-end problem）。在建立新的 模型的过程中甚至会伴随着新的数学方法或数学概念的产生。 模型的条理性 从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更全面、 更深入、更具条理性，这样即使建立的模型由于种种原因尚未达到实用程度，对问题 的研究也是有力的。 模型的技艺性 建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、规划问题解法等是 根本不同的，无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧。有人说，建模目前与其 说是一门技术，不如说是一种艺术，是技艺性很强的技巧。经验、想象力、洞察力、 判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起得作用往往比一些具体的数学知识更大。 模型的局限性 这里有几方面的含义。第一，由数学模型得到的结论虽然具有通 用性和精确性，但是因为模型是现实对象简化、理想化的产物，所以一旦将模型的结
论应用于实际问题,就回到了现实世界,那些被忽视、简化的因素必须考虑,于是结 论的通用性和精确性只是相对的和近似的。第二,由于人们认识能力和科学技术包括 数学本身发展水平的限制,还有不少实际问题很难得到有着实用价值的数学模型。如 些内部机理复杂、影响因素众多、测量手段不够完善、技艺性较强的生产过程,像 生铁冶炼过程,常常需要开发专家系统,与建立数学模型相结合才能获得较满意的应 用结果。专家系统是一种计算机软件系统,它总结专家的知识和经验,模拟人类的逻 辑思维过程,建立了若干规则和推理途径,主要是定性地分析各种实际现象并作出判 断。专家系统可以看成计算机模拟的新发展。第三,还有些领域中的问题今天尚未发 展到用建模方法寻求数量规律的阶段,如中医诊断过程,目前所谓计算机辅助诊断也 是属于总结著名中医的丰富临床经验的专家系统。 数学模型的分类 数学模型可以按照不同的方式分类,下面介绍常用的几种。 1.按照模型的应用领域(或所属学科)分。如人口模型、交通模型、环境模型 生态模型、城镇模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等 范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学 数学社会学等。 2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分。如初等模型、几何模型、 微分方程模型、统计回归模型、数学规划模型等。 3.按照模型的表现特性又有几种分法: 确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响。近年来随着数学的 发展,又有所谓突变性模型和模糊性模型。 静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化 线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系,如微分方程是否是线性的 高散模型和连续模型模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的 虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的,但是由于确定 性、静态、线性模型容易处理,并且往往可以作为初步的近似来解决问题,所以建模 时常先考虑确定性、静态、线性模型。连续模型便于利用微积分方法求解析解,作为 理论分析,而离散模型便于在计算机上作数值计算,所以用哪种模型要看具体问题而 定。在具体的建模过程中将连续模型离散化,或将连续变量视作连续的,也是常采用 的方法
25 论应用于实际问题，就回到了现实世界，那些被忽视、简化的因素必须考虑，于是结 论的通用性和精确性只是相对的和近似的。第二，由于人们认识能力和科学技术包括 数学本身发展水平的限制，还有不少实际问题很难得到有着实用价值的数学模型。如 一些内部机理复杂、影响因素众多、测量手段不够完善、技艺性较强的生产过程，像 生铁冶炼过程，常常需要开发专家系统，与建立数学模型相结合才能获得较满意的应 用结果。专家系统是一种计算机软件系统，它总结专家的知识和经验，模拟人类的逻 辑思维过程，建立了若干规则和推理途径，主要是定性地分析各种实际现象并作出判 断。专家系统可以看成计算机模拟的新发展。第三，还有些领域中的问题今天尚未发 展到用建模方法寻求数量规律的阶段，如中医诊断过程，目前所谓计算机辅助诊断也 是属于总结著名中医的丰富临床经验的专家系统。 数学模型的分类 数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种。 1. 按照模型的应用领域（或所属学科）分。如人口模型、交通模型、环境模型、 生态模型、城镇模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等。 范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、 数学社会学等。 2. 按照建立模型的数学方法（或所属数学分支）分。如初等模型、几何模型、 微分方程模型、统计回归模型、数学规划模型等。 3. 按照模型的表现特性又有几种分法： 确定性模型和随机性模型 取决于是否考虑随机因素的影响。近年来随着数学的 发展，又有所谓突变性模型和模糊性模型。 静态模型和动态模型 取决于是否考虑时间因素引起的变化。 线性模型和非线性模型 取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的 离散模型和连续模型 模型中的变量（主要是时间变量）取为离散还是连续的。 虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定 性、静态、线性模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模 时常先考虑确定性、静态、线性模型。连续模型便于利用微积分方法求解析解，作为 理论分析，而离散模型便于在计算机上作数值计算，所以用哪种模型要看具体问题而 定。在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将连续变量视作连续的，也是常采用 的方法